Siete rectángulos congruentes alineados para formar un ejercicio matemático

Para resolver un ejercicio con siete rectángulos congruentes alineados, hay que comprobar que todos tengan exactamente las mismas dimensiones, aunque algunos puedan cambiar de orientación. Los rectángulos congruentes son aquellos que tienen la misma área y el mismo perímetro.

La congruencia se verifica comparando las medidas de los lados correspondientes, el área y el perímetro; no basta con que las figuras tengan una sola medida igual. Dos rectángulos son congruentes cuando sus lados y ángulos correspondientes coinciden después de una traslación, una rotación o una reflexión.

Qué significa que los siete rectángulos sean congruentes

Los rectángulos congruentes son aquellos que tienen exactamente la misma área y el mismo perímetro. Esto significa que ambas figuras ocupan el mismo espacio y tienen el mismo contorno, aunque pueden tener orientaciones diferentes.

Todos los rectángulos tienen cuatro ángulos iguales a 90°, por lo que, al comparar rectángulos, la condición decisiva consiste en verificar que sus lados correspondientes tengan la misma longitud. Si un rectángulo tiene largo \(l\) y ancho \(a\), su área se obtiene multiplicando largo por ancho y su perímetro se obtiene mediante \(2 \times (largo + ancho)\).

En una fila de siete rectángulos congruentes, cada pieza debe conservar las mismas dos dimensiones. Si un rectángulo mide 4 por 8, los siete rectángulos deben medir 4 por 8, o 8 por 4 si alguno se encuentra girado. El orden en que se alinean no cambia su congruencia.

Cómo comprobar la congruencia de cada rectángulo

Para determinar si dos rectángulos son congruentes debes: 1) Calcular el área de ambos rectángulos (largo × ancho), 2) Calcular el perímetro de ambos (2 × largo + 2 × ancho), 3) Comparar ambos valores - solo son congruentes si área Y perímetro coinciden.

También es posible comprobar directamente que los dos pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. Dado que hay dos pares de lados de igual tamaño: 4=4,8=8 tienen la misma área: 8×4=32. Por lo tanto, los rectángulos son congruentes.

Cuando los siete rectángulos tienen las mismas dimensiones, sus áreas son iguales y sus perímetros también son iguales. Si cada uno mide 4 por 8, el área de cada rectángulo es 32 y el perímetro de cada rectángulo es 24.

Por consiguiente, si los siete rectángulos tienen esas dimensiones, todos son congruentes entre sí. La alineación únicamente describe la posición de las piezas y no modifica sus medidas.

Ejemplo de rectángulos que no son congruentes

En el primer rectángulo vemos lo siguiente: AB=7, BC=5, P=24, A=35. Es decir, el perímetro equivale a 24 y el área, a 35.

En el segundo rectángulo vemos lo siguiente: KL=8, LM=4, P=24, A=32. Es decir, el perímetro equivale a 24 y el área, a 32.

Los dos rectángulos tienen el mismo perímetro, pero su área es distinta. Por lo tanto, no son congruentes.

Este ejemplo muestra por qué no se debe comparar solamente el perímetro. Un rectángulo de 7×5 tiene perímetro 24 y área 35, mientras que un rectángulo de 8×4 tiene perímetro 24 pero área 32. Mismo perímetro no garantiza misma área.

También puede ocurrir que una sola dimensión sea igual y la otra sea diferente. Puedes notar que la longitud es la misma en ambos rectángulos: 3=3. Pero el ancho no es igual. 2 no es igual a 4. Por lo tanto, los rectángulos no son congruentes.

Aplicación al ejercicio de siete rectángulos alineados

Para analizar una figura formada por siete rectángulos alineados, se pueden nombrar las piezas de izquierda a derecha como rectángulo 1, rectángulo 2, rectángulo 3, rectángulo 4, rectángulo 5, rectángulo 6 y rectángulo 7. Después se comparan sus lados largos y sus lados cortos.

1. Identifica el largo y el ancho de un rectángulo.
2. Comprueba que el segundo rectángulo tenga las mismas dos medidas.
3. Repite la comparación con los siete rectángulos.
4. Calcula el área de una pieza y verifica que se repita en todas.
5. Calcula el perímetro de una pieza y verifica que se repita en todas.
6. Ignora la orientación cuando una pieza esté girada, porque una medida de 4 por 8 representa el mismo rectángulo que una medida de 8 por 4.

Si cada pieza conserva las mismas dimensiones, los siete rectángulos son congruentes. Si una pieza tiene un largo o un ancho diferente, deja de ser congruente con las demás, aunque esté unida a ellas y aunque comparta parte de su contorno.

La figura completa puede tener un perímetro distinto del perímetro de cada rectángulo individual, porque al alinearlos algunos lados interiores dejan de formar parte del contorno exterior. Sin embargo, esa diferencia no afecta la congruencia de las piezas: la comparación debe hacerse entre los rectángulos individuales.

Diferencia entre congruencia y semejanza

Los rectángulos congruentes tienen exactamente la misma área y perímetro. Los rectángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados pero pueden tener diferentes tamaños. Todos los rectángulos congruentes son similares, pero no todos los similares son congruentes.

Las figuras congruentes tienen sus lados y ángulos iguales, entonces al buscar la razón de proporcionalidad entre los lados correspondientes de figuras iguales o congruentes, el resultado siempre es igual a uno.

Las figuras semejantes tienen sus lados proporcionales, pero de diferente tamaño, y las figuras congruentes tienen sus lados exactamente iguales. Por eso, siete rectángulos pueden conservar la misma forma y, al mismo tiempo, ser congruentes únicamente cuando la razón entre sus lados correspondientes es igual a uno.

Ejemplo de rectángulos semejantes, pero no congruentes

El rectángulo ABCD tiene por medidas 5 de altura y 8 de base, mientras que el rectángulo A´B´C´D´ tiene como base 13 y de altura 8.

Entonces puedes afirmar que el ángulo A es igual al ángulo A prima; el ángulo B es igual al ángulo B prima, el ángulo C es igual al ángulo C prima y el ángulo D es igual al ángulo D prima, porque son ángulos de un rectángulo, son ángulos rectos o de 90°.

Y al obtener la razón de proporcionalidad entre los lados homólogos de los dos rectángulos, tienes que ocho entre cinco es igual a uno 1.6, es decir al dividir las medidas de las alturas, y al dividir las medidas de las bases, tienes trece entre ocho iguales a uno punto sesenta y dos.

Por lo tanto, el rectángulo ABCD es semejante con el rectángulo A´B´C´D´, porque sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Estos rectángulos no son congruentes porque sus lados correspondientes no son iguales. Son semejantes porque conservan la forma general y existe una proporción entre sus dimensiones.

Rectángulos congruentes con dimensiones escritas en distinto orden

Sí, dos rectángulos pueden ser congruentes aunque tengan dimensiones aparentemente diferentes. Por ejemplo, un rectángulo de 5×7 y otro de 7×5 son congruentes porque ambos tienen área 35 y perímetro 24.

El cambio de orden entre largo y ancho puede deberse a una rotación de la figura. La medida 5×7 representa el mismo rectángulo que 7×5, porque sus dos lados correspondientes siguen teniendo las mismas longitudes.

Ejemplos de divisiones que producen rectángulos no congruentes

Tenga en cuenta que DC divide a AE en dos partes desiguales. AC=5 mientras que CE=4.

El área del rectángulo ABDC es igual a: 5×2=10. El área del rectángulo CDGE es igual a: 4×2=8. Por lo tanto, los rectángulos no son congruentes.

Este razonamiento también se aplica a una fila de siete rectángulos: si una división produce una pieza con una longitud diferente, esa pieza no puede considerarse congruente con las otras aunque tenga la misma altura.

Conjuntos de rectángulos congruentes

Dado que JI interseca a AH y lo divide en dos partes idénticas, se puede argumentar que: AI=IH=BJ=JG=3 y dado que: AB=HG=5. Los rectángulos ABJI e IJGH son iguales y congruentes.

Observemos el rectángulo ADEH donde se da que AH es igual a 6, por lo tanto: AH=DE=6. De ello se deduce que: AH=CF=DE=6.

Dado que también: BC=CD=GF=FE=2.5. Por lo tanto, se puede argumentar que los rectángulos BCFG y CDEF son iguales y congruentes.

Dado que el lado BG divide el lado HE y AD en dos partes iguales: AB=BD=HG=GE=5 y AH=BG=DE=6. Se puede argumentar que los rectángulos BDEG y ABGH son iguales y congruentes.

Respuesta: ABJI≅IJGH; BCFG≅CDEF; ABGH≅BDEG.

Relación con triángulos y otras figuras

La congruencia y la semejanza no se aplican únicamente a rectángulos. En sesiones anteriores has estudiado acerca de las características de figuras congruentes y semejantes, en especial de triángulos, cuadrados y rectángulos.

El aprendizaje esperado consiste en resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. El énfasis está en resolver problemas que impliquen las propiedades de congruencia y semejanza de triángulos y cuadriláteros.

En un triángulo isósceles se trazó su altura CD. Al hacer el trazo se formaron los triángulos ACD y BCD. ¿Cómo resultan entre sí estos triángulos?

En el triángulo ABC, se trazó la altura CD, formando dos triángulos, que separas y delineas ADC de rojo y DBC de azul.

Así, la mediatriz es la recta o segmento que divide a un lado en dos partes iguales, y forma ángulos rectos, es decir de 90°.

Resolver un problema así, sin números solo con literales, es una Demostración Matemática. Antes de anotar las razones y afirmaciones, no olvides que utilizarás el método Deductivo o Axiomático del Matemático Griego Euclides.

Semejanza de triángulos mediante lados correspondientes

Primero con el botón polígono construye un triángulo cualquiera, de preferencia grande. Con el icono de punto medio, obtienes el punto medio de cada lado del triángulo.

Direcciona nuevamente al botón de Polígono para trazar un triángulo al interior del ya construido, con los puntos medios de cada lado como vértices. Das clic en polígono y luego clic en cada punto para unirlos con los segmentos, obteniendo así un triángulo interior y otro exterior.

Con el botón distancia y longitud mide los lados del triángulo interior y exterior. Primero el triángulo ABC, das clic en el vértice A y en el vértice B, para la medida del lado AB; das clic en el vértice B y en el vértice C, para el lado BC, clic en el vértice A y clic en el vértice C para el lado AC.

Direcciónate nuevamente a distancia o longitud para medir los lados del triángulo interior. Primero das clic en el vértice D y clic en el vértice E para el lado DE, clic en el vértice E y clic en el vértice F para el lado EF y por último clic en el vértice D y clic en el vértice F para el lado DF.

La misma, y es que esta construcción siempre da por resultado dos triángulos semejantes, y con apoyo de esta herramienta lo compruebas, porque el cociente de sus 3 lados correspondientes es el mismo.

Por lo tanto: El triángulo ABC es al triángulo DEF, por el criterio de semejanza L.L.L. Aunque las medidas cambian al mover uno de los vértices, las razones se mantienen constantes.

Errores frecuentes al resolver el ejercicio

• Comparar solo una medida, como el área o el perímetro.
• Confundir congruencia con semejanza.
• No verificar ambas condiciones simultáneamente.
• Asumir que medidas iguales en una dimensión implican congruencia total.
• Considerar que dos rectángulos con el mismo perímetro siempre son congruentes.
• Ignorar que una rotación puede cambiar el orden visual de largo y ancho sin cambiar la figura.
• Comparar el perímetro de la figura completa formada por siete rectángulos con el perímetro de una pieza individual.

Comprobación final mediante afirmaciones

Recuerda que los triángulos equiláteros tienen sus tres lados iguales y si comparas dos triángulos equiláteros de diferentes medidas, para buscar la razón de proporcionalidad, obtendrás siempre el mismo cociente. Además, estos triángulos también tienen sus tres ángulos iguales a 60°.

Todos los cuadrados tienen sus cuatro lados iguales, y sus cuatro ángulos iguales a 90°, y si comparas dos cuadrados de medidas diferentes, al buscar la razón de proporcionalidad de los lados homólogos, el resultado siempre es el mismo.

Las figuras congruentes tienen sus lados y ángulos iguales, y las figuras semejantes tienen sus lados proporcionales. Por ello, en un conjunto de siete rectángulos alineados, la respuesta depende de verificar si todos tienen exactamente las mismas dimensiones o únicamente conservan una proporción común.

Si las siete piezas tienen los mismos lados, los mismos ángulos, la misma área y el mismo perímetro, los siete rectángulos son congruentes. Si solo tienen lados proporcionales, son semejantes, pero no necesariamente congruentes.

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