Para restar fracciones con denominadores distintos, primero hay que convertirlas en fracciones equivalentes con un denominador común, preferiblemente el mínimo común múltiplo de los denominadores. Después se restan los numeradores, se conserva el denominador común y se simplifica el resultado.
Para dividir fracciones, se convierte la división en una multiplicación por la fracción inversa: se mantiene la primera fracción, se cambia el signo de división por multiplicación y se invierten el numerador y el denominador de la segunda fracción. Finalmente, se simplifica el resultado y, si es una fracción impropia, se convierte en una fracción mixta.
Qué representan las fracciones
Las fracciones representan números que pueden contar cantidades que no son enteras sino que son partes de una unidad. Estas partes tienen la propiedad de ser el resultado de dividir a la unidad en pedazos del mismo tamaño, por ejemplo en mitades o tercios.
En el día a día nos encontramos con variedad de problemas de fracciones. Las fracciones pueden utilizarse para expresar cantidades, comparar partes de una unidad, calcular diferencias, repartir objetos o determinar cuántas porciones caben en una cantidad determinada.
Restas de fracciones con denominadores distintos
Cuando el denominador es distinto, tenemos que realizar más operaciones: cambiar las fracciones por otras equivalentes para que tengan el mismo denominador y así poder restarlas.
En los dos casos, tenemos que hacer que las fracciones que vamos a restar tengan el mismo denominador porque si no, no podemos hacer la resta.
Podemos encontrarnos con una resta de fracciones más complejas. Este tipo de fracciones son las que tienen distinto denominador y un denominador no es múltiplo del otro, por ejemplo: \(\frac{5}{6}-\frac{7}{13}\).
También podemos encontrarnos con una resta de fracciones más sencillas. Este tipo de fracciones son las que tienen distinto denominador siendo un denominador múltiplo del otro, por ejemplo: \(\frac{5}{6}-\frac{7}{12}\), porque 12 es múltiplo de 6.
Método del mínimo común múltiplo
Para restar fracciones con denominadores distintos se utiliza el mínimo común múltiplo de los denominadores como denominador común.
Los pasos para restar fracciones con denominadores distintos son los siguientes:
- Hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.
- Escribir nuevas fracciones equivalentes a las iniciales con el mínimo común múltiplo como denominador de ellas.
- Restar los nuevos numeradores y escribirlos como el numerador resultante.
- Escribir el mínimo común múltiplo como denominador.
- Expresar la fracción en su forma más simple.
- Si la respuesta es una fracción impropia, convertirla en una fracción mixta.
Se utiliza el m.c.m. de los denominadores como denominador común y se cambian los numeradores por el resultado de dividir el nuevo denominador entre el antiguo y multiplicarlo por el antiguo numerador.
La fórmula parece más difícil de lo que es: para obtener cada numerador nuevo, se divide el denominador común entre el denominador original y se multiplica el resultado por el numerador original.
Ejemplo: \(\frac{2}{3}-\frac{3}{5}\)
Lo primero que vamos a hacer es hallar el mínimo común múltiplo entre los denominadores de las fracciones: m.c.m. (3, 5) = 15.
Ahora escribimos las fracciones equivalentes a las anteriores con el denominador igual a 15:
\(\frac{2}{3}=\frac{?}{15}\)
Para saber el número del numerador, tendremos que multiplicar el numerador (2) por el mismo número que se haya multiplicado el denominador. Para pasar de 3 a 15 hemos multiplicado por 5. Por tanto el numerador también lo multiplicamos por 5.
\(\frac{2}{3}=\frac{10}{15}\)
Hacemos lo mismo con la otra fracción:
\(\frac{3}{5}=\frac{?}{15}\)
El denominador se ha multiplicado por 3, entonces el numerador también lo tenemos que multiplicar por 3:
\(\frac{3}{5}=\frac{9}{15}\)
Ahora que las fracciones tienen el mismo denominador las podemos restar:
\(\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{1}{15}\)
Ejemplo: \(\frac{5}{6}-\frac{3}{10}\)
El mínimo común múltiplo entre 6 y 10 es 30.
Hallamos las fracciones equivalentes:
\(\frac{5}{6}=\frac{?}{30}\)
El denominador se ha multiplicado por 5, por lo tanto el numerador también hay que multiplicarlo por 5:
\(\frac{5}{6}=\frac{25}{30}\)
Lo hacemos con la otra fracción:
\(\frac{3}{10}=\frac{?}{30}\)
El denominador se ha multiplicado por 3, por lo tanto el numerador también hay que multiplicarlo por 3:
\(\frac{3}{10}=\frac{9}{30}\)
Por último, restamos las fracciones:
\(\frac{25}{30}-\frac{9}{30}=\frac{16}{30}\)
Esta última fracción también se puede simplificar:
\(\frac{16}{30}=\frac{8}{15}\)
Ejemplo: \(\frac{2}{3}-\frac{4}{15}\)
Para restar, necesitamos dos fracciones con denominadores comunes.
\(\frac{2}{3}-\frac{4}{15}\)
m.c.m. (3, 15) = 15.
Convertimos las fracciones dadas en fracciones equivalentes con denominador 15.
\(\frac{2\times5}{3\times5}=\frac{10}{15}\) y \(\frac{4\times1}{15\times1}=\frac{4}{15}\).
Aquí 10 y 4 son los numeradores, y 15 es el denominador común.
\(\frac{2}{3}-\frac{4}{15}=\frac{10}{15}-\frac{4}{15}=\frac{10-4}{15}=\frac{6}{15}\)
Finalmente, simplificamos la fracción:
\(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\)
Cuando un denominador es múltiplo del otro
Podríamos hacer el mínimo común múltiplo entre los denominadores, pero vamos a ver otra forma de hacer la resta de fracciones más sencillas que solo vale para este tipo de fracciones.
Hay que encontrar la fracción equivalente de la fracción que tiene como denominador un divisor del denominador de la otra fracción, para que los dos denominadores de las fracciones sean iguales.
Ejemplo: \(\frac{5}{6}-\frac{7}{12}\)
La fracción equivalente a \(\frac{5}{6}\) es \(\frac{10}{12}\); hemos multiplicado numerador y denominador por 2.
Ahora ya tenemos las dos fracciones con el mismo denominador, 12:
\(\frac{10}{12}-\frac{7}{12}\)
Entonces, el resultado de la resta es:
\(\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=\frac{3}{12}\)
Representación visual
También podemos buscar esta fracción equivalente de forma visual e intuitiva.
En esta actividad te puedes ayudar de las barras para saber el resultado de la resta de las fracciones, simplemente hay que poner el mismo número de partes en las que están divididas las dos barras; en este caso se dividen en 12 partes iguales.
Después de dividir las barras en el mismo número de partes es fácil ver, de forma gráfica, el resultado de la resta, \(\frac{1}{12}\), que está representado en la barra final.
Utilizando las barras también podemos ver que la fracción equivalente a \(\frac{3}{4}\) es \(\frac{9}{12}\), y la resta de las fracciones quedaría: \(\frac{10}{12}-\frac{9}{12}=\frac{1}{12}\).
Método rápido: multiplicación cruzada
Para restar rápidamente dos fracciones heterogéneas o con diferente denominador, se puede utilizar una regla basada en la multiplicación cruzada.
Primero multiplicamos los denominadores, \(b\times d\); después multiplicamos en aspa, \(a\times d\) y \(b\times c\), y restamos esos productos.
La regla general es:
\(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\times d-b\times c}{b\times d}\)
Aunque ambos métodos son válidos, recomendamos el método del m.c.m. porque con el segundo tenemos que calcular productos y restas de números que pueden ser grandes y los resultados normalmente se tienen que simplificar.
Ejemplo: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
Estas fracciones tienen distinto denominador, por eso, para realizar la resta aplicamos la regla.
La respuesta es \(\frac{1}{6}\).
Ejemplo: \(\frac{3}{4}-\frac{2}{5}\)
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por eso, para realizar la resta, primero multiplicamos los denominadores, \(4\times5\).
Luego multiplicamos en aspa, \(3\times5\) y \(4\times2\), y restamos esos productos cruzados.
\(\frac{3}{4}-\frac{2}{5}=\frac{3\times5-4\times2}{4\times5}=\frac{15-8}{20}=\frac{7}{20}\)
Ejemplo: \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
Estas son fracciones heterogéneas, por eso, para realizar la resta, primero multiplicamos los denominadores, \(2\times4\).
Después multiplicamos en aspa, \(1\times4\) y \(2\times1\), y luego restamos esos productos.
Luego de realizar los pasos, se obtiene \(\frac{2}{8}\), pero esta es una fracción que se puede simplificar.
Luego de simplificar, la respuesta final es \(\frac{1}{4}\).
Ejemplo: \(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}\)
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, entonces, aplicamos la regla para restar fracciones.
Empezamos multiplicando los denominadores, \(6\times3\); luego viene la multiplicación en aspa, \(5\times3\) y \(6\times2\); después restamos esos productos cruzados.
Luego de operar, se obtiene como resultado \(\frac{3}{18}\); esta fracción se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador entre 3.
Luego de simplificar, se obtiene \(\frac{1}{6}\) como respuesta final.
Fracciones con el mismo denominador
Podemos restar fracciones sin hacer ningún otro paso intermedio cuando tienen el mismo denominador.
- Escribir el mismo denominador que tienen las fracciones en la fracción resultante.
- Restar los numeradores y escribir el resultado en la fracción resultante.
\(\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\)
\(\frac{10}{5}-\frac{2}{5}=\frac{8}{5}\)
Como las fracciones tienen el mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Ejemplo visual: \(\frac{7}{10}-\frac{3}{10}\)
La tarta es un apoyo visual que te puede ayudar a realizar la resta de fracciones. Está dividida en 10 partes iguales, de las cuales al final solo nos quedamos con 4 trozos de tarta.
\(\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{4}{10}\) trozos de tarta.
La fracción \(\frac{4}{10}\) tiene numerador y denominador pares, por lo que se puede simplificar: \(\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\).
Ejemplo visual: \(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\)
En esta actividad, te puedes ayudar de los círculos para representar las fracciones.
Primero, tenemos que dividir en 4 partes iguales los dos círculos y después colorear en uno 3 partes y en otro solo una.
\(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}\) partes del círculo coloreadas, o sea, la mitad.
Cómo simplificar una resta de fracciones
Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador entre un mismo número distinto de cero.
La fracción resultante debe conservar el mismo valor que la fracción original, pero debe expresarse con números más pequeños cuando sea posible.
Por ejemplo, \(\frac{16}{30}=\frac{8}{15}\), porque el numerador y el denominador se dividen entre 2.
También \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\), porque el numerador y el denominador se dividen entre 3.
Cómo convertir una fracción impropia en mixta
Si el resultado es una fracción impropia, se convierte en una fracción mixta dividiendo el numerador entre el denominador y adicionando como fracción el residuo de la división sobre el denominador.
Por ejemplo, al transformar \(\frac{11}{6}\) en fracción mixta, se obtiene \(1\frac{5}{6}\).
En una fracción mixta, el número entero indica cuántas unidades completas hay y la fracción representa la parte restante.
Problemas de resta de fracciones
Calcular cuánto falta para completar una cantidad
Si tengo \(\frac{3}{4}\), ¿cuánto me falta para tener 2?
Como queremos conocer una diferencia, la operación que tenemos que hacer es una resta.
Para saber cuánto falta para llegar a 2, planteamos la resta.
Transformamos el número entero 2 en su expresión como fracción.
Resolvemos la resta encontrando un denominador común, para lo cual multiplicamos los denominadores. También multiplicamos cada numerador por el denominador de la otra fracción, es decir, el 2 por 4, el 3 por 1, y luego restamos.
Transformamos \(\frac{5}{4}\) a fracción mixta, dividiendo el numerador entre el denominador y adicionando como fracción el residuo de la división sobre el denominador.
Respuesta: me falta \(1\frac{1}{4}\) para llegar a 2.
Calcular la tela que falta
Una costurera tiene \(\frac{2}{3}\) de metro de tela y necesita \(\frac{5}{2}\) metros para hacer un vestido. ¿Cuánto le falta?
La operación que resuelve este problema es una resta puesto que se busca una diferencia.
Restamos \(\frac{5}{2}\) menos \(\frac{2}{3}\); como los denominadores son diferentes, tenemos que calcular el denominador común y hacer las multiplicaciones correspondientes.
Transformamos los \(\frac{11}{6}\) en fracción mixta.
Respuesta: la costurera necesita \(1\frac{5}{6}\) m de tela para hacer un vestido.
Comparar una fracción antes y después de modificarla
¿Cuánto aumenta o disminuye \(\frac{7}{9}\) si añadimos 1 al numerador y 4 al denominador?
Primero tenemos que obtener la fracción aumentada siguiendo el planteamiento del problema. Después utilizamos una resta ya que se busca una diferencia.
Obtenemos la nueva fracción a partir de \(\frac{7}{9}\) sumándole 1 al numerador y 4 al denominador.
Para comparar las dos fracciones \(\frac{7}{9}\) y \(\frac{8}{13}\) calculamos fracciones equivalentes que tengan un denominador común.
Podemos reconocer que la fracción \(\frac{7}{9}\) disminuyó al transformarse de \(\frac{91}{117}\) a \(\frac{72}{117}\).
Cuánto se redujo lo calculamos restando.
Respuesta: la fracción \(\frac{7}{9}\) disminuyó \(\frac{19}{117}\).
Problemas con suma y resta de fracciones
Tiempo libre después de varias actividades
Moisés usa \(\frac{1}{3}\) del día durmiendo, \(\frac{1}{6}\) comiendo y \(\frac{2}{5}\) estudiando. ¿Cuánto tiempo libre le queda?
Se deben hacer dos operaciones: primero la suma de los tiempos indicados en cada actividad, luego restar a un día la cantidad calculada.
Primero debemos sumar las fracciones de tiempo que usa Moisés. Como tienen diferente denominador, calculamos el denominador común que es 30, puesto que 30 es múltiplo de 3, 5 y 6.
Determinamos las constantes por las cuales se debe multiplicar a 3, 5 y 6 para obtener 30: 10 para el caso de tercios, 6 para quintos y 5 para sextos.
Para hacer la suma, multiplicamos cada numerador por la constante que le corresponde según su denominador y luego sumamos.
Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador por 3.
Restamos a 1 día los \(\frac{9}{10}\) que Moisés emplea en sus actividades.
Respuesta: Moisés tiene \(\frac{1}{10}\) del día libre.
Parte del mantel que debe tejer la tercera persona
Tres tejedoras tienen que tejer un mantel. Una teje \(\frac{1}{5}\), otra teje \(\frac{3}{8}\). ¿Cuánto tiene que tejer la tercera?
Las operaciones que debemos hacer son una suma y una resta. La suma es de las cantidades que tejieron la primera y segunda tejedora. Luego se debe restar esta cantidad a un entero que representa la totalidad del mantel.
Sumamos lo que han tejido las dos tejedoras.
A la unidad, que representa un mantel, le restamos los \(\frac{23}{40}\) que hicieron las dos tejedoras.
Respuesta: a la tercera tejedora le toca tejer \(\frac{17}{40}\) del mantel.
División de fracciones
La división de fracciones permite repartir una cantidad en partes iguales o determinar cuántas veces cabe una fracción dentro de otra cantidad.
Para resolver una división de fracciones, se plantea la división, se convierte el entero en fracción cuando es necesario y se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda.
- Escribir la división.
- Convertir los números enteros en fracciones con denominador 1.
- Conservar la primera fracción.
- Cambiar el signo de división por multiplicación.
- Invertir la segunda fracción.
- Multiplicar numeradores y denominadores.
- Simplificar el resultado.
- Convertir la fracción impropia en mixta cuando sea necesario.
La división de fracciones puede aparecer en situaciones en las que se busca repartir un contenido en partes iguales de un tamaño determinado o calcular cuántas porciones se obtienen de una cantidad total.
Alimento para un perro
Firulais, el perro, se come \(\frac{2}{3}\) de taza de alimento por día. Si un contenedor de alimento nuevo tiene 30 tazas de alimento, ¿cuántos días alcanza para alimentar a Firulais?
Para resolver este problema debemos dividir porque se busca repartir el contenido del contenedor en partes iguales de tamaño \(\frac{2}{3}\).
Se plantea la división y se convierte el entero 30 a fracción.
Se hace la operación:
\(30\div\frac{2}{3}=30\times\frac{3}{2}=45\)
Respuesta: el contenedor completo alimentaría a Firulais por 45 días.
Moños hechos con un carrete de listón
Lucio tiene un carrete de listón que utiliza para hacer moños. Si el carrete mide \(\frac{50}{4}\) de metro y para cada moño ocupa \(\frac{4}{5}\) de metro, ¿para cuántos moños alcanza un carrete?
Necesitamos hacer una división porque se requiere dividir una longitud en pedazos más pequeños del mismo tamaño.
Planteamos la división del total del carrete entre la longitud para hacer cada moño:
\(\frac{50}{4}\div\frac{4}{5}=\frac{50}{4}\times\frac{5}{4}\)
Hacemos la división y simplificamos.
Respuesta: Lucio puede hacer 15 moños y le sobrará \(\frac{5}{8}\) de metro.
Porciones de pastel
Un pastel de \(\frac{7}{4}\) de kilo se divide en porciones de \(\frac{1}{12}\) de kilo. ¿Cuántas porciones salen?
Debes dividir el total del pastel, en peso, entre el tamaño de las porciones, también en peso.
Escribimos la división y resolvemos:
\(\frac{7}{4}\div\frac{1}{12}=\frac{7}{4}\times\frac{12}{1}=21\)
Simplificamos la fracción.
Respuesta: salen 21 porciones de \(\frac{1}{12}\) de kilo.
Fracciones mixtas en restas y divisiones
Tenemos que convertir de números mixtos a fracciones impropias cuando una operación incluye fracciones mixtas.
Para transformar una fracción mixta en una fracción impropia, se multiplica el número entero por el denominador y se suma la parte fraccionaria.
Pago pendiente
Una persona debe 200 pesos y paga \(50\frac{1}{4}\) pesos. ¿Cuánto le falta por pagar?
Tenemos que convertir de números mixtos a fracciones impropias, además de utilizar las operaciones suma, resta, multiplicación o división.
Transformamos la fracción mixta en una fracción impropia, multiplicando el número entero por el denominador y sumamos la parte fraccionaria.
Restamos a 200 pesos los \(\frac{201}{4}\) que la persona pagó.
Transformamos la fracción impropia en una fracción mixta.
Respuesta: a la persona le falta pagar \(149\frac{3}{4}\) pesos.
Trabajo realizado por hora
Un agricultor trabaja \(10\frac{1}{4}\) metros de tierra en \(\frac{1}{2}\) hora. ¿Cuántos metros trabajará en \(4\frac{3}{4}\) de hora?
Resolver este problema requiere convertir las fracciones mixtas en fracciones impropias. Luego debemos calcular cuántas medias horas caben en \(4\frac{3}{4}\) de hora.
Primero transformamos las fracciones mixtas \(4\frac{3}{4}\) y \(10\frac{1}{4}\).
Calculamos cuántas \(\frac{1}{2}\) horas hay en \(\frac{19}{4}\) de hora; para eso dividimos \(\frac{19}{4}\) entre \(\frac{1}{2}\).
Multiplicamos \(\frac{19}{2}\) por \(\frac{41}{4}\) y simplificamos.
Respuesta: el agricultor trabajará \(97\frac{3}{8}\) de metros en \(4\frac{3}{4}\) de hora.
Ejercicios resueltos
Para practicar la resta de fracciones con distinto denominador, se pueden resolver los siguientes ejercicios:
- \(\frac{8}{5}-\frac{3}{5}\)
- \(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\)
- \(\frac{7}{4}-\frac{7}{8}\)
- \(\frac{5}{6}-\frac{1}{15}\)
Las soluciones son:
- \(\frac{5}{5}=1\)
- \(\frac{5}{6}\)
- \(\frac{7}{8}\)
- \(\frac{23}{30}\)
Errores frecuentes
- No se deben restar directamente los denominadores.
- Los numeradores solo se restan directamente cuando las fracciones ya tienen el mismo denominador.
- Al crear una fracción equivalente, el numerador y el denominador deben multiplicarse por el mismo número.
- Después de restar, hay que comprobar si la fracción puede simplificarse.
- En una división no se deben invertir las dos fracciones: se invierte la segunda fracción y se multiplica por la primera.
- Cuando aparece un número entero, puede escribirse como una fracción con denominador 1.
- Si el resultado es una fracción impropia, puede convertirse en una fracción mixta.
SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
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