La división es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética y consiste en averiguar cuántas veces un número, llamado divisor, está contenido en otro número, llamado dividendo. La fórmula principal es: dividendo ÷ divisor = cociente.
Las técnicas para resolver divisiones dependen del tipo y del tamaño de los números: división directa o mental, división corta, división larga o por partes, algoritmo desplegado, división rusa, división de fracciones, división de potencias y división con números decimales. En todos los casos, el resultado puede incluir un resto, que es la cantidad que sobra después de realizar la operación.
Elementos y formas de representar una división
Al realizar una operación de división se pueden considerar 4 elementos importantes: divisor, dividendo, cociente y residuo. El divisor es la cifra o cantidad por la cual dividiremos, el dividendo es la cantidad que queremos repartir, el cociente es el resultado de la división y el residuo o resto es el número sobrante.
| Elemento | Función |
|---|---|
| Dividendo | Es la cantidad que se va a dividir. |
| Divisor | Es el número entre el cual se divide el dividendo. |
| Cociente | Es el resultado de la división. |
| Residuo o resto | Es la cantidad que sobra cuando la división no es exacta. |
La representación o signo de la división que se le conoce como “entre”, es mediante una diagonal (/) o un óbelo (÷), en algunos casos se representa con dos puntos (:).
Otras formas de representar la división considerando el dividendo (D) y el divisor (d) son: D / d, D ÷ d y D : d.
En una división escrita con barra, el divisor se coloca fuera de la barra y el dividendo dentro de ella. El cociente se escribe arriba de la línea horizontal.
División directa o cálculo mental
La división directa es empleada en divisiones de una cantidad pequeña, conforme se obtenga experiencia va aumentando la facilidad de este método para números más grandes. Este método ayuda al aprendizaje de cálculo mental.
Para hacer una división simple piensa cuántas veces cabe un número dentro de otro. Por ejemplo, 6 ÷ 2 es 3 porque 3 cabe 2 veces en el número 6.
La división también puede entenderse como una resta repetida. La división 6 / 2 = 3 corresponde a 6 - 2 = 4, 4 - 2 = 2 y 2 - 2 = 0; por lo tanto, se realizan 3 restas y el resultado equivale a dividir 6 / 2 = 3.
Ejemplos de división directa:
- 4 / 4 = 1
- 8 / 2 = 4
- 6 / 3 = 2
- 9 / 3 = 3
Para aplicar esta técnica es útil conocer las tablas de multiplicar, porque dividir implica identificar qué número multiplicado por el divisor produce el dividendo o se aproxima a él sin superarlo.
División larga o algoritmo ordinario
La división larga es la técnica fundamental para resolver divisiones con números grandes. Si uno de los números tiene un solo dígito, puedes usar la división corta. Si tiene más, deberás usar la división larga.
Escribe el problema utilizando la barra de división larga. Esta barra de división ( 厂 ) parece un paréntesis de cierre unido a una línea horizontal que se extiende por encima de la cadena de números que van debajo de la barra.
Coloca el divisor, que es el número entre el cual dividirás, fuera de la barra de división, y el dividendo, que es el número a dividir, dentro de la barra de división larga.
En el problema 65 ÷ 5, coloca el 5 afuera de la barra de división larga y el 65 dentro de ella. Debe quedar así 5厂65, pero con el 65 debajo de la línea horizontal.
En el problema 136 ÷ 3, coloca el 3 afuera de la barra de división larga y el 136 dentro de ella. Debe quedar así 3厂136, pero con el 136 debajo de la línea horizontal.
Pasos generales de la división larga
- Determina cuántas veces cabe el divisor en el primer dígito o grupo inicial del dividendo.
- Escribe el número obtenido arriba de la barra de división, alineado con el grupo de cifras utilizado.
- Multiplica el número escrito en el cociente por el divisor.
- Escribe el resultado debajo del grupo correspondiente del dividendo.
- Resta el producto al número utilizado del dividendo.
- Baja el siguiente dígito del dividendo junto al resultado de la resta.
- Repite el proceso hasta utilizar todos los dígitos.
- Si queda una cantidad al final, esa cantidad es el resto.
Ejemplo de división larga: 65 ÷ 5
En otras palabras, determina cuántas veces cabe el divisor, el número que está fuera de la barra, en el primer dígito del dividendo. Coloca el número entero que obtengas como resultado arriba de la línea de la división, justo arriba del primer dígito del divisor.
En el problema de ejemplo 1 (5厂65), 5 es el divisor y 6 el primer dígito del dividendo (65). 5 cabe una sola vez en 6, por lo que arriba de la barra de división deberás colocar un 1 alineado verticalmente con el 6.
Toma el número que acabas de escribir arriba de la barra de división y multiplícalo por el divisor. Escribe el resultado en una nueva fila debajo del dividendo, alineado con el primer dígito del dividendo.
En el problema de ejemplo 1 (5厂65), multiplica el número que está arriba de la barra (1) por el divisor (5), lo cual resulta en 1 x 5 = 5 y coloca la respuesta (5) justo debajo del 6 en 65.
Réstale el número que acabas de escribir en la nueva fila debajo del dividendo al dígito del dividendo que está justo arriba de este. Escribe el resultado en una nueva fila, alineado con los dígitos del problema de sustracción.
En el problema de ejemplo 1 (5厂65), réstale 5 al 6: 6 - 5 = 1. Coloca el resultado (1) en una nueva fila, justo debajo del 5.
Baja el segundo dígito del dividendo a la nueva fila inferior, justo a la derecha del resultado de la resta que acabas de obtener. En el problema de ejemplo 1 (5厂65), arrastra el 5 del 65 hacia abajo de modo que quede al lado del 1 que habías obtenido al restarle 5 a 6. Esto te dará 15 en esta fila.
Ahora divide 15 entre 5 y escribe el resultado, 3, a la derecha del 1 que está arriba de la barra de división. Luego multiplica el 3 que está arriba de la barra de división por 5 y escribe el resultado, 15, debajo del 15 que está debajo de la barra de división.
Por último, calcula 15 menos 15 y escribe 0 en la nueva fila inferior. El problema está terminado, ya que no quedan más dígitos en el divisor para arrastrar. Arriba de la barra de división está la respuesta: 13.
Por lo tanto, 65 ÷ 5 = 13.
Ejemplo de división larga con resto: 136 ÷ 3
En el problema de ejemplo 2 (3厂136), 3, el divisor, no cabe en 1, el primer dígito del dividendo, y no resulta en un número entero. Por lo tanto, escribe un 0 arriba de la barra de división alineado verticalmente con el 1.
Hay un 0 arriba de la barra de división, así que cuando vayas a multiplicarlo por 3, el resultado será 0. Escribe un 0 en una nueva línea justo debajo de 136.
Réstale 0 al 1 que está justo arriba de este y coloca el resultado, 1, en una nueva fila, justo debajo del 0.
Arrastra el 3 del 136 y colócalo junto al 1 para formar el número 13.
Determina cuántas veces cabe 3 en 13 y escribe la respuesta, 4, a la derecha del 0 que está arriba de la barra de división. Luego multiplica 4 por 3 y escribe la respuesta, 12, debajo del 13.
Finalmente, réstale 12 a 13 y escribe la respuesta, 1, debajo del 12.
Continúa con otra ronda. Baja el 6 del 136 para formar 16 en la fila inferior. Divide 16 entre 3 y escribe el resultado, 5, arriba de la línea de división.
Multiplica 5 por 3 y escribe el resultado, 15, en una nueva fila más abajo. Réstale 15 al 16 y escribe el resultado, 1, en una nueva fila más abajo.
Como ya no quedan más dígitos para arrastrar hacia abajo en el dividendo, ya has terminado de resolver el problema y el 1 de la línea inferior es el resto.
Así, la respuesta final será 45 R 1. Por lo tanto, 136 ÷ 3 = 45 R 1.
División corta
La división corta es una técnica abreviada para divisiones cuyo divisor tiene un solo dígito. El procedimiento conserva la lógica de la división larga, pero los restos se escriben como superíndices junto a los dígitos siguientes.
Para poder hacer una división corta, el divisor no debe tener más de un dígito.
Coloca el divisor, que es el número entre el cual vas a dividir, afuera y a la izquierda de la barra de división. Coloca el dividendo, que es el número a dividir, dentro, a la derecha y debajo de la barra de división.
Ejemplo de división corta: 518 ÷ 4
Determina cuántas veces cabe el número que está afuera de la barra de división en el primer dígito del número que está adentro de ella. Escribe el número entero obtenido arriba de la barra de división y escribe el resto como superíndice junto al primer dígito del dividendo.
En el problema de ejemplo, 4 cabe en 5 una vez, con un resto de 1. Coloca el cociente, 1, arriba de la barra de división larga. Coloca un 1 pequeño junto al 5 para recordar que tenías un resto de 1.
Haz de cuenta que el número que has escrito como superíndice es un número completo y combínalo con el dígito del dividendo que está justo a su derecha. El número formado por el resto y el segundo número del dividendo es 11.
El divisor, 4, cabe dos veces en 11 con un resto de 3. Escribe el 2 arriba de la línea de división y el 3 como superíndice junto al siguiente dígito.
Sigue determinando cuántas veces cabe el divisor en el número formado por el dígito siguiente del dividendo y el superíndice del resto que está inmediatamente a su izquierda.
El divisor, 4, cabe nueve veces en 38 con un resto de 2, porque 4 x 9 = 36 y faltan 2 para 38.
Anota este resto final, 2, arriba de la barra de división para completar la respuesta. Así, la respuesta final arriba de la barra de división será 129 R 2.
Por lo tanto, 518 ÷ 4 = 129 R 2.
Algoritmo desplegado de la división
En Latinoamérica se están utilizando dos métodos para resolver divisiones: el método tradicional y el método del algoritmo desplegado de la división.
El algoritmo desplegado permite resolver divisiones mediante multiplicaciones sencillas, sumas y restas para encontrar el cociente.
Para realizar este método no es necesario distinguir entre las cuentas de dividir por una o más cifras, ya que se usan estimaciones utilizando multiplicaciones por 10, 100, 1000 y sus múltiplos.
El método comienza buscando un múltiplo del divisor que pueda restarse al dividendo sin superar su valor. Después se continúa restando múltiplos hasta que el resto sea menor que el divisor.
Comparación con el método tradicional
El método tradicional requiere un mayor conocimiento de las tablas de multiplicar.
Si deseas dividir por tres o más cifras debes realizar el mismo procedimiento, teniendo en cuenta que para operar con el método tradicional siempre comenzamos “tomando” en el dividendo tantas cifras como haya en el divisor.
Como deseo dividir por dos cifras, debo tomar dos cifras del dividendo y comenzar así.
La diferencia principal es que el algoritmo desplegado hace visibles las estimaciones, los productos y las restas, mientras que el método tradicional organiza estos pasos dentro de la barra de división.
División rusa o método de duplicación
La división rusa es un método alternativo para resolver una división. Este método se basa en ir duplicando múltiplos del denominador hasta hallar el anterior al numerador.
El origen de este método está en el antiguo Egipto y su método de multiplicación.
Ejemplo: 1860 ÷ 25
Primero se forman pares de números colocando el divisor en una columna y duplicando sucesivamente tanto el divisor como los números de la otra columna.
Primero multiplicamos 25 por 2 y el resultado, que es 50, de nuevo por 2. Ahora continuamos duplicando los múltiplos hasta que llegamos a 1600, que es el último múltiplo de 25 menor que 1860.
Una vez que tenemos estos pares de números debemos encontrar una forma de, sumando números de la columna de la derecha, encontrar el número más cercano a 1860.
En este caso, 1600 + 200 + 50 = 1850.
Ahora debemos sumar los números de la columna de la izquierda que corresponden a los que hemos elegido. En este caso, 2 + 8 + 64 = 74.
El número que acabamos de calcular con esta última suma es el cociente de la división.
Para hallar el resto, solo tenemos que restar a nuestro dividendo 1850. 1860 - 1850 = 10.
Por lo tanto, 1860 ÷ 25 = 74 R 10.
La división rusa no es un método sencillo o poco trabajoso, pero es un método eficaz para calcular el cociente y el resto mediante duplicaciones y sumas.
Divisiones exactas e inexactas
Las divisiones exactas son aquellas en las que el residuo es igual a 0 y las divisiones inexactas son aquellas en las que se tiene un residuo diferente de cero.
El residuo o resto corresponde al número que sobra de la división. En algunos casos podemos extender la división agregando un punto decimal y de esta forma llegar a obtener un residuo de 0, pero en otros casos puede resultar un residuo constante.
Para comprobar una división se utiliza la operación matemática inversa, que es la multiplicación, considerando el residuo como suma.
La fórmula de comprobación es: dividendo = (cociente x divisor) + residuo.
Por ejemplo, si una división produce un cociente y un resto, se multiplica el cociente por el divisor y luego se suma el resto. Si el resultado coincide con el dividendo, la división fue correcta.
División con números decimales
La división con decimales puede aparecer porque el divisor o el dividendo tiene números decimales, o porque el residuo de una división entera es diferente de cero.
Para dividir decimales, primero tienes que convertirlos en números enteros cuando el decimal aparece en el divisor.
Decimal en el divisor y en el dividendo
Coloca el divisor afuera y el dividendo dentro de la barra de división larga. Después desliza la coma decimal a la derecha hasta llegar al final de cada número.
Debes mover la coma decimal la misma cantidad de veces en el divisor y en el dividendo. Si tienes que mover la coma decimal 2 lugares en el divisor, haz lo mismo en el dividendo.
En el ejemplo 65,5 ÷ 0,5, solo hay que mover la coma decimal un lugar tanto en el divisor como en el dividendo. Así, 0,5 se transformará en 5 y 65,5 en 655.
Si el problema tuviera los números 0,5 y 65,55, deberías mover la coma decimal dos lugares en 65,55 para transformarlo en 6555. En consecuencia, también tendrías que mover dos lugares en 0,5 y agregar un 0 al final, con lo cual el número se transformaría en 50.
Después de transformar la división, coloca una coma decimal en la barra de división larga, justo arriba del decimal en el dividendo.
En el ejemplo, la división se convierte en 655 ÷ 5. Divide 655 entre 5 y obtendrás 131.
Divide el dígito de las centenas, 6, entre 5. Obtendrás 1 con un resto de 1. Coloca 1 en el lugar de las centenas arriba de la barra de división larga y réstale 5 al 6.
Arrastra el primer 5 de 655 hacia abajo para crear el número 15. Divide 15 entre 5 y obtendrás 3. Coloca ese 3 arriba de la barra de división larga, junto al 1.
Arrastra el último 5. Divide 5 entre 5 y obtendrás 1. Coloca ese 1 arriba de la barra de división larga. No queda ningún resto, ya que 5 cabe exactamente 1 vez en 5.
La respuesta es el número que está arriba de la barra de división: 131. Por lo tanto, 655 ÷ 5 = 131 y 65,5 ÷ 0,5 = 131.
Decimal solamente en el divisor
Cuando se tienen decimales en el divisor, lo recomendable es multiplicar por un múltiplo de 10 hasta obtener el divisor como número entero.
- 1.86 x 100 = 186
- 1.5 x 10 = 15
- 1.964 x 1000 = 1964
El valor multiplicado en el divisor también se debe multiplicar en el dividendo, porque no realizar la operación afectaría el resultado.
Como ejemplo se tiene 30/1.5. Se multiplica por 10 para convertir en número entero el divisor: 30 x 10 = 300 y 1.5 x 10 = 15.
Ahora es posible realizar la división como en los pasos anteriormente vistos: 300 ÷ 15 = 20.
Decimal solamente en el dividendo
Al tener un punto decimal en el dividendo únicamente se debe considerar subir el punto al cociente.
Por ejemplo, en 4.5/15, la coma decimal del dividendo se coloca en el cociente de acuerdo con la posición correspondiente durante la división.
Decimal en el divisor y en el dividendo: 8.61 ÷ 2.1
En este caso lo importante es tener el divisor como número entero, porque eso facilita la resolución del problema.
Multiplicando por 10 se tiene 8.61 x 10 = 86.1 y 2.1 x 10 = 21.
Ahora es posible resolver la división de manera simple: 86.1 ÷ 21 = 4.1.
División decimal a partir de un resto
Cuando el divisor no puede dividir exactamente el resto, se agrega un punto decimal y un cero a la derecha del dividendo. El cero se coloca de la misma forma a un lado del residuo.
Después se busca un número que, multiplicado por el divisor, dé como resultado una cantidad menor o igual al nuevo número formado con el resto y el cero agregado.
El factor pasa a la derecha del cociente y el punto decimal se coloca en la misma posición que en el dividendo.
Se repiten los pasos hasta que el residuo sea cero o hasta identificar que la división continúa indefinidamente.
La división concluye cuando el residuo es cero. En algunas operaciones la división no puede ser exacta debido a que el residuo nunca va a ser 0.
División de fracciones
Para dividir fracciones, simplemente escribe la primera fracción seguida del símbolo de la división (÷) y luego la segunda.
Para mayor claridad, es mejor separar el numerador, que es el número de arriba, del denominador, que es el número de abajo, con líneas horizontales.
Procedimiento para dividir fracciones
- Escribe la primera fracción y la segunda fracción.
- Convierte la segunda fracción en su recíproca.
- Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda.
- Multiplica los numeradores.
- Multiplica los denominadores.
- Reduce la fracción si existe un divisor común.
- Convierte el resultado en número mixto cuando el numerador sea mayor que el denominador.
Siguiendo con el problema 3/4 ÷ 5/8, invierte 5/8 de modo que el 8 quede arriba y el 5 abajo.
Para dividir fracciones, hay que multiplicar la primera por la recíproca de la segunda: 3/4 x 8/5.
Los numeradores son 3 y 8; por lo tanto, debes calcular 3 x 8 = 24.
Los denominadores son 4 y 5; por lo tanto, debes calcular 4 x 5 = 20.
Ahora que has multiplicado numeradores y denominadores de ambas fracciones, puedes formar el producto entre ambas: 3/4 x 8/5 = 24/20.
Reducción de la fracción resultante
Para reducir la fracción, debes encontrar el máximo común divisor, es decir, el número más grande que puede dividir los dos números sin dejar resto, y dividir tanto el numerador como el denominador entre ese número.
En el caso de 24/20, el número más grande que puede dividir tanto 24 como 20 es 4.
Los factores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Los factores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.
Como 4 es el máximo común divisor de 24 y 20, divide ambos números entre 4: 24/4 = 6 y 20/4 = 5.
Por lo tanto, 24/20 = 6/5 y 3/4 ÷ 5/8 = 6/5.
Conversión de una fracción impropia en número mixto
Para hacerlo, divide el numerador entre el denominador y escribe la respuesta como un número entero. El resto será el numerador de la nueva fracción y el denominador seguirá siendo el mismo.
En el problema de ejemplo, 5 cabe una vez en 6 con un resto de 1. Por lo tanto, el nuevo número entero será 1, el nuevo numerador será 1 y el denominador seguirá siendo 5.
Como resultado, 6/5 = 1 1/5.
División de potencias con la misma base
Solo es posible dividir números con exponentes si estos tienen la misma base. Si no tienen la misma base, tendrás que manipularlos hasta que la tengan, si es posible.
Cuando las potencias tienen la misma base, se conserva la base y se resta el segundo exponente al primero.
Por ejemplo, en 38 ÷ 35, primero se restan los exponentes: 8 - 5 = 3.
Después se escribe el nuevo exponente arriba de la base original. Por lo tanto, 38 ÷ 35 = 33.
Propiedades básicas de la división
Cualquier número dividido entre 1 da como resultado el mismo número. Por ejemplo: 4/1 = 4 y 12/1 = 12.
Cero dividido entre cualquier número distinto de cero da como resultado cero. Por ejemplo: 0/5 = 0 y 0/12 = 0.
La división entre cero no está definida. No es correcto afirmar que cualquier número dividido entre cero da como resultado infinito, porque no existe un número que, multiplicado por cero, produzca un dividendo distinto de cero.
La división puede expresarse como un reparto en partes iguales. Por ejemplo, si se tienen 4 pelotas y 2 botes y se quiere acomodar la misma cantidad de pelotas en cada contenedor, se divide 4 entre 2 y se colocan 2 pelotas en cada bote.
Cómo elegir la técnica adecuada
- Usa la división directa o mental para cantidades pequeñas y operaciones conocidas.
- Usa la división corta cuando el divisor tiene un solo dígito.
- Usa la división larga para números grandes y para organizar con claridad cada multiplicación y resta.
- Usa el algoritmo desplegado cuando necesites visualizar las estimaciones y los múltiplos utilizados.
- Usa la división rusa como método alternativo basado en duplicaciones y sumas.
- Convierte el divisor decimal en entero antes de comenzar la división.
- Para fracciones, invierte la segunda fracción y multiplica.
- Para potencias con la misma base, conserva la base y resta los exponentes.
- Comprueba el resultado multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto.
