Comparar valores posicionales con una tabla

Para comparar valores posicionales con una tabla, se colocan las cifras de cada número en columnas de unidades, decenas, centenas, unidades de mil y posiciones superiores. Después, se comparan las cifras empezando por la posición de mayor valor; la primera cifra diferente indica cuál de los números es mayor.

El valor posicional es el valor que adquiere un dígito dependiendo de la posición que ocupe en el número. El valor posicional es el valor que tiene una cifra en un número y depende de su posición o lugar.

¿Qué es el valor posicional?

En nuestro sistema de numeración utilizamos solo 10 cifras para escribir todos los números, pero cada una de estas cifras puede tener valores distintos según su posición, por ejemplo, en el número 222, el primer 2 de izquierda a derecha vale 200, el segundo 20 y el tercero 2. Esto es lo que llamamos valor posicional y puedes aplicarlo a cualquier número.

Estos son los diez dígitos de nuestro sistema de numeración decimal. Con ellos podemos formar cualquier cantidad de números. Los números están formados por dígitos. Por ejemplo, el número 37 está formado por dos dígitos: el dígito 3 y el dígito 7.

El valor posicional de cada uno importa porque nos indica el valor total, pues no es lo mismo tener $ 321 que $ 123. A pesar de que tienen las mismas cifras (1, 2 y 3), con $ 321 puedes comprar más cosas que con $ 123.

Es por ello que el cambio de posición de un dígito dentro de un número altera el valor total del mismo. Las posiciones se conocen como unidad, decena y centena; y según la clase pueden ser “de miles” o “de millones.

Equivalencias de las posiciones

Los valores posicionales tienen estas abreviaturas: U (unidades), D (decenas), C (centenas), UM (unidades de mil) y DM (decenas de mil).

Cómo usar una tabla posicional

Podemos ubicar todas las cifras de un número en una tabla posicional. Esta nos ayuda a ver con facilidad el valor de cada una de las cifras por medio de columnas identificadas.

Si queremo ubicar las cifras de un número en la tabla posicional tenemos que empezar por la primera cifra de derecha a izquierda, esa será la unidad. La segunda cifra de derecha a izquierda será la decena, la siguiente la centena y así sucesivamente.

Esta es una tabla posicional para números de 6 cifras. Observa que en las columnas de color en azul están las unidades, las decenas y las centenas; mientras que en las columnas de color naranja están las unidades de mil, las decenas de mil y las centenas de mil.

Ejemplo: ubicar el número 7.946

Ubica las cifras del número 7.946 en la tabla posicional. Como la primera cifra de derecha a izquierda es el 6, colocamos el 6 en la casilla de las unidades. Luego el 4 en la de las decenas, el 9 en las centena y el 7 en las unidades de mil.

Comparar números mediante una tabla

Para comparar dos números, se colocan sus cifras en la misma tabla posicional y se observan las posiciones desde la izquierda hacia la derecha. Primero se comparan las centenas de mil, después las decenas de mil, las unidades de mil, las centenas, las decenas y, por último, las unidades.

La primera posición en la que las cifras sean diferentes determina la comparación. Si una cifra es mayor que la otra en esa posición, también es mayor el número completo.

Comparación con las mismas cifras

El valor posicional de cada uno importa porque nos indica el valor total, pues no es lo mismo tener $ 321 que $ 123. A pesar de que tienen las mismas cifras (1, 2 y 3), con $ 321 puedes comprar más cosas que con $ 123.

En 321, el dígito 3 ocupa la posición de las centenas y representa 300 unidades. En 123, el dígito 1 ocupa la posición de las centenas y representa 100 unidades. Por eso, 321 es mayor que 123.

Ejemplo con decenas y unidades

Si colocamos el número 37 dentro del tablero de valor posicional, veremos que el dígito 3 está en la columna de las decenas y el dígito 7 está en la columna de las unidades.

Ejemplo con centenas

Si colocamos el número 253 dentro del tablero de valor posicional, veremos que el dígito 2 está en la columna de las centenas, el dígito 5 en la columna de las decenas y el dígito 3 está en la columna de las unidades.

Comparar los valores de las cifras

El valor posicional es el valor que toma un dígito de acuerdo con la posición que ocupa dentro del número (unidades, decenas, centenas…). De este modo, una misma cifra puede representar unidades, decenas, centenas o unidades de mil, según la columna en la que se encuentre.

El valor posicional del dígito de color azul es de 4 decenas que equivalen a 40 unidades.

Para comparar valores posicionales no basta con observar la cifra aislada. Es necesario considerar la columna en la que está ubicada, porque 4 unidades, 4 decenas y 4 centenas tienen valores diferentes.

Descomposición aditiva para comparar números

La descomposición aditiva consiste en expresar un número como una suma de dos o más números. Para esta descomposición consideramos los valores posicionales.

Por ejemplo, el número 3.456 se coloca de esta manera en una tabla posicional. En la tabla vemos que hay: 3 unidades de mil = 3 veces 1.000 = 3.000; 4 centenas = 4 veces 100 = 400; 5 decenas = 5 veces 10 = 50; 6 unidades = 6 veces 1 = 6.

Por lo tanto, podemos decir que el número 3.456 es igual a la suma de todos sus valores posicionales. Observa: 3.456 = 3.000 + 400 + 50 + 6.

La descomposición aditiva permite comparar cada parte de dos números. Por ejemplo, al comparar 3.456 con 3.200, ambos tienen 3 unidades de mil, pero el primer número tiene 4 centenas y el segundo tiene 2 centenas; por eso, 3.456 es mayor que 3.200.

Ejemplos de descomposición

Valores posicionales 7 unidades de mil = 7 veces 1.000 = 7.000; 3 centenas = 3 veces 100 = 300; 4 decenas = 4 veces 10 = 40; 2 unidades = 2 veces 1 = 2.

Descomposición aditiva 7.342 = 7.000 + 300 + 40 + 2.

Valores posicionales 9 unidades de mil = 9 veces 1.000 = 9.000; 7 centenas = 7 veces 100 = 700; 1 decena = 1 vez 10 = 10; 6 unidades = 6 veces 1 = 6.

Descomposición aditiva 9.716 = 9.000 = 700 + 10 + 6.

Valores posicionales 8 unidades de mil = 8 veces 1.000 = 8.000; 5 decenas = 5 veces 10 = 50; 3 unidades = 3 veces 1 = 3.

Descomposición aditiva 8.053 = 8.000 + 50 + 3.

Cuando el valor de una cifra es cero (0) no se escribe en la descomposición.

El cero en la tabla posicional

El cero ocupa una posición aunque su valor en esa posición sea nulo. Su presencia permite conservar el lugar de las demás cifras y leer correctamente el número.

Pedro obtuvo 5.023 puntos. Hay 5 cajas amarillas → 5 unidades de mil; hay 0 placa verde → 0 centena; hay 2 barras rojas → 2 decenas; hay 3 cubos azules → 3 unidades.

Aplicaciones del valor posicional

Conocer el valor posicional de las cifras de cada número resulta de gran utilidad cuando manejamos dinero. Por lo general, los billetes y monedas vienen con valores de 1, 10 y 100 unidades.

De este modo, si necesitamos pagar una cuenta de $ 483, solo debemos tomar 4 billetes de $ 100, 8 de $ 10 y 3 de $ 1.

Comparación con cajas y unidades

En una pastelería se hacen entregas de donas todas las semanas. El transporte de las donas se hace en cajas de 100, cajas de 10 y otras sueltas.

El primer pedido es de 318 donas. Lo primero que hacemos es ubicar este número en una tabla posicional. En la tabla posicional vemos que hay: 3 centenas = 3 veces 100; 1 decena = 1 vez 10; 8 unidades = 8 veces 1.

Por lo tanto, el encargado necesita 3 cajas de 100, 1 caja de 10 y 8 donas sueltas.

Este pedido es de 245 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional. En la tabla posicional vemos que hay: 2 centenas = 2 veces 100; 4 decenas = 4 veces 10; 5 unidades = 5 veces 1.

Para este pedido el encargado necesita 2 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5 donas sueltas.

Este pedido es de 300 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional. En la tabla posicional vemos que hay: 3 centenas = 3 veces 100.

Para este pedido el encargado necesita 3 cajas de 100.

Comparación con fichas

En un juego de fichas, cada una de estas figuras indica una cantidad de puntos. Observa que: 1 cubo azul = 1 unidad; 1 barra roja = 1 decena; 1 placa verde = 1 centena; 1 caja amarilla = 1 unidad de mil.

Hay 2 cajas amarillas → 2 unidades de mil; hay 1 placa verde → 1 centena; hay 3 barras rojas → 3 decenas; hay 8 cubos azules → 8 unidades.

En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga. Carla obtuvo 2.138 puntos.

Hay 5 cajas amarillas → 5 unidades de mil; hay 0 placa verde → 0 centena; hay 2 barras rojas → 2 decenas; hay 3 cubos azules → 3 unidades.

En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga. Pedro obtuvo 5.023 puntos.

El valor posicional y las operaciones

Al operar y enseñar a hacer operaciones se puede hacer trabajando sólo con las cifras o con el valor posicional de las mismas. Esta segunda opción, trabajar con el valor posicional, ayuda a comprender el por qué de los algoritmos utilizados de forma tradicional.

De este modo, trabajar utilizando el valor posicional de las cifras que componen los números con los que vamos a operar, nos permite comprender el sentido de cada uno de los pasos del algoritmo tradicional de la división. Siendo capaces de razonar el proceso.

Ejemplo: división 4.631 : 3

1. “Tomamos el 4 y lo dividimos entre 3.” Esto significa que estamos tomando el 4000 (valor posicional del 4) y lo estamos dividiendo en 3 grupos iguales.

2. “Nos queda 1 y bajamos el 6; entonces, 16 entre 3.” Esto significa que, los 1000 que no pudimos dividir los vamos a intentar dividir junto con los 600 que tenemos, es decir, dividimos 1600 en 3 grupos.

3. “Nos queda 1 y bajamos el 3; entonces, 13 entre 3.” Esto significa que, los 100 que no pudimos dividir los vamos a intentar dividir junto con los 30 que tenemos, es decir, dividimos 130 en 3 grupos.

4. “Nos queda 1 y bajamos el 1; entonces, 11 entre 3.” Esto significa que, los 10 que no pudimos dividir los vamos a intentar dividir junto con el 1 que tenemos, es decir, dividimos 11 en 3 grupos.

5. “Y resto: 2.” Esto significa que, finalmente nos han quedado 2 unidades, que no podemos dividir en nuestros 3 grupos.

De igual modo ocurriría en algoritmos como el de la suma, la resta o la multiplicación.

Materiales para representar posiciones

El ábaco es uno de los objetos más antiguos utilizados por el hombre para realizar sus operaciones matemáticas y quizás el de mayor distribución a nivel mundial. Esta herramienta o instrumento se utiliza para hacer cálculos manuales por medio de piezas de colores que representan los valores posicionales de una cifra.

El tablero de valor posicional es una tabla muy útil que ayuda a encontrar el valor posicional de cada dígito de acuerdo a su posición en el número.

Para resolver este ejercicio, haremos uso del tablero de valor posicional y del material en base 10.

Ejercicios de comparación

Ejercicio 1: ubicar cifras

Ubica estos números en la tabla posicional: 8.104, 582, 1.789.

Ejercicio 2: identificar valores

Escribe el valor posicional de los dígitos en color rojo: 216, 1.971, 7.031, 532, 828, 6.220, 9.483.

Ejercicio 3: comparar mediante descomposición

Une la descomposición con el numero correspondiente.

La descomposición aditiva consiste en expresar un número como una suma de dos o más números. Para esta descomposición consideramos los valores posicionales.

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