Divisiones y multiplicaciones en centenas: comprensión, procedimientos y práctica

Las multiplicaciones y divisiones en centenas permiten resolver cantidades mayores de forma organizada y eficaz, utilizando el valor posicional de unidades, decenas y centenas. Para aprenderlas, es necesario comprender qué representa cada cifra, dominar progresivamente las tablas y relacionar los cálculos con situaciones de suma, reparto y agrupación.

Las multiplicaciones implican sumar un número repetidas veces. Las divisiones implican repartir una cantidad en partes iguales. El aprendizaje puede comenzar con objetos, dibujos y sumas reiteradas, y avanzar hacia el cálculo escrito, las estimaciones, las operaciones por 10, 100 y 1.000 y la resolución de problemas.

Qué significa multiplicar y dividir en centenas

Las multiplicaciones son operaciones matemáticas que se realizan para calcular el resultado de sumar un número tantas veces como indique el otro número que compone la operación, por ejemplo: 52 × 4 = 208. Esta operación la podemos expresar como: 52 + 52 + 52 + 52 = 208.

Multiplicar es una operación más eficaz que sumar muchas veces el mismo número. Por ejemplo, seis amigos quieren saber cuántas golosinas tienen en total si las juntan todas. Cada uno de ellos tiene 5 golosinas en su bolsa. Los seis amigos pueden sumar: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30, pero esto resulta un poco repetitivo.

Así que deciden multiplicar 5 golosinas por las 6 bolsas que tienen en total. 5 golosinas por 6 bolsas es igual a 30 golosinas que son las que tienen en total entre todos los amigos.

Cuando se trabaja con centenas, una multiplicación puede representar varias centenas iguales. Por ejemplo, 3 × 400 significa sumar 400 tres veces: 400 + 400 + 400. También puede interpretarse como tres grupos de cuatro centenas, que forman doce centenas.

La división implica repartir una cantidad en partes iguales. Puedes utilizar plátanos para ilustrar este concepto. Si tienes 12 plátanos y deseas compartirlos entre 4 amigos, 12 ÷ 4 significa repartir los plátanos en partes iguales, dando a cada amigo 3 plátanos.

En el caso de las centenas, dividir 600 entre 3 significa repartir seis centenas en tres grupos iguales. A cada grupo le corresponden dos centenas, por lo que 600 ÷ 3 = 200.

El valor posicional en las centenas

Para multiplicar y dividir cantidades de tres cifras es importante reconocer el valor de cada posición. Una cifra puede representar unidades, decenas o centenas según el lugar que ocupa dentro del número.

El número 413 está formado por 4 centenas, 1 decena y 3 unidades. El número 561 contiene 5 centenas, 6 decenas y 1 unidad. Comprender esta composición ayuda a interpretar las llevadas en la multiplicación y los repartos sucesivos en la división.

También aparecen problemas de aproximación y valor posicional para facilitar el cálculo mental antes de operar, como redondear a la decena de millar para estimar el resultado.

Partes de una multiplicación

Son todos los números que intervienen en una multiplicación, tanto los factores -multiplicando y multiplicador- como el producto.

Factores

Son los números que se multiplican. Los factores se escriben uno debajo del otro. Normalmente se escribe arriba el número mayor, el que vamos a multiplicar, que por eso podemos llamar multiplicando y abajo se escribe el número menor, el que indicaba las veces que se repetía, al que llamamos también multiplicador.

Producto

Es el resultado de la multiplicación.

Cómo multiplicar una cantidad de centenas por una cifra

Se multiplica el multiplicador (número de abajo, el 6) por cada una de las cifras del multiplicando (número de arriba, el 413), de derecha a izquierda, es decir, empezamos multiplicando 3 × 6.

Las unidades del producto se escriben debajo de la raya, en vertical con las unidades del multiplicando (o sea, debajo del 6). Como 3 × 6 son 18, tenemos 18 unidades, así que escribiríamos un 8 y nos guardaríamos el 1 para añadirlo a las decenas.

Las decenas del producto van debajo de las decenas del multiplicando. Nos habíamos guardado un uno que nos «llevábamos» del paso anterior, Como ahora 1 × 6 es igual a 6, más 1 que nos llevábamos serían 7. La cifra de las decenas sería un 7. Y no nos llevamos nada.

Ahora multiplicaríamos por 6 las 4 centenas del multiplicando, dan 24 centenas, ponemos el 4 debajo de las centenas y como ya no nos queda nada más por multiplicar ponemos el 2 a la izquierda del 4, 24 centenas son 2 unidades de millar y 4 centenas.

El resultado de multiplicar 413 por 6 es 2478. Es decir 2 unidades de millar, 4 centenas, 7 decenas y 8 unidades.

Ejemplo: 413 × 6

Otro ejemplo de multiplicación con centenas

Ahora que ya sabes cómo se hacen las multiplicaciones, vamos a verlo con otro ejemplo un poco más detallado. Por ejemplo, vamos a multiplicar 561 × 3.

Empezamos multiplicando el 1 × 3 = 3. Escribimos el 3 debajo de la raya, en la posición de las unidades.

Ahora multiplicamos 6 × 3 = 18. Como estamos multiplicando 6 decenas por 3 nos ha dado 18 decenas, esto son 8 decenas, que apuntamos debajo de la raya, en la posición de las decenas y una centena, que nos guardamos para sumárselo al siguiente paso.

Por último, multiplicamos 5 × 3 = 15. 15 centenas, más la que nos habíamos guardado del paso anterior, 16. Y como no hay más que multiplicar, escribimos el 16 debajo de la raya.

Y el resultado de la multiplicación: 561 × 3 = 1.683. Fíjate que la centena que nos hemos guardado la hemos apuntado encima del 5 para que no se nos olvide.

Multiplicaciones por 10, 100 y 1.000

En este episodio trabajamos con multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1000… Román y Uma resuelven algunos cálculos y, a partir de sus estrategias, estudiamos una forma de multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros.

Al multiplicar un número natural por 10, cada cifra pasa a ocupar una posición de mayor valor y se añade un cero a la derecha. Al multiplicar por 100, se añaden dos ceros, y al multiplicar por 1.000, se añaden tres ceros.

Multiplicar por 100 también puede entenderse como convertir unidades en centenas cuando el número lo permite. Por ejemplo, 6 × 100 = 600, porque seis unidades de cien forman seis centenas.

División de centenas entre una cifra

Dividir una cantidad de centenas entre una cifra consiste en repartir esas centenas en grupos iguales. Si el reparto no puede hacerse completamente con centenas, se transforma una centena en diez decenas y se continúa el procedimiento con el valor posicional correspondiente.

Las divisiones implican repartir una cantidad en partes iguales. Puedes utilizar objetos cotidianos para ilustrar este concepto. Si tienes 12 plátanos y deseas compartirlos entre 4 amigos, 12 ÷ 4 significa repartir los plátanos en partes iguales, dando a cada amigo 3 plátanos.

En una división aparecen el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se reparte, el divisor indica entre cuántos grupos se realiza el reparto, el cociente muestra cuánto corresponde a cada grupo y el resto indica la cantidad que queda sin repartir.

División exacta

Son ejercicios exactos, es decir, el resto de la operación es cero y el dividendo es igual al divisor por el cociente.

División con resto

Cuando la cantidad no puede repartirse de manera exacta, queda un resto. El resto siempre debe ser menor que el divisor.

Los ejercicios personalizados pueden incluir las cifras del dividendo y divisor y decidir si deben ser con o sin resto.

Relación entre multiplicación y división

La multiplicación y la división son operaciones relacionadas. Una multiplicación puede comprobarse mediante una división y una división puede comprobarse mediante una multiplicación.

Si 3 × 200 = 600, entonces 600 ÷ 3 = 200. También puede comprobarse que 600 ÷ 3 = 200 porque 200 × 3 = 600.

Esta relación ayuda a comprobar los resultados y a comprender que repartir una cantidad en grupos iguales es la operación inversa de reunir varias veces una misma cantidad.

Problemas que preparan para trabajar con centenas

La propuesta aborda la enseñanza de la multiplicación y la división. Detallamos a continuación los contenidos que se abordan: Resolver sencillos problemas de multiplicación y división que involucren distintos sentidos de ambas operaciones. Resolver sencillos cálculos mentales exactos y estimativos que involucren multiplicaciones y divisiones por medio de diversos procedimientos.

Los siguientes apartados abordan diferentes tipos de problemas que involucran la multiplicación: Problemas con cantidades que se repiten, Problemas de filas y columnas, Problemas con combinaciones, Cálculos y problemas, Problemas en los que hay que repartir y partir, ¿Alcanza justo o falta?, Problemas en lo que hay que hacer varios cálculos.

Cantidades que se repiten

Se propone iniciar el recorrido a partir de un conjunto de problemas que tienen la intención de que las chicas y los chicos comiencen a vincular la suma de cantidades que se repiten con una nueva operación: la multiplicación.

Es probable que algunas niñas y algunos niños aún necesiten apoyarse en el conteo. Tal vez porque no reconozcan que la suma también podría utilizarse para resolver estos problemas en los que identifican “algo” diferente a los que resolvieron anteriormente.

Por ello, los primeros enunciados presentan imágenes de modo de habilitar el uso de esa estrategia: contar dos veces los 10 panes de la bandeja en el problema 1 y contar 3 veces las 4 pilas del paquete en el problema 2.

Otras y otros quizás comiencen contando y abandonen ese camino al reconocer que podrían sumar 10+10 o 4+4+4. Incluso, quienes hayan tenido la oportunidad de resolver problemas multiplicativos anteriormente, podrán identificar que 2x10 o 10x2, y 3x4 o 4x3 son cálculos que permiten resolver este tipo de problemas en los que se repite varias veces la misma cantidad.

Filas y columnas

Los problemas de filas y columnas pueden representarse mediante grupos de objetos colocados de forma ordenada. Para encontrar el total, se puede multiplicar el número de filas por el número de objetos de cada fila.

Una disposición de 3 filas con 200 objetos en cada fila se puede expresar como 3 × 200. La misma situación también puede escribirse como 200 + 200 + 200.

Combinaciones

Los problemas con combinaciones consisten en determinar cuántas posibilidades se obtienen al combinar elementos de dos grupos. La multiplicación permite evitar la enumeración de cada combinación por separado.

Repartir y partir

Los problemas en los que hay que repartir y partir permiten comprender la división desde distintos sentidos. En un caso se conoce la cantidad total y el número de grupos; en otro, se conoce la cantidad de cada grupo y se busca cuántos grupos pueden formarse.

Varios cálculos

En los problemas en los que hay que hacer varios cálculos, el alumnado debe identificar qué operaciones necesita y en qué orden debe realizarlas. Estos ejercicios pueden combinar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Construcción progresiva de los procedimientos

Las alumnas y los alumnos ingresan a estos nuevos contenidos a partir de lo que saben acerca de la suma y de la resta. Es posible entonces anticipar que los procedimientos iniciales que las niñas y los niños desplieguen al resolver problemas y cálculos multiplicativos tendrán un fuerte anclaje en los conocimientos que han elaborado al resolver problemas y cálculos aditivos.

Será importante que tengan acceso a diversos portadores de información que traigan a escena esos conocimientos para quienes necesiten consultarlos al resolver los nuevos problemas. Las ideas que allí figuren, pronto resultarán insuficientes o poco convenientes para abordar los nuevos desafíos, motorizando así la búsqueda o construcción de otras más avanzadas que irán engrosando los conocimientos que circulan en la clase.

Si bien es posible utilizar dibujos, conteo o sumas reiteradas, la multiplicación representa un procedimiento más eficaz cuando se repite una misma cantidad muchas veces. La división, por su parte, permite organizar repartos y determinar cuántos grupos iguales pueden formarse.

Es importante valorar lo que cada estudiante sabe y pone en acción, y permitir que sigan utilizándolo mientras lo necesiten. Incluso conviviendo con los nuevos procedimientos que van aprendiendo hasta que confíen en ellos, por ejemplo, contar o sumar para controlar los resultados que obtienen al usar los nuevos cálculos para multiplicar.

Al mismo tiempo señalamos el riesgo de no promover avances en esos procedimientos. Reconocemos aquí una tensión que las y los docentes suelen plantear: “¿hasta cuándo dejamos que resuelvan usando conteo, dedos o palitos?”, “¿cómo hacemos para que avancen sus maneras de resolver?”.

Estimación y cálculo mental

Los siguientes apartados presentan problemas que involucran cálculos mentales exactos y estimativos: Multiplicar por 10, por 100 y por 1.000, Cálculos conocidos y cálculos nuevos, Cálculo aproximado.

El cálculo aproximado permite anticipar si el resultado de una operación es razonable. Antes de resolver una multiplicación o una división de centenas, se puede observar el tamaño de los números y redondearlos para obtener una estimación.

La estimación no sustituye al cálculo exacto, pero sirve para detectar errores. Si una multiplicación de centenas produce un resultado mucho menor que los factores o una división produce un cociente mayor que el dividendo cuando el divisor es mayor que uno, conviene revisar el procedimiento.

Uso de tablas y relaciones entre productos

Los siguientes apartados presentan problemas que apuntan a establecer relaciones entre productos y a avanzar en la construcción de un repertorio multiplicativo: Tablas para saber cuánto se necesita, Usar las tablas para resolver nuevos cálculos y problemas, Más problemas con tablas, Un cuadro con multiplicaciones, Usar la tabla pitagórica para dividir.

La tabla de multiplicar ayuda a resolver cálculos con centenas. Si se conoce que 4 × 3 = 12, entonces se puede deducir que 4 × 300 = 1.200, porque 300 representa tres centenas y el resultado contiene doce centenas.

También puede utilizarse la tabla pitagórica para dividir. Si se busca el resultado de 1.200 ÷ 4, hay que localizar el número que multiplicado por 4 da 1.200.

Enseñar multiplicaciones y divisiones

Enseñar multiplicaciones y divisiones a niños y niñas puede ser un desafío, pero con paciencia y creatividad podemos conseguir que estos conceptos matemáticos sean accesibles y divertidos para los estudiantes.

Comprender el nivel de cada estudiante

Los peques tienen diferentes niveles de desarrollo cognitivo y habilidades matemáticas. Tenemos que asegurarnos de conocer las capacidades individuales de los estudiantes para adaptar las lecciones de acuerdo con sus necesidades específicas.

En este sentido, reiteramos algo que hemos expresado en varias ocasiones: es preciso que los materiales sean usados con la flexibilidad necesaria para acompañar a cada grupo y a cada estudiante.

Como venimos señalando en este tiempo, es necesario (siempre lo fue, pero ahora se hace indispensable) contemplar la heterogeneidad de conocimientos presente en las aulas y planificar la enseñanza respondiendo a ella.

Utilizar materiales visuales y concretos

Los materiales visuales son los mejores aliados al enseñar multiplicaciones y divisiones. Podemos usar objetos cotidianos, bloques, dibujos y otros recursos visuales para que niños y niñas puedan ver y tocar las operaciones matemáticas.

Es posible utilizar centenas representadas con bloques, agrupaciones de cien objetos, cuadrículas, billetes didácticos o dibujos organizados en filas y columnas. Estos apoyos permiten observar cómo una cantidad se reúne, se multiplica o se reparte.

Relacionar las operaciones con situaciones reales

Relacionar los conceptos matemáticos con situaciones reales les ayudará a comprender por qué las multiplicaciones y divisiones son importantes en la vida cotidiana. Por ejemplo, repartir juguetes, galletas o calcular áreas.

Una situación como repartir 800 objetos entre 4 grupos permite plantear 800 ÷ 4. Una situación como colocar 3 grupos de 200 objetos permite plantear 3 × 200.

Practicar de forma gradual

La práctica constante es esencial. Podemos comenzar con problemas simples y aumentar gradualmente la complejidad a medida que los peques adquieren confianza.

Se puede establecer un tiempo dedicado a las matemáticas todos los días para mantener la motivación y retener mejor la información.

La progresión puede comenzar con tablas y multiplicaciones sencillas, continuar con centenas exactas, avanzar hacia números de tres cifras y terminar con divisiones de varias cifras y problemas que requieran más de una operación.

Aprender mediante juegos y actividades

Como ya os contamos aquí, se ha demostrado que el aprendizaje a través del juego es efectivo y divertido. El uso de apps interactivas o introducir vídeos con problemas guiados sirven para que niños y niñas se sientan motivados y participen de manera activa en las lecciones.

Los juegos pueden incluir operaciones para colorear, retos cronometrados, laberintos, unir resultados, completar tablas, descubrir personajes y resolver problemas mediante dibujos.

Actividades y fichas para practicar

Combinan multiplicaciones y divisiones con actividades de colorear. Los estudiantes tienen que resolver las operaciones que están colocadas en un dibujo y, según el resultado obtenido, rellenar las zonas indicadas con distintos colores (azul, rosa, amarillo, etc.).

Contiene cuatro fichas para trabajar de forma divertida las tablas del 2 al 9 mediante operaciones y dibujos. Cada una plantea varias multiplicaciones agrupadas en cuadros que indican un color; una vez resueltas las operaciones, el menor debe buscar la solución en la imagen y pintar la respuesta del tono indicado.

Las fichas de divisiones están destinadas para el alumnado de 3º a 6º de Primaria, están compuestas por diferentes ejercicios para practicar las divisiones de varias cifras. Están organizadas por niveles y edades y vienen acompañadas de las soluciones para que los estudiantes puedan comprobar sus aciertos y errores tras completarlas.

Las fichas para practicar las tablas de multiplicar recopilan diferentes ejercicios para descargar en formato PDF y trabajar desde clase o desde casa. En ellos el alumnado debe completar las tablas con las opciones correctas o resolver operaciones.

También dispone de un generador automático de preguntas, en el que el docente puede escoger las tablas a repasar y el número de cuestiones a resolver.

Los ejercicios de multiplicaciones y divisiones pueden resolverse de manera online, escribiendo en ellos los resultados para después compartirlos con el docente o comprobar las respuestas de manera automática o imprimirse en formato PDF.

En ellos se indica el nivel educativo para el que están destinadas.

Divisiones por una cifra

Reúne 10 fichas con 30 operaciones cada una para aprender a dividir por una cifra. Están especialmente pensadas para niños de primer ciclo de Primaria que comienzan a estudiar la división y a realizar operaciones sencillas, aunque también son adecuadas para alumnos que necesitan repasar.

También es posible repasar las divisiones de una, dos y tres cifras. Su descarga está disponible en formato PDF. También cuenta con fichas para trabajar el cálculo mental, en forma de laberinto en el que se combinan multiplicaciones y divisiones y otros tipos de ejercicios matemáticos.

Con ilustraciones inspiradas en el carnaval, Los Simpson o Star Wars, estas fichas buscan repasar las divisiones de una cifra. Dispone de dos posibilidades de trabajo: siguiendo el método tradicional o aplicando el método ABN.

Las fichas de divisiones de una cifra para imprimir son sencillas operaciones de una sola cifra pensadas para el alumnado de los primeros ciclos de Primaria. Pueden descargarse en PDF o en JPG.

Operaciones combinadas y problemas

Indicado para tercero y cuarto de Primaria, este cuaderno incluye sumas, restas, multiplicaciones y divisiones planteadas de distinta manera (resuelve, rellena la casilla que falta, une con el resultado correcto…).

También cuenta con problemas que se pueden resolver con las operaciones practicadas. Al final del cuadernillo aparecen todas las respuestas a las actividades.

Incluyen cálculos directos, operaciones con números de varias cifras y actividades combinadas con y sin paréntesis.

Cuadernos progresivos

El alumnado repasa de forma progresiva las multiplicaciones y divisiones de varias cifras empezando con el refuerzo de las tablas y avanzando hacia cálculos cada vez más largos y complejos.

A lo largo de sus 225 páginas, este libro reúne operaciones resueltas con distintos niveles de complejidad. Las fichas se organizan en 10 bloques que comienzan con multiplicaciones y divisiones de tres cifras para terminar con las de cinco cifras.

Dispone de un cuaderno de actividades compuesto por 28 páginas con las que se pueden trabajar las multiplicaciones de una, dos y tres cifras. Está destinado al alumnado de Primaria y puede descargarse de manera completa y gratuita.

Organización del trabajo en el aula

La variedad de modalidades de organización también representa un recurso potente para dar lugar a las diversas voces y conocimientos de las y los estudiantes. Es así que en ambas propuestas podrán encontrar actividades planteadas para hacer individualmente, en pequeños grupos o entre todas y todos.

En ocasiones, es importante reservar un primer acercamiento individual para que cada alumna o alumno tenga un espacio propio para analizar el problema matemático propuesto, movilice los conocimientos que considere pertinentes y ensaye un primer camino de resolución.

Asimismo, es importante ofrecer momentos de trabajo con otras y otros, dada la potencialidad de las interacciones entre pares para la construcción y el avance de los conocimientos.

Las interacciones nos hicieron falta, desde la enseñanza y desde los aprendizajes. Estamos en un nuevo tiempo en el que es necesario que vuelvan a ocupar un espacio privilegiado de las clases.

Comparar procedimientos y analizar errores

En un espacio de intercambio colectivo se podrá poner en diálogo esas distintas maneras de resolver y advertir que hay otras formas de llegar al resultado sin contar uno a uno cada elemento.

Como podrán advertir, se presentan aquí distintas maneras correctas de resolver este problema y determinar que hay 24 lápices: conteo, sumas de 6 en 6, sumas reiteradas de 6, sumas que se apoyan en composiciones y descomposiciones, multiplicaciones.

Anticipar las posibles respuestas que pueden surgir en la clase pone a las y los docentes en mejores condiciones de intervenir frente a la diversidad de procedimientos y de organizar espacios de debate que permitan analizarlos, compararlos e identificar las ventajas de unos respecto de otros.

En este sentido, la reflexión colectiva muestra su potencia para motorizar avances en los procedimientos de resolución junto al progresivo abandono de aquellos que comienzan a reconocer como más costosos.

Es importante agregar que esta diversidad de procedimientos sólo hará su aparición en la clase si no se presentan previamente las maneras más económicas de resolver y si no se validan o invalidan de entrada las maneras que se espera introducir o abandonar.

Reflexionar después de resolver

La gran cantidad de problemas que encontrarán busca ofrecer oportunidades de aproximarse, desde distintas aristas, a un mismo contenido, detenerse por un tiempo a resolver problemas, explorar formas de resolver, comparar diversos procedimientos, analizar errores, discutir ideas, tomar conciencia de lo que se va aprendiendo y registrar conclusiones.

Como en otros materiales, incluimos varias instancias de reflexión sobre lo realizado. Estas situaciones plantean retornar sobre los problemas matemáticos y sobre los diversos procedimientos desplegados para resolverlos.

Detenerse y volver atrás es fundamental para avanzar, porque los conocimientos movilizados durante la resolución suelen funcionar de manera implícita y podrían permanecer en ese estado de no mediar situaciones que requieran su explicitación.

La escritura de conclusiones está planteada en forma colectiva, sin embargo en otros momentos podría ser propuesta de manera individual, en parejas o pequeños grupos.

Se trata de escrituras que pueden quedar a cargo de la o del docente sin modificar sustancialmente lo que las niñas o los niños dicen, ya que es importante que reconozcan en esos registros aquello que circuló en la clase y puede ser reutilizado.

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