Para representar una situación de división, hay que reconocer qué cantidad se reparte o se agrupa, entre cuántas partes o grupos se distribuye y cuál es el resultado. Dividir en matemáticas es repartir una cantidad en partes iguales o determinar cuántas veces un número se encuentra contenido en otro.
La división es una de las cuatro operaciones matemáticas fundamentales junto con la suma, la resta y la multiplicación. La división en matemáticas es una operación inversa de la multiplicación.
Elementos de una división
La división en matemáticas se utiliza para calcular cuántas veces se divide un número (el dividendo) entre otro (el divisor) para obtener un resultado (el cociente) y un resto (el residuo). Los elementos de la división son los siguientes:
- Dividendo.
- Divisor.
- Cociente.
- Resto.
En la división exacta, el resto es igual a cero y se dice que dividendo es divisible entre el divisor. Por ejemplo, en la división de 20 entre 4, el cociente es 5 y el resto es cero, por lo que es una división exacta. En cambio, en la división inexacta, el resto es mayor a cero.
La división en matemáticas se representa mediante el símbolo «÷» o con una barra inclinada «/». Por ejemplo, en la expresión «24 ÷ 3 = 8», el número 24 se divide entre 3 para obtener un cociente de 8. También se puede representar mediante fracciones cuyo numerador y denominador son números enteros.
| Elemento | Función |
|---|---|
| Dividendo | Cantidad que se reparte o se agrupa. |
| Divisor | Número de partes o cantidad que corresponde a cada grupo. |
| Cociente | Resultado de la división. |
| Resto | Cantidad que queda sin repartir o agrupar. |
Situaciones de reparto en partes iguales
Para aprender a hacer la división, es importante entender que dividir en matemáticas es repartir una cantidad en partes iguales. La división es esencial en la vida cotidiana. A menudo nos enfrentamos a situaciones en las que necesitamos dividir cosas equitativamente, como dividir una pizza entre amigos o dividir una factura en un restaurante.
En cada situación, primero hay que identificar la cantidad total y la cantidad de partes iguales. Después se puede escribir la división correspondiente.
Situación 1
Hay 12 lápices para repartir entre 3 estudiantes. ¿Cuántos lápices recibe cada estudiante?
La cantidad total es 12 y se reparte entre 3 estudiantes.
12 ÷ 3 = 4
Cada estudiante recibe 4 lápices.
Situación 2
Se reparten 20 galletas en 4 bolsas iguales. ¿Cuántas galletas se colocan en cada bolsa?
La cantidad total es 20 y se forman 4 grupos iguales.
20 ÷ 4 = 5
En cada bolsa se colocan 5 galletas.
Situación 3
Hay 18 figuritas para repartir entre 6 niños. ¿Cuántas figuritas recibe cada niño?
La cantidad total es 18 y se reparte entre 6 niños.
18 ÷ 6 = 3
Cada niño recibe 3 figuritas.
Situaciones de agrupamiento
En algunos problemas no se pregunta cuánto recibe cada grupo, sino cuántos grupos se pueden formar. En estos casos también se utiliza la división: se conoce la cantidad total y la cantidad que debe tener cada grupo.
Situación 4
Hay 24 lápices y se colocan 6 lápices en cada caja. ¿Cuántas cajas se pueden completar?
La cantidad total es 24 y cada grupo debe tener 6 lápices.
24 ÷ 6 = 4
Se pueden completar 4 cajas.
Situación 5
Se tienen 15 flores y se colocan 3 flores en cada ramo. ¿Cuántos ramos se pueden formar?
La cantidad total es 15 y cada ramo contiene 3 flores.
15 ÷ 3 = 5
Se pueden formar 5 ramos.
Situación 6
Hay 32 libros y se colocan 8 libros en cada estante. ¿Cuántos estantes se pueden llenar?
La cantidad total es 32 y cada grupo tiene 8 libros.
32 ÷ 8 = 4
Se pueden llenar 4 estantes.
Situaciones con resto
No siempre es posible repartir una cantidad en partes exactamente iguales. Cuando queda una cantidad sin repartir, la división es inexacta y el resto es mayor a cero.
Situación 7
Hay 17 caramelos para repartir entre 5 niños. ¿Cuántos caramelos recibe cada niño y cuántos sobran?
Se pueden repartir 3 caramelos a cada niño y quedan 2 caramelos sin repartir.
17 ÷ 5 = 3 y sobra 2
El dividendo es 17, el divisor es 5, el cociente es 3 y el resto es 2.
Situación 8
Hay 26 pelotas y se colocan 4 pelotas en cada caja. ¿Cuántas cajas se pueden completar y cuántas pelotas sobran?
Se pueden completar 6 cajas y sobran 2 pelotas.
26 ÷ 4 = 6 y sobra 2
Situación 9
Se tienen 19 hojas para formar grupos de 3 hojas. ¿Cuántos grupos completos se pueden formar y cuántas hojas quedan?
Se pueden formar 6 grupos completos y queda 1 hoja.
19 ÷ 3 = 6 y sobra 1
Relación entre división y multiplicación
Al ser la división la operación inversa a la multiplicación, conocer las tablas de multiplicar o entender bien esta operación es muy importante para aprender a dividir.
Una división puede comprobarse mediante una multiplicación. Para comprobar una división exacta, se multiplica el cociente por el divisor y se verifica si se obtiene el dividendo.
Ejemplo
24 ÷ 6 = 4
La comprobación es:
4 × 6 = 24
Cuando la división tiene resto, se multiplica el cociente por el divisor y se suma el resto.
Ejemplo con resto
17 ÷ 5 = 3 y sobra 2
La comprobación es:
3 × 5 + 2 = 17
Distintas formas de resolver una división
Es probable que algunas niñas y algunos niños aún necesiten apoyarse en el conteo. Otras y otros quizás comiencen contando y abandonen ese camino al reconocer que podrían sumar 10+10 o 4+4+4.
Incluso, quienes hayan tenido la oportunidad de resolver problemas multiplicativos anteriormente, podrán identificar que 2x10 o 10x2, y 3x4 o 4x3 son cálculos que permiten resolver este tipo de problemas en los que se repite varias veces la misma cantidad.
La división también puede resolverse mediante dibujos, repartos sucesivos, sumas, restas reiteradas, productos conocidos o cálculos escritos. Es importante valorar lo que cada estudiante sabe y pone en acción, y permitir que sigan utilizándolo mientras lo necesiten.
Incluso conviviendo con los nuevos procedimientos que van aprendiendo hasta que confíen en ellos, por ejemplo, contar o sumar para controlar los resultados que obtienen al usar los nuevos cálculos para multiplicar.
Ejemplo con 24 elementos
Para resolver una situación en la que hay 24 objetos y se forman grupos de 6, se pueden utilizar distintos procedimientos:
- Contar los objetos de uno en uno.
- Sumar 6+6+6+6.
- Restar 6 sucesivamente a 24.
- Reconocer que 6 × 4 = 24.
- Escribir 24 ÷ 6 = 4.
Como podrán advertir, se presentan aquí distintas maneras correctas de resolver este problema y determinar que hay 24 lápices: conteo, sumas de 6 en 6, sumas reiteradas de 6, sumas que se apoyan en composiciones y descomposiciones, multiplicaciones.
Representaciones de la división
Una misma situación puede representarse mediante objetos, dibujos, grupos, una multiplicación relacionada o una división. Utilizar diferentes representaciones permite comprender qué significa cada número de la cuenta.
Representación con grupos
Para representar 20 objetos repartidos en 4 grupos iguales, se pueden dibujar 4 grupos con 5 objetos en cada uno.
20 ÷ 4 = 5
Representación mediante multiplicación
La división 20 ÷ 4 = 5 se relaciona con la multiplicación 4 × 5 = 20.
Representación mediante fracción
Por ejemplo, si se divide 12 entre 4, el resultado es 3 con un resto de 0, y se puede representar mediante la fracción 12/4.
Problemas para representar y escribir la división
Situación 10
Una maestra tiene 30 hojas y quiere repartirlas en partes iguales entre 5 grupos. ¿Cuántas hojas recibe cada grupo?
30 ÷ 5 = 6
Cada grupo recibe 6 hojas.
Situación 11
En una biblioteca hay 36 libros. Se colocan 9 libros en cada estante. ¿Cuántos estantes se necesitan?
36 ÷ 9 = 4
Se necesitan 4 estantes.
Situación 12
Hay 27 estudiantes y se forman equipos de 3 integrantes. ¿Cuántos equipos se pueden formar?
27 ÷ 3 = 9
Se pueden formar 9 equipos.
Situación 13
Se reparten 22 tarjetas entre 4 jugadores. ¿Cuántas tarjetas recibe cada jugador y cuántas sobran?
22 ÷ 4 = 5 y sobra 2
Cada jugador recibe 5 tarjetas y sobran 2.
Situación 14
Se colocan 7 flores en cada florero. Si hay 35 flores, ¿cuántos floreros se pueden llenar?
35 ÷ 7 = 5
Se pueden llenar 5 floreros.
Orientaciones para resolver problemas de división
Las situaciones que se plantean apuntan a ofrecer a las y los estudiantes nuevas y múltiples oportunidades para retomar, usar y desafiar lo que saben. Es importante que las alumnas y los alumnos ingresen a estos nuevos contenidos a partir de lo que saben acerca de la suma y de la resta.
- Leer atentamente la situación.
- Identificar la cantidad total.
- Reconocer si se pide repartir en partes iguales o formar grupos.
- Determinar el divisor.
- Escribir la división correspondiente.
- Resolver el cálculo.
- Comprobar el resultado mediante una multiplicación.
- Verificar si queda resto.
- Responder la pregunta con una oración.
Será importante que tengan acceso a diversos portadores de información que traigan a escena esos conocimientos para quienes necesiten consultarlos al resolver los nuevos problemas. Las ideas que allí figuren, pronto resultarán insuficientes o poco convenientes para abordar los nuevos desafíos, motorizando así la búsqueda o construcción de otras más avanzadas que irán engrosando los conocimientos que circulan en la clase.
La gran cantidad de problemas que encontrarán busca ofrecer oportunidades de aproximarse, desde distintas aristas, a un mismo contenido, detenerse por un tiempo a resolver problemas, explorar formas de resolver, comparar diversos procedimientos, analizar errores, discutir ideas, tomar conciencia de lo que se va aprendiendo y registrar conclusiones.
En otras palabras, estudiar matemática en el aula. Como en otros materiales, incluimos varias instancias de reflexión sobre lo realizado.
Organización del trabajo en el aula
Es preciso que los materiales sean usados con la flexibilidad necesaria para acompañar a cada grupo y a cada estudiante. Esto podrá implicar que, en algunos casos, las y los docentes de tercer año apelen a materiales o propuestas elaboradas para segundo.
Como venimos señalando en este tiempo, es necesario (siempre lo fue, pero ahora se hace indispensable) contemplar la heterogeneidad de conocimientos presente en las aulas y planificar la enseñanza respondiendo a ella.
Esto sin renunciar a un trabajo común en el que todas las alumnas y todos los alumnos puedan compartir sus ideas y ponerlas en diálogo con las de sus compañeras y compañeros.
En ocasiones, es importante reservar un primer acercamiento individual para que cada alumna o alumno tenga un espacio propio para analizar el problema matemático propuesto, movilice los conocimientos que considere pertinentes y ensaye un primer camino de resolución.
Asimismo, es importante ofrecer momentos de trabajo con otras y otros, dada la potencialidad de las interacciones entre pares para la construcción y el avance de los conocimientos.
Las interacciones nos hicieron falta, desde la enseñanza y desde los aprendizajes. Estamos en un nuevo tiempo en el que es necesario que vuelvan a ocupar un espacio privilegiado de las clases.
Actividades de práctica
Actividad 1
Representa la situación y escribe la división correspondiente: Hay 16 globos para repartir entre 4 niños. ¿Cuántos globos recibe cada niño?
16 ÷ 4 = 4
Actividad 2
Representa la situación y escribe la división correspondiente: Hay 21 lápices y se colocan 3 lápices en cada caja. ¿Cuántas cajas se pueden completar?
21 ÷ 3 = 7
Actividad 3
Representa la situación y escribe la división correspondiente: Se reparten 25 caramelos entre 6 niños. ¿Cuántos caramelos recibe cada niño y cuántos sobran?
25 ÷ 6 = 4 y sobra 1
Actividad 4
Representa la situación y escribe la división correspondiente: En una escuela hay 40 estudiantes y se forman grupos de 8. ¿Cuántos grupos se forman?
40 ÷ 8 = 5
Actividad 5
Representa la situación y escribe la división correspondiente: Hay 14 libros para repartir en 2 estantes iguales. ¿Cuántos libros se colocan en cada estante?
14 ÷ 2 = 7
Reflexionar sobre lo aprendido
Estas situaciones plantean retornar sobre los problemas matemáticos y sobre los diversos procedimientos desplegados para resolverlos: detenerse y volver atrás es fundamental para avanzar, porque los conocimientos movilizados durante la resolución suelen funcionar de manera implícita y podrían permanecer en ese estado de no mediar situaciones que requieran su explicitación.
Esa es precisamente la intención de las propuestas que se presentan al final de un conjunto de problemas o luego de un conjunto de clases: analizar, explicitar, identificar lo realizado y aprendido, así como lo que queda por aprender.
- ¿Qué cantidad se repartía en cada problema?
- ¿Entre cuántas partes se repartió?
- ¿Qué representaba el cociente?
- ¿En qué problemas apareció un resto?
- ¿Cómo se puede comprobar una división?
- ¿Qué relación hay entre dividir y multiplicar?
- ¿Qué procedimiento resultó más conveniente en cada situación?
La escritura de conclusiones está planteada en forma colectiva, sin embargo en otros momentos podría ser propuesta de manera individual, en parejas o pequeños grupos.
Se trata de escrituras que pueden quedar a cargo de la o del docente sin modificar sustancialmente lo que las niñas o los niños dicen, ya que es importante que reconozcan en esos registros aquello que circuló en la clase y puede ser reutilizado.
Esas escrituras podrán ser retomadas y revisadas a medida que se transforman los conocimientos de las y los estudiantes.
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