Dividir es repartir una cantidad en partes iguales y, para comprender el concepto, conviene comenzar con situaciones sencillas y representaciones concretas. Los ejercicios de divisiones permiten afianzar el significado de la operación, reconocer sus partes, resolver divisiones exactas y comprender qué significa el resto.
El trabajo práctico puede avanzar desde repartos con objetos y divisiones básicas hasta el algoritmo de la división larga, las divisiones con divisores de dos cifras, los cocientes decimales, las reglas de divisibilidad y la resolución de problemas.
Qué significa dividir
Mediante ejemplos cotidianos con manzanas, peras y plátanos, se puede introducir de forma clara el concepto de la división. Dividir significa repartir una cantidad en partes iguales.
Para entender mejor la división también resulta útil formular preguntas como: “¿Cuántos ____ hay en ____?”. Para el problema, 81 ÷ 9, la pregunta sería: “¿Cuántos 9 hay en 81?”.
Este tipo de preguntas beneficia al estudiante más tarde cuando debe conceptualizar la división decimal o de fracciones. “¿Cuántos tercios hay en cuatro enteros?” suena mejor que “¿Por cuánto se debe multiplicar un tercio para lograr cuatro?”.
| Parte de la división | Significado |
|---|---|
| Dividendo | El número que queremos dividir o repartir. |
| Divisor | El número entre el que queremos dividir. |
| Cociente | El resultado de la división. |
| Resto | La cantidad que queda sin repartir cuando la división no es exacta. |
En la división escrita, el número que queremos dividir o repartir se escribe a la izquierda de la cajita, el número entre el que queremos dividir se escribe dentro de la cajita, y el resultado de la división se escribe debajo de la cajita.
Divisiones exactas o sin resto
En este caso tenemos que repartir los 6 cangrejos en 3 cajas de manera que haya el mismo número de cangrejos en todas las cajas. Haciendo esto quedan 2 cangrejos en cada caja.
Por lo tanto, hemos dividido 6 entre 3, y como resultado obtenemos 2.
La operación puede escribirse así: 6 ÷ 3 = 2. Como todos los elementos se han repartido y no queda ninguno fuera, se trata de una división exacta.
Las divisiones exactas son sólo multiplicaciones básicas expresadas de otra manera. Para comprenderlas, conviene relacionar cada división con la multiplicación correspondiente: si 3 × 2 = 6, entonces 6 ÷ 3 = 2.
Divisiones con resto
Ahora vamos a ver otro ejemplo de ejercicios de divisiones con resto. En este caso tenemos que repartir 11 cuadros en 2 grupos, de manera que en cada grupo haya el mismo número de cuadros.
Haciendo esto nos queda en cada grupo 5 cuadros, que es el resultado de la operación. Ha sobrado 1 cuadro que se ha quedado sin repartir, y este es el resto de la operación.
La operación puede expresarse así: 11 ÷ 2 = 5, resto 1. También puede comprobarse mediante la relación entre multiplicación, resto y dividendo: 2 × 5 + 1 = 11.
El resto siempre es menor que el divisor. Por ejemplo, 47 ÷ 5 = 9 con resto 2, porque 5 × 9 = 45 y 47 − 45 = 2.
Un resto es realmente el numerador de un cociente fraccionario. Por ejemplo, 19 ÷ 3 es 6 con un resto de 1, o más precisamente 6 1/3.
Al usar cocientes fraccionarios, los estudiantes siempre serán capaces de encontrar la respuesta exacta a todas las preguntas de división larga, y en muchos casos la respuesta será incluso más precisa.
Relación entre división y multiplicación
Si los alumnos tienen un buen dominio de las bases de la multiplicación, entonces aprenderán la división en un dos por tres. Para que los estudiantes tengan éxito aprendiendo y practicando la división, conviene que conozcan las bases de la multiplicación hasta 81, y que sepan multiplicar por 0 y por 10.
La división larga es más difícil cuando los alumnos no dominan bien la multiplicación. Las tablas de multiplicar y algunas multiplicaciones particulares pueden ser útiles para dividir.
La sección “Compruébalo” de una ficha de trabajo consiste en multiplicar el cociente por el divisor y sumar el resto para verificar el resultado. Multiplicar para verificar convierte el error en algo detectable.
Esta comprobación enseña autonomía, refuerza la relación inversa entre multiplicación y división y permite comprobar una operación sin depender inmediatamente de otra persona.
División larga paso a paso
La división larga es un algoritmo bello y eficiente que permite resolver algunos de los problemas más complicados de división, que con los bloques base diez no se pueden ni pensar. Además, funciona igual de bien para decimales y números enteros.
La división larga no es tan complicada si se practica y se comprende bien su algoritmo. Es importante colocar los números alineados por columnas, porque ahí se produce la mayoría de errores cuando el espacio es pequeño.
Una estrategia consiste en emplear potencias de diez. Para utilizar este método exitosamente, los estudiantes deben ser capaces de multiplicar por potencias de diez y de restar.
Los estudiantes sustraen el dividendo multiplicado por potencias decrecientes de diez hasta que tengan cero o un resto.
Ejemplo: 1458 ÷ 54
Note que 54 × 1 = 54, 54 × 10 = 540, y no hace falta nada más grande.
1458 - 540 - 540 = 378.
Note que 540 fue sustraído dos veces, así que el número de veces que 54 “cabe” en 1458 hasta ahora es 20.
Continuando, 378 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 = 0.
Como 54 fue sustraído siete veces, el cociente aumenta en siete para un total de 27. En otras palabras, 54 “cabe” 27 veces en 1458.
Este método puede ser todavía más sofisticado si se usan múltiplos de potencias de diez. En el ejemplo anterior, si se usara 54 × 5 = 270 se hubiese obtenido el resultado más rápidamente.
Material manipulable para comprender la división
Los elementos manipulables ayudan a fijar el concepto de la división. Usando bloques base diez, los estudiantes deben reagrupar todas las varas en cubitos para poder hacer pilas de a nueve.
En lugar de enredar las cosas con lenguaje complicado como dividendo, divisor y cociente, se pueden plantear preguntas como: “¿Cuántos ____ hay en ____?”.
Formar grupos y organizar objetos en filas o columnas permite visualizar el reparto. También se puede introducir la técnica de la resta repetida para repartir paso a paso y relacionar la división con otras operaciones matemáticas.
Ejercicios básicos de división
Las hojas de ejercicios de división ayudan a enseñar el concepto fundamental de la división. Las actividades pueden organizarse según el tamaño del dividendo, el divisor, el cociente y la presencia o ausencia de resto.
Divisiones horizontales y verticales
- Dividendos hasta 25.
- Dividendos hasta 36.
- Dividendos hasta 49.
- Dividendos hasta 64.
- Dividendos hasta 81.
- Dividendos hasta 100.
- Dividendos hasta 121.
- Dividendos hasta 144.
- Dividendos hasta 169.
- Dividendos hasta 196.
- Dividendos hasta 225.
Las divisiones básicas pueden presentarse en formato horizontal o vertical. También pueden organizarse por números fijos, con cocientes entre 1 y 9, o con cocientes entre 1 y 12.
- División por 1.
- División por 2.
- División por 3.
- División por 4.
- División por 5.
- División por 6.
- División por 7.
- División por 8.
- División por 9.
- División por 10.
- División por 11.
- División por 12.
También se pueden combinar números fijos: división por 1, 2, 5 y 10; división por 3, 4 y 6; división por 7, 8 y 9; y división por 11 y 12.
Divisiones por una cifra
Las divisiones por una cifra son apropiadas para comenzar el trabajo práctico con operaciones sencillas. Pueden utilizarse tanto para introducir la división como para repasar el procedimiento.
Un total de 10 fichas con 30 operaciones cada una permite aprender a dividir por una cifra. Están especialmente pensadas para el alumnado del primer ciclo de Primaria que comienza a estudiar esta operación matemática, aunque también pueden utilizarse con estudiantes que necesitan repasar.
Para cursos posteriores, las primeras fichas pueden incluir dividendos de 3 y 4 cifras entre un divisor de una cifra, con divisiones exactas y divisiones con resto.
Divisiones por dos cifras
Para resolver divisiones de dos cifras, primero se reconocen las partes de la operación: dividendo, divisor, cociente y resto; posteriormente se lleva a cabo la fórmula adecuada para obtener el resultado de la división planteada.
Las fichas 16 a 30 pueden trabajar divisores de dos cifras, con dividendos de 3 y 4 cifras. Algunos ejemplos son 816÷24, 943÷35, 3456÷23 o 9600÷25.
En estas actividades se pueden combinar divisiones exactas y divisiones con resto, para que el estudiante no asuma que siempre se obtiene un resultado exacto.
Fichas de práctica diaria
Las fichas de divisiones para la práctica diaria son una de esas herramientas simples que cambian por completo la rutina de matemáticas: una división al día, trabajada a fondo, vale más que veinte operaciones hechas de forma mecánica.
Este material propone convertir una sola división en cuatro momentos de aprendizaje distintos. Cada ficha lleva al estudiante a resolver la operación, comprobarla con la multiplicación, identificar sus partes y, finalmente, inventar un problema con ella.
Así se cubren ejercicios de divisiones de una y dos cifras, pero también comprensión, vocabulario matemático y resolución de problemas, todo en una hoja.
Las cuatro formas de trabajar una división
- Resuélvelo. Aquí se desarrolla la división con el algoritmo tradicional. El recuadro es grande y vertical, pensado para que los números queden alineados por columnas.
- Compruébalo. El estudiante multiplica el cociente por el divisor y suma el resto para verificar su propio resultado.
- Datos. Se escriben las cuatro partes de la operación: dividendo, divisor, cociente y resto.
- Crea. El estudiante inventa un problema escrito que se resuelva con esa división.
La parte más rica de la ficha consiste en inventar un problema escrito que se resuelva con la división. El estudiante debe imaginar un contexto donde repartir tenga sentido y decidir qué hacer con el resto.
El formato amplio permite escribir, ordenar y equivocarse sin agobio. Cada hoja puede traer 2 fichas con espacios grandes, ideales para imprimir en A4 y recortar, o en A3 si se quieren usar como plantilla de trabajo colectivo o pizarra plastificada.
Progresión de las operaciones
Las fichas 1 a 6 usan dividendos de 3 cifras, como 864÷4 o 457÷3. Las fichas 7 a 15 saltan a dividendos de 4 cifras, como 8424÷6 o 9360÷8.
De la ficha 16 a la 30, el divisor pasa a tener dos cifras, como en 816÷24, 3456÷23 o 9600÷25.
Hay divisiones exactas y divisiones con resto mezcladas a propósito, para que el estudiante no asuma que siempre da exacto.
Adaptación por niveles
- 3.º de primaria: se pueden usar fichas en blanco con divisiones de 2 cifras entre 1 cifra, más sencillas.
- 4.º de primaria: las fichas 1 a 15 trabajan divisiones de 3 y 4 cifras entre un divisor de una cifra, con y sin resto.
- 5.º de primaria: las fichas 16 a 24 permiten un primer contacto con divisores de dos cifras y comprobación con multiplicación.
- 6.º de primaria: las fichas 25 a 30 y el uso completo de la sección “Crea” permiten redactar problemas más elaborados.
- 1.º de secundaria: pueden utilizarse como repaso de inicio de año o nivelación rápida antes de entrar a fracciones y decimales.
- Refuerzo: son útiles para apoyo individual, tareas de vacaciones o estudiantes que necesitan más práctica.
Cómo organizar el trabajo práctico
Dedica los primeros 10 minutos de la clase de matemática a una ficha. Al ser una sola división, no compite con el tema del día y mantiene la habilidad activa durante todo el bimestre.
También se pueden imprimir algunas fichas en blanco, plastificarlas y trabajar con plumón de pizarra. Se escribe la división del día en el recuadro superior y el mismo material sirve durante todo el año.
Cuando terminen la sección “Crea”, los estudiantes pueden intercambiar fichas con un compañero y resolver el problema que inventó el otro. Esta actividad revela de inmediato quién entendió el sentido de la operación.
La hoja de respuestas puede dejarse en una mesa al fondo del aula. Quien termina, verifica y corrige, mientras el docente acompaña a quienes más lo necesitan.
Es más eficaz practicar poco y a menudo: 10-15 divisiones al día durante dos semanas consiguen más fluidez que una sesión larga semanal.
Divisiones largas sin resto, con resto y decimales
Las actividades de división larga pueden incluir preguntas sin resto, con resto y cocientes decimales. La dificultad se puede graduar según el número de cifras del divisor, del dividendo y del cociente.
Divisiones largas sin resto
- Divisor múltiplo de diez; cociente de 2 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; cociente de 1 dígito.
- Divisor de 1 dígito; cociente de 2 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; cociente de 3 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; cociente de 2 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; cociente de 3 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; cociente de 4 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; cociente de 3 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; cociente de 4 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; cociente de 5 dígitos.
Divisiones largas con resto
- Divisor múltiplo de diez; cociente de 2 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; dividendo de 2 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; dividendo de 3 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; dividendo de 4 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; dividendo de 3 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; dividendo de 4 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; dividendo de 5 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; dividendo de 4 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; dividendo de 5 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; dividendo de 6 dígitos.
Divisiones largas con cocientes decimales
- Divisor de 1 dígito; dividendo de 2 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; dividendo de 3 dígitos.
- Divisor de 1 dígito; dividendo de 4 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; dividendo de 3 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; dividendo de 4 dígitos.
- Divisor de 2 dígitos; dividendo de 5 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; dividendo de 4 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; dividendo de 5 dígitos.
- Divisor de 3 dígitos; dividendo de 6 dígitos.
Reglas de divisibilidad
Las reglas de divisibilidad permiten saber si un número puede dividirse exactamente entre otro sin realizar toda la operación. Los ejercicios pueden incluir una variedad de números grandes y pequeños y enfocarse en diferentes divisores.
Divisibilidad por 2, 5 y 10
Un número es divisible por 2 si su dígito final, en el lugar de las unidades, es par. Por lo tanto, los números terminados en 0, 2, 4, 6 y 8 son divisibles por 2.
Un número es divisible por 5 si su dígito final es 0 o 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Divisibilidad por 3, 6 y 9
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 285 es divisible por 3 porque 2 + 8 + 5 = 15 es divisible por 3.
Un número es divisible por 6 si es divisible a la vez por 2 y por 3.
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Por ejemplo, 285 no es divisible por 9, ya que 2 + 8 + 5 = 15 no es divisible por 9.
Divisibilidad por 4, 7 y 8
Un número es divisible por 4 si sus últimos dos dígitos son divisibles por 4. Para el 7 se pueden usar distintas estrategias.
Un número es divisible por 8 si sus últimos tres dígitos son divisibles por 8.
Como 8 es igual a 2 a la tercera potencia, se puede comprobar si los últimos tres dígitos de un número se pueden dividir por 2 tres veces seguidas. Por ejemplo, 680 ÷ 2 = 340 ÷ 2 = 170 ÷ 2 = 85. 680 es de hecho divisible por 8.
Problemas de división
Los problemas escritos permiten comprobar si el estudiante comprende el significado de la operación y no sólo el procedimiento mecánico.
Se pueden proponer enunciados breves que hay que resolver con una división, como los siguientes: en un tren van a viajar 2.696 personas; si el tren tiene 36 vagones, ¿cuántas personas viajarán en cada uno?
Otro ejemplo es el siguiente: si un empresario tiene 683 bolsos y quiere repartirlos entre sus 7 tiendas, ¿cuántos bolsos le tocará a cada tienda?
También se puede plantear: si en mi cuaderno tengo 62 problemas y cada día hago 5, ¿en cuántos días acabaré el cuaderno?
Al resolver problemas con resto, es importante interpretar qué representa la cantidad que queda sin repartir. Según el contexto, el resto puede indicar objetos sobrantes, una fracción de unidad o la necesidad de utilizar una unidad adicional.
Actividades para reforzar la división
Los ejercicios de repaso ayudan a consolidar los fundamentos básicos de la división, permitiendo que el alumnado afiance los pasos y estrategias necesarias para resolverlas correctamente.
Las actividades interactivas pueden reforzar los conocimientos matemáticos de forma dinámica y divertida. Los recursos para aprender y repasar las divisiones en Primaria pueden reunir propuestas con distintos niveles de dificultad, lo que facilita que cada estudiante progrese a su propio ritmo.
- Aparcamiento de divisiones: aparece una división en la pantalla y los estudiantes tienen que conducir un coche con las flechas del teclado y aparcarlo justo en la plaza que muestra el resultado correcto.
- Tablas de divisiones: practicar las tablas de dividir del 1 al 12 ayuda a ganar agilidad mental.
- Encuentra las divisiones: actividad de búsqueda para localizar divisiones dentro de una cuadrícula de números.
- Dibujos con divisiones exactas: se colorea cada sección siguiendo las instrucciones que aparecen en cada hoja.
- Juego con divisiones para imprimir: los estudiantes tachan las divisiones equivocadas y anotan la palabra secreta que se esconde tras unir las letras de las divisiones correctas.
- Escribir cuentos de divisiones: el alumnado resuelve varias divisiones y escribe un cuento con cada una de las operaciones.
- Juegos por niveles: se pueden practicar división básica, secuencia de divisiones y búsqueda de dos divisiones con el mismo resultado.
La división puede trabajarse también mediante juegos de divisiones por una, dos o más cifras, divisibilidad, división por 10, 100 y 1.000, división con decimales y problemas sobre divisiones.
Recursos audiovisuales y métodos de aprendizaje
Un vídeo educativo puede explicar de forma sencilla y visual distintas operaciones y problemas de reparto que muestran para qué sirve la operación matemática de la división.
Otro vídeo presenta cuatro métodos lúdicos: formar grupos, organizar objetos en filas o columnas, utilizar la resta repetida para repartir paso a paso y relacionar la división con otras operaciones matemáticas.
También se puede aprender a dividir repartiendo plátanos entre monos, una representación sencilla y práctica del significado de la división.
El método Singapur puede utilizar problemas concretos y específicos para introducir al alumnado en el aprendizaje de las matemáticas. El método ABN ofrece actividades, guías y juegos que cubren distintos conceptos matemáticos, incluidas las divisiones.
📌 DIVISIÓN por 1 CIFRA | Super fácil 😊 | Ejercicio N° 1
Secuencia recomendada de práctica
- Representar la división con objetos, dibujos o grupos iguales.
- Relacionar la división con una multiplicación conocida.
- Resolver divisiones exactas con divisor de una cifra.
- Resolver divisiones con resto e interpretar la cantidad sobrante.
- Comprobar el resultado multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto.
- Practicar divisiones largas con dividendos y divisores de mayor número de cifras.
- Resolver problemas escritos de reparto y agrupamiento.
- Aplicar reglas de divisibilidad para anticipar si una división será exacta.
- Introducir cocientes fraccionarios y decimales cuando el nivel lo permita.
Una rutina corta y frecuente permite mantener activa la habilidad durante todo el curso. Trabajar una división desde varios ángulos ayuda a que el algoritmo deje de ser un procedimiento memorizado y se convierta en algo que el estudiante entiende y puede aplicar.
tags: #trabajo #practico #con #divisiones