La integral indefinida de (x − 2) dividido entre x es x − 2 ln|x| + C, con x ≠ 0. Para obtenerla, primero se separa la fracción mediante división término a término: (x − 2)/x = 1 − 2/x.
Por tanto, se integra cada término por separado: ∫(x − 2)/x dx = ∫1 dx − 2∫1/x dx = x − 2 ln|x| + C. La constante arbitraria C aparece porque la derivada de una constante es cero.
Planteamiento de la integral
La integral que se desea calcular es:
∫ (x − 2)/x dx
La integral indefinida de f(x), denotada como ∫f(x) dx, es definida como la antiderivada de f(x). En otras palabras, la derivada de ∫f(x) dx es f(x).
Dado que la derivada de una constante es cero, las integrales indefinidas son definidas solamente hasta una constante arbitraria.
Simplificación mediante división de la fracción
Se divide cada término del numerador entre el denominador:
(x − 2)/x = x/x − 2/x = 1 − 2/x
Así, la integral original se reescribe como:
∫ (x − 2)/x dx = ∫(1 − 2/x) dx
La expresión se puede separar en varias integrales:
∫(1 − 2/x) dx = ∫1 dx − 2∫(1/x) dx
Integración de cada término
Integral del término constante
La integral de una constante respecto de x es la constante multiplicada por x:
∫1 dx = x
Integral del término racional
Para el segundo término se utiliza la integral fundamental:
∫1/x dx = ln|x|
Por ello:
−2∫1/x dx = −2 ln|x|
Resultado final
Al combinar las dos antiderivadas se obtiene:
∫ (x − 2)/x dx = x − 2 ln|x| + C
La respuesta incluye el valor absoluto porque la función 1/x está definida tanto para valores positivos como para valores negativos de x, siempre que x ≠ 0.
Comprobación mediante derivación
Para verificar el resultado, se deriva:
d/dx [x − 2 ln|x| + C] = 1 − 2/x
Como:
1 − 2/x = (x − 2)/x
la derivada coincide con el integrando original. Por tanto, la antiderivada es correcta:
∫ (x − 2)/x dx = x − 2 ln|x| + C
Forma equivalente mediante división polinómica
También se puede aplicar la división de polinomios. Se divide el término de mayor orden del dividendo por el término de mayor orden del divisor:
x ÷ x = 1
Después se multiplica el nuevo término del cociente por el divisor:
1 · x = x
Al restar este producto del dividendo x − 2, queda el resto −2. Por consiguiente:
(x − 2)/x = 1 + (−2)/x = 1 − 2/x
La integral vuelve a tomar la forma:
∫ (x − 2)/x dx = ∫1 dx − 2∫1/x dx
Dominio y constante de integración
La expresión original no está definida en x = 0, porque el denominador no puede ser cero. Por esta razón, la antiderivada se considera en intervalos que no atraviesan el punto x = 0, como x > 0 o x < 0.
La constante C puede tomar valores distintos en intervalos separados por el punto donde la función no está definida. En la notación habitual de una integral indefinida se escribe una constante arbitraria:
x − 2 ln|x| + C
Interpretación de la integral indefinida
La integración es una herramienta importante en cálculo ya que puede dar una antiderivada o representar el área en una curva.
En este caso, la función que se integra puede escribirse como:
(x − 2)/x = 1 − 2/x
La antiderivada combina una función lineal, x, con un término logarítmico, −2 ln|x|. La presencia del logaritmo se debe al término 1/x.
Resultado resumido
| Expresión | Resultado |
|---|---|
| (x − 2)/x | 1 − 2/x |
| ∫1 dx | x |
| ∫1/x dx | ln|x| |
| ∫(x − 2)/x dx | x − 2 ln|x| + C |
