Las divisiones sin decimales son operaciones en las que se trabaja con números enteros y el resultado puede ser exacto o incluir un resto. Para resolverlas correctamente es necesario reconocer el dividendo, el divisor, el cociente y, cuando no se trata de una división exacta, el residuo o resto.
La división se trata de un reparto en partes iguales. Si expresamos matemáticamente el ejemplo anterior, tan solo diríamos que 10 dividido entre 5 es igual a 2.
Partes de una división
La división es una operación que consta de tres partes principales: Dividendo: El número que se va a dividir. Divisor: El número por el cual se va a dividir el dividendo. Cociente: El resultado de la división. Residuo o Resto: La cantidad que queda si el dividendo no es divisible de manera exacta por el divisor.
El dividendo es el número que se va a dividir en una operación de división. Por ejemplo, en la operación 24 ÷ 4 = 6, el número 24 es el dividendo.
El divisor es el número por el cual se va a dividir el dividendo. El cociente es el resultado que se obtiene de dividir el dividendo entre el divisor.
| Parte | Significado |
|---|---|
| Dividendo | El número que se va a dividir |
| Divisor | El número por el cual se divide el dividendo |
| Cociente | El resultado de la división |
| Residuo o resto | La cantidad que queda cuando la división no es exacta |
Divisiones exactas y divisiones con resto
Hay principalmente dos tipos de división: División Exacta: Es la división en la cual el dividendo es exactamente divisible por el divisor, es decir, no queda ningún residuo. División Inexacta o Entera: Es la división en la que el dividendo no es exactamente divisible por el divisor, es decir, queda un residuo o resto.
Una división es exacta cuando el resto es cero. Por ejemplo, 24 ÷ 4 = 6. En una división con resto, el divisor no puede restarse una vez más sin obtener un número negativo.
¿Cómo se hacen las divisiones con resto? Divide el dividendo entre el divisor y quédate con el cociente entero; el resto es lo que falta hasta el dividendo. Por ejemplo, 47 ÷ 5 = 9 con resto 2, porque 5 × 9 = 45 y 47 − 45 = 2.
El resto siempre es menor que el divisor. Por ejemplo, en la división 17 ÷ 5, puedes restar 5 de 17 tres veces antes de que el número que te quede sea menor que 5. Así, el cociente es 3, pero te queda un 2 de dividendo que no puedes restar más veces. Ese 2 es el resto de la división.
Cómo resolver una división sin decimales
Para realizar una división, se colocan el dividendo y el divisor en una estructura especial de cálculo y se sigue un procedimiento de repetir restar el divisor del dividendo y contar cuántas veces se realizó esta operación hasta que ya no se pueda restar más.
- Colocamos el número de tres cifras (dividendo) dentro del símbolo de división y el número por el cual lo vamos a dividir (divisor) fuera de este.
- Comenzamos dividiendo el número de la izquierda del dividendo por el divisor. Si el divisor es más grande que este número, entonces tomamos las dos primeras cifras.
- Escribimos el resultado (cociente) en la línea superior.
- Multiplicamos el cociente por el divisor y lo restamos del número que acabamos de dividir.
- Bajamos la siguiente cifra del dividendo y repetimos los pasos 2 a 4 hasta que no queden cifras por bajar.
- Si el último número restado del dividendo es igual a cero, entonces la división es exacta. Si no, ese número es el residuo o resto.
En una división larga, este proceso se realiza paso a paso, restando el divisor del dividendo tantas veces como sea posible. El número de veces que se puede restar el divisor del dividendo es el cociente.
La división larga no es tan complicada si se practica, y se comprende bien su algoritmo. La división larga es más difícil cuando los alumnos no dominan bien la multiplicación, así que primero asegúrese bien de que lo hagan.
Relación entre división y multiplicación
Las divisiones básicas son sólo multiplicaciones básicas expresadas de otra manera. Si los alumnos tienen un buen dominio de las bases de la multiplicación, entonces aprenderán la división en un dos por tres.
Si desea que sus estudiantes tengan éxito aprendiendo y practicando la división, por favor asegúrese de que conozcan las bases de la multiplicación hasta 81, y de que saben multiplicar por 0 y por 10.
Para comprobar una división exacta, se multiplica el cociente por el divisor y el resultado debe coincidir con el dividendo. En una división con resto, se multiplica el cociente por el divisor y se suma el resto, debiendo obtener el dividendo.
| Tipo de división | Comprobación |
|---|---|
| Exacta | Divisor × cociente = dividendo |
| Con resto | Divisor × cociente + resto = dividendo |
Ejercicios de divisiones sin decimales
Las hojas de ejercicios de división le ayudan a enseñarle a sus alumnos el concepto fundamental de la división. Esta página es de hecho muy sencilla. Comenzamos con algunas divisiones básicas, las cuales son sólo multiplicaciones básicas expresadas de otra manera.
Divisiones básicas horizontales
- Dividendos hasta 25
- Dividendos hasta 36
- Dividendos hasta 49
- Dividendos hasta 64
- Dividendos hasta 81
- Dividendos hasta 100
- Dividendos hasta 121
- Dividendos hasta 144
- Dividendos hasta 169
- Dividendos hasta 196
- Dividendos hasta 225
Divisiones básicas verticales
- Dividendos hasta 25
- Dividendos hasta 36
- Dividendos hasta 49
- Dividendos hasta 64
- Dividendos hasta 81
- Dividendos hasta 100
- Dividendos hasta 121
- Dividendos hasta 144
- Dividendos hasta 169
- Dividendos hasta 196
- Dividendos hasta 225
Divisiones por números fijos
Las divisiones básicas por números fijos permiten practicar una misma tabla de división con cocientes entre 1 y 9 o entre 1 y 12.
- División por 1
- División por 2
- División por 3
- División por 4
- División por 5
- División por 6
- División por 7
- División por 8
- División por 9
- División por 10
- División por 11
- División por 12
También pueden organizarse por combinaciones de números fijos: División por 1, 2, 5 y 10; División por 3, 4 y 6; División por 7, 8 y 9; División por 11 y 12.
Ejercicios de división larga sin resto
Los ejercicios de división larga sin resto sirven para practicar operaciones exactas con divisores y cocientes de distinta cantidad de cifras.
- Divisor Múltiplo de Diez; Cociente de 2 Dígitos
- Divisor de 1 Dígito; Cociente de 1 Dígito
- Divisor de 1 Dígito; Cociente de 2 Dígitos
- Divisor de 1 Dígito; Cociente de 3 Dígitos
- Divisor de 2 Dígitos; Cociente de 2 Dígitos
- Divisor de 2 Dígitos; Cociente de 3 Dígitos
- Divisor de 2 Dígitos; Cociente de 4 Dígitos
- Divisor de 3 Dígitos; Cociente de 3 Dígitos
- Divisor de 3 Dígitos; Cociente de 4 Dígitos
- Divisor de 3 Dígitos; Cociente de 5 Dígitos
Ejercicios de división larga con resto
Las divisiones largas con resto permiten practicar situaciones en las que el dividendo no es exactamente divisible por el divisor. El resultado se expresa mediante un cociente entero y un resto menor que el divisor.
- Divisor Múltiplo de Diez; Cociente de 2 Dígitos
- Divisor de 1 Dígito; Dividendo de 2 Dígitos
- Divisor de 1 Dígito; Dividendo de 3 Dígitos
- Divisor de 1 Dígito; Dividendo de 4 Dígitos
- Divisor de 2 Dígitos; Dividendo de 3 Dígitos
- Divisor de 2 Dígitos; Dividendo de 4 Dígitos
- Divisor de 2 Dígitos; Dividendo de 5 Dígitos
- Divisor de 3 Dígitos; Dividendo de 4 Dígitos
- Divisor de 3 Dígitos; Dividendo de 5 Dígitos
- Divisor de 3 Dígitos; Dividendo de 6 Dígitos
Método de división mediante restas
¿Necesita un método más sencillo para dividir números grandes? Pruebe este método usando potencias de diez. Para emplear este método exitosamente, los estudiantes deben ser capaces de multiplicar por potencias de diez, y de restar.
Los estudiantes sustraen el dividendo multiplicado por potencias decrecientes de diez hasta que tengan cero o un resto.
Ejemplo: 1458 ÷ 54. Note que 54 × 1 = 54, 54 × 10 = 540 (no hace falta nada más grande). 1458 - 540 - 540 = 378.
Note que 540 fue sustraído dos veces, así que el número de veces que 54 "cabe" en 1458 hasta ahora es 20. Continuando, 378 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 = 0.
Como 54 fue sustraído siete veces, el cociente aumenta en siete para un total de 27. En otras palabras, 54 "cabe" 27 veces en 1458.
Debemos mencionar también que este método puede ser todavía más sofisticado si se usan múltiplos de potencias de diez. En el ejemplo anterior, si se usara 54 × 5 = 270 se hubiese obtenido el resultado más rápidamente.
División con materiales manipulables
Fije el concepto de la división en las mentes de sus alumnos con elementos manipulables. Usadndo bloques base diez, los estudiantes deben reagrupar todas las varas en cubitos para poder hacer pilas de a nueve.
En lugar de enredar las cosas con lenguaje complicado (dividendo, divisor, cociente), trate de hacer preguntas como: "¿Cuántos ____ hay en ____?"
Para el problema, 81 ÷ 9, la pregunta sería, "¿Cuántos 9 hay en 81?" Este tipo de preguntas beneficiaría al estudiante más tarde cuando deban conceptualizar la división decimal o de fracciones.
Comienza con conceptos concretos: Utiliza objetos físicos como frutas o juguetes para mostrar cómo se puede dividir un conjunto de objetos en grupos iguales.
Usa ejemplos de la vida real: La división es un concepto que se usa a menudo en situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, si tienes 10 galletas y 5 amigos, ¿cuántas galletas le tocaría a cada uno?
Problemas de divisiones
Los problemas de divisiones se reconocen porque presentan una cantidad total, grupos iguales, una comparación o una relación entre magnitudes. Para resolverlos, primero hay que identificar qué representa cada número y qué pregunta plantea el enunciado.
Reparto en partes iguales
En la estantería del salón de mi casa hay 120 libros en total colocados en 6 estantes. Sabiendo que cada estantería tiene el mismo número de libros, calcula cuántos libros hay en cada estantería.
Encontramos: Un número total de objetos: hay 120 libros en total. Un número de conjuntos: colocados en 6 estanterías. La pregunta sobre el número de cosas que hay en cada conjunto: ¿Cuántos libros hay en cada estantería?
Para resolver este problema, debemos pensar: si en total hay 120 libros repartidos por igual en 6 estantes, para saber cuántos libros hay en total, dividiremos 120 entre 6.
De excursión por el bosque, recogimos 80 moras, que gastamos por completo haciendo pasteles. Si pusimos 4 moras en cada pastel, ¿cuántos pasteles de moras hicimos?
Encontramos: Un número total de objetos: Recogimos 80 moras. El número de objetos que lleva cada conjunto: pusimos 4 moras en cada pastel. La pregunta sobre el número de conjuntos: ¿Cuántos pasteles de moras hicimos?
Debemos pensar: si repartimos todas las moras de 4 en 4 en los pasteles, dividiendo las 80 moras que había entre 4 que van a cada pastel, obtendremos el número de pasteles.
Escalas de comparación
En este tipo de problemas de divisiones se compara una cantidad con otra que es más grande o más pequeña.
Desde Toledo, el autobús hasta el pueblo de Luis cuesta 12 euros, justo 3 veces más que lo que cuesta ir hasta el pueblo de Marta. ¿Cuánto cuesta el autobús hasta el pueblo de Marta?
Encontramos: Un número que expresa una cantidad: El autobús hasta el pueblo de Luis cuesta 12 euros. Un número que expresa la comparación entre la segunda cantidad y la primera: justo 3 veces más que lo que cuesta ir al pueblo de Marta. La pregunta sobre la segunda cantidad: ¿Cuánto cuesta el autobús hasta el pueblo de Marta?
Para resolver el problema, debemos pensar: si al pueblo de Luis cuesta 3 veces más dinero que al pueblo de Marta, quiere decir que al pueblo de Marta costará 3 veces menos. Por eso, dividiremos 12 : 3: El autobús al pueblo de Marta cuesta 4 euros.
Escalas de fórmulas
En este tipo de problemas de divisiones nos aparecerán fórmulas, como por ejemplo una velocidad.
Pablo es conductor de autobús. Me ha dicho que en cada viaje hace 240 kilómetros y que viaja a una velocidad media de 80 kilómetros por hora. ¿Cuánto tiempo tarda en hacer su recorrido?
Encontraremos: Una distancia total: en cada viaje hace 240 kilómetros. Una velocidad: viaja a una velocidad media de 80 kilómetros por hora. Una pregunta sobre el tiempo: ¿Cuánto tiempo tarda en hacer su recorrido?
Para resolver el problema, debemos pensar: si mantiene una velocidad de 80 kilómetros por hora, quiere decir que cada hora que conduce recorre 80 kilómetros. También sabemos que en total recorre 240 kilómetros. Por lo tanto, para saber el tiempo que tardará debemos dividir 240 entre 80: Su recorrido dura 3 horas.
Combinación o producto cartesiano
En este tipo de problemas de divisiones encontraremos dos o más conjuntos de cosas o personas. Estos conjuntos se combinan entre sí formando todas las parejas posibles.
En una cafetería ofrecen todos los domingos un desayuno combinado como cada cliente elija, con la condición de que siempre se elija una bebida y una pieza de panadería. Sabiendo que en esta cafetería se ofertan en total 5 bebidas diferentes, y que con las distintas piezas de panadería se pueden hacer 40 combinaciones de desayuno distintas…
Encontraremos: El número de elementos que tiene el primer conjunto: se ofertan en total 5 bebidas diferentes. El número de combinaciones posibles entre ambos conjuntos: se pueden hacer 40 combinaciones de desayuno. La pregunta, que se refiere al número de elementos que tiene el segundo conjunto: ¿Entre cuántas piezas de panadería distintas se puede elegir?
Para resolver el problema, debemos pensar: cada pieza de panadería la podemos combinar con cada una de las 5 bebidas diferentes. Por lo tanto, con cada pieza de panadería podremos elegir entre 5 desayunos distintos. Sabiendo que en total habrá 40 desayunos diferentes, podemos averiguar el número de piezas de panadería dividiendo 40 : 5: Se puede elegir entre 8 piezas de panadería distintas.
Reglas de divisibilidad
Las reglas de divisibilidad ayudan a comprobar rápidamente si una división sin decimales será exacta. Los ejercicios pueden incluir una variedad de números grandes y pequeños, y enfocarse en diferentes divisores.
Divisibilidad por 2, 5 y 10
Un número es divisible por 2 si su dígito final (en el lugar de las unidades) es par. Por lo tanto, los números terminados en 0, 2, 4, 6, y 8 son divisibles por 2.
Un número es divisible por 5 si su dígito final es 0 ó 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Divisibilidad por 3, 6 y 9
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 285 es divisible por 3 porque 2 + 8 + 5 = 15 es divisible por 3.
Un número es divisible por 6 si es divisible a la vez por 2 y por 3. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
Por ejemplo, 285 no es divisible por 9 ya que 2 + 8 + 5 = 15 no es divisible por 9.
Divisibilidad por 4, 7 y 8
Un número es divisible por 4 si sus últimos dos dígitos son divisibles por 4. Para el 7, se pueden usar un par de estrategias.
Un número es divisible por 8 si sus últimos tres dígitos son divisibles por 8. Esta es la regla estándar, que puede ser un poco complicada para números grandes.
Como se sabe, 8 es igual a 2 a la tercera potencia, así que pensamos que si se pudiesen dividir los últimos tres dígitos de un número por 2 tres veces seguidas, sería divisible por 8.
680 ÷ 2 = 340 ÷ 2 = 170 ÷ 2 = 85. ¡Tenemos un ganador! 680 es de hecho divisible por 8.
Divisores de un número
Los divisores de un número son todos aquellos números que pueden dividir a ese número de manera exacta (es decir, sin dejar residuo).
Para encontrar los divisores de un número, puedes comenzar desde 1 y probar cada número consecutivo para ver si divide al número original sin dejar un residuo.
Por ejemplo, para encontrar los divisores del número 12, comenzarías con 1 (que es un divisor de todos los números), luego probarías con 2 (que sí divide a 12), luego con 3 (que también divide a 12), luego con 4 (que también divide a 12), luego con 5 (que no divide a 12) y así sucesivamente, hasta llegar al número 12 mismo, que es también divisor de 12.
Entonces, los divisores de 12 serían 1, 2, 3, 4, 6, y 12.
Propiedades de la división
La división no es conmutativa: a ÷ b no es igual que b ÷ a. Por ejemplo, 10 ÷ 2 es 5, pero 2 ÷ 10 es 0.2.
La división tampoco es asociativa. El agrupamiento de los números en una división también importa. Es decir, si tienes una operación como a ÷ (b ÷ c), no es lo mismo que (a ÷ b) ÷ c.
Cualquier número dividido por él mismo siempre dará como resultado 1, siempre y cuando ese número no sea cero. No se puede dividir por 0 y obtener un número real. La división por 0 no está definida.
Cómo organizar la práctica
Es más eficaz practicar poco y a menudo: 10-15 divisiones al día durante dos semanas consiguen más fluidez que una sesión larga semanal.
En 3º de primaria se empieza con divisiones exactas con divisor de una cifra; en 4º se añaden las divisiones con resto; en 5º, divisores de dos cifras; y en 6º, divisiones con decimales en el dividendo o el cociente.
Para enseñar división a los niños, puedes seguir estos pasos: Comienza con conceptos concretos; introduce la terminología; usa ejemplos de la vida real; enséñales el método largo de la división.
Una vez que comprendan el concepto, puedes mostrarles cómo se realiza la división en papel, siguiendo los pasos descritos para la división larga.
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