Cuando hacemos una división, a veces el número se reparte perfectamente, y otras veces sobra algo. Esto es lo que nos ayuda a distinguir entre divisiones exactas y divisiones enteras.
Las divisiones exactas son aquellas operaciones de división donde el dividendo se divide completamente por el divisor, resultando en un cociente entero sin resto.
¿Qué es una división?
Dada esta definición podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro (divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor, dé como resultado el dividendo.
El cociente indica cuántas veces el dividendo contiene al divisor.
La división es una resta abreviada en la cual el divisor se resta todas las veces que se pueda del dividendo y el total de restas que se realizan representa el cociente.
Partes de una división
En una división intervienen los siguientes elementos:
- Dividendo: es el número que se va a repartir o dividir.
- Divisor: es el número entre el que se divide el dividendo.
- Cociente: es el resultado de la división y señala cuántas veces cabe el divisor en el dividendo.
- Resto o residuo: es la parte que no se ha podido distribuir.
Resto: Es la parte que no se ha podido distribuir. Si el resto es diferente de cero, decimos que es una división inexacta.
Concepto de división exacta
Una división es exacta cuando el resto es cero y el dividendo es igual al divisor por el cociente.
Para realizar una división exacta, se debe asegurar que el dividendo sea múltiplo del divisor.
Las divisiones exactas se refieren a las operaciones de división donde el divisor es un número de un solo dígito y el cociente resultante no tiene resto.
Las características de las divisiones exactas incluyen un divisor y un dividendo que resulta en un cociente sin fracciones ni restos.
Una división exacta ocurre cuando el número se ha podido repartir en partes iguales, sin que sobre nada.
Ejemplo con manzanas
Queremos repartir 12 manzanas entre 3 niños…
Si observas el ejemplo, a cada niño le tocaron 4 manzanas verdes y no sobro ninguna manzana, los 3 niños llevan la misma cantidad de manzanas, quiere decir que es una División Exacta, porque no sobraron manzanas.
La operación se expresa así:
12 ÷ 3 = 4
Es una división exacta porque 3 cabe exactamente 4 veces en 12 y no sobra nada. El resto es 0.
También puede comprobarse mediante la multiplicación:
4 × 3 = 12
El cociente 4 multiplicado por el divisor 3 da como resultado el dividendo 12.
Diferencia entre división exacta y división entera
Cuando hacemos una división, a veces el número se reparte perfectamente, y otras veces sobra algo.
División exacta: es cuando el resto es igual a 0. Esto significa que el número se ha podido repartir en partes iguales, sin que sobre nada.
División entera: es cuando el resto es diferente de 0. En este caso, no se ha podido repartir todo y sobra una parte. Eso que sobra se llama resto.
La división inexacta también se denomina división entera cuando se trabaja con un cociente entero y un resto distinto de cero.
| Tipo de división | Resto | Relación entre los números | Resultado |
|---|---|---|---|
| División exacta | 0 | Dividendo = divisor × cociente | Cociente entero sin resto |
| División entera o inexacta | Diferente de 0 | Dividendo = divisor × cociente + resto | Cociente entero y una cantidad sobrante |
Ejemplo de división exacta
12 ÷ 3 = 4
Es una división exacta porque 3 cabe exactamente 4 veces en 12 y no sobra nada. El resto es 0.
Ejemplo de división entera
14 ÷ 3 = 4 y sobra 2.
Es una división entera porque al repartir 14 entre 3, sobran 2.
En este caso, el dividendo no es múltiplo del divisor y hay residuo diferente a cero.
La relación fundamental es:
14 = 3 × 4 + 2
El número entero 4 es el cociente de 14 entre 3 y 2 es el resto.
División inexacta
Una división es inexacta cuando el resto es diferente de cero y el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
La división es inexacta cuando no existe ningún número entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo, es decir cuando el dividendo no es múltiplo del divisor y hay residuo diferente a cero.
Ejemplo con tomates
Tenemos 14 tomates y 3 platos…
Si observas el ejemplo, en cada plato hay 4 tomates y sobraron 2 tomates, debido a que todos los platos deben tener la misma cantidad de tomates, quiere decir que es una División Inexacta por que no sobraron tomates.
La operación correcta se representa así:
14 ÷ 3 = 4 y sobran 2.
El resto indica la cantidad que no se puede repartir en partes iguales entre los grupos establecidos.
La división como resta abreviada
La división es una resta abreviada en la cual el divisor se resta todas las veces que se pueda del dividendo y el total de restas que se realizan representa el cociente.
Ejemplo de división exacta mediante restas
32 ÷ 8 = 4
Esta división como resta abreviada quedaría así:
- 32 − 8 = 24
- 24 − 8 = 16
- 16 − 8 = 8
- 8 − 8 = 0
Como puedes ver, se realizaron 4 restas. Este 4 (las restas) representa al cociente.
El resultado final es 0, por lo que la división es exacta.
Ejemplo de división entera mediante restas
42 ÷ 8 = 5 y sobran 2
Esta división como resta abreviada quedaría así:
- 42 − 8 = 34
- 34 − 8 = 26
- 26 − 8 = 18
- 18 − 8 = 10
- 10 − 8 = 2
Como puedes ver, se realizaron 5 restas y sobraron 2 unidades. El 5 (las restas) representa al cociente y el 2 (lo que sobra de las restas) equivale al residuo.
Divisiones exactas de una cifra
Las divisiones exactas de una cifra son un concepto matemático fundamental que se enseña a los estudiantes desde los primeros años de escolarización.
Las divisiones exactas de una cifra se refieren a las operaciones de división donde el divisor es un número de un solo dígito y el cociente resultante no tiene resto.
Por ejemplo, en la operación 8 ÷ 2 = 4, el número 8 es el dividendo, 2 es el divisor, y 4 es el cociente.
Las divisiones por una cifra son operaciones aritméticas donde el divisor es un número de un solo dígito.
Para realizar una división exacta, primero se debe determinar si el dividendo es divisible por el divisor.
Para realizar una división exacta, se debe asegurar que el dividendo sea múltiplo del divisor.
Ejemplos de divisiones exactas son aquellas en las que el dividendo se reparte completamente entre el número de partes que indica el divisor.
Las divisiones exactas son fundamentales en la educación primaria porque representan uno de los primeros contactos del estudiante con las operaciones aritméticas básicas.
Las divisiones exactas ayudan a los estudiantes a desarrollar habilidades matemáticas fundamentales que son necesarias para la vida diaria.
Ejemplo de reparto equitativo
Para que ningún alumno se quede sin equipo, el profesor deberá decidir entre jugar tenis o voleibol.
Son las únicas dos opciones en las que formaría grupos equitativos y no sobraría ningún alumno.
Mientras que si decide jugar fútbol, baloncesto, béisbol o balonmano quedarían niños sin equipo.
Esto se debe a que 24 (el número total de alumnos) no es divisible entre 11 (jugadores en un equipo de futbol), 5 (jugadores en un equipo de baloncesto), 9 (jugadores en un equipo de béisbol ni 7 (jugadores en un equipo de balonmano.
Cómo saber si una división es exacta
Para comprobar si una división es exacta, se puede seguir este procedimiento:
- Identificar el dividendo y el divisor.
- Calcular el cociente.
- Observar el resto.
- Determinar si el resto es igual a cero.
Si el resto es 0, la división es exacta.
Si el resto es diferente de 0, la división es entera o inexacta.
Otra forma consiste en comprobar si el dividendo es múltiplo del divisor.
Si existe un número entero que, multiplicado por el divisor, produce el dividendo, la división es exacta.
Por ejemplo:
32 ÷ 4 = 8
Porque 8 × 4 = 32
El cociente 8 indica que el dividendo 32 contiene ocho veces al divisor 4.
Relación fundamental de la división
En una división exacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente:
Dividendo = divisor × cociente
En una división entera o inexacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto:
Dividendo = divisor × cociente + resto
Esta relación permite diferenciar ambos tipos de división y comprobar si el procedimiento se ha realizado correctamente.
Prueba de la división
La prueba de la DIVISIÓN puede verificarse de tres modos.
Modo 1: multiplicar el divisor por el cociente
Modo 1. Multiplicando el divisor por el cociente y sumándole el residuo (en caso de que haya).
En una división exacta no hay residuo, por lo que basta multiplicar el divisor por el cociente.
Para 32 ÷ 4 = 8:
4 × 8 = 32
En una división entera se multiplica el divisor por el cociente y se suma el residuo.
Para 28 ÷ 5 = 5 y sobran 3:
5 × 5 + 3 = 28
Modo 2: dividir el dividendo entre el cociente
Modo 2. Si la división es exacta, dividiendo el dividendo entre el cociente, tiene que darnos como resultado el divisor.
En la división 32 ÷ 4 = 8, al dividir el dividendo entre el cociente se obtiene:
32 ÷ 8 = 4
El resultado coincide con el divisor.
Modo 3: prueba del 9
Modo 3. Por la prueba del 9.
Se halla el residuo entre 9 del divisor y del cociente, se multiplican estos dos residuos y al producto que resulte se le añade el residuo entre 9 del residuo de la división si lo hay.
Divisiones de dos cifras
El cociente tiene siempre una cifra más que las cifras que quedan a la derecha del primer dividendo parcial.
Ejemplo: 318 ÷ 3
Al dividir 318 ÷ 3.
Separamos en el dividendo (318) para empezar la operación la primera cifra que sería su primer dividendo parcial, en este caso 3 entre 3 (porque es el número que se puede dividir entre 3) quedando a la derecha 18 formado por dos cifras.
El cociente de esta división tendrá una cifra más que estas dos que quedaron a la derecha, o sea, tres cifras.
318 ÷ 3 = 106 (cociente de tres cifras).
Ejemplo: 567609 ÷ 453
Al dividir 567609 ÷ 453.
Separamos en el dividendo (567609) para empezar la operación la primera cifra que sería su primer dividendo parcial, en este caso 567 (porque es el número que se puede dividir entre 453) quedando a la derecha 609 formado por tres cifras.
El cociente de esta división tendrá una cifra más que estas tres que quedaron a la derecha, o sea, cuatro cifras.
567609 ÷ 453 = 1253 (cociente de cuatro cifras).
Divisiones con decimales
Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros, se separan de su derecha, con un punto decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad; porque con ello el valor relativo de cada cifra se hace tantas veces menor como indica el divisor.
Dividir entre 10
328 ÷ 10 = 32.8
Porque la unidad del divisor (10) se acompaña de 1 cero, recorrí el punto decimal de derecha a izquierda un lugar.
Dividir entre 10 000
48965 ÷ 10,000 = 4.8965
Porque la unidad del divisor (10,000) va acompañada de 4 ceros, recorrí el punto decimal de derecha a izquierda cuatro lugares.
Criterios de divisibilidad y divisiones exactas
Para realizar una división exacta, primero se debe determinar si el dividendo es divisible por el divisor.
Las divisiones exactas son aquellas operaciones de división donde el dividendo se divide completamente por el divisor, resultando en un cociente entero sin resto.
Los criterios de divisibilidad permiten reconocer si un número puede dividirse exactamente entre otro, es decir, si el resto será igual a 0.
Práctica de divisiones exactas
Hay varias fuentes donde se pueden encontrar fichas de divisiones exactas de una cifra.
Además de las fichas impresas, existen numerosos recursos educativos en línea que ofrecen una forma interactiva y divertida de practicar las divisiones exactas.
La práctica debe incluir operaciones en las que el estudiante identifique el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.
También es conveniente comprobar cada resultado mediante la multiplicación del divisor por el cociente.
Las divisiones exactas ayudan a los estudiantes a desarrollar habilidades matemáticas fundamentales que son necesarias para la vida diaria.
Las leyes de la división
Las leyes de la división son tres:
- Ley de uniformidad.
- Ley de monotonía.
- Ley distributiva.
