Las pruebas finales de octavo de matemáticas reúnen los contenidos trabajados durante los cuatro bimestres: números racionales, operaciones y conversiones con decimales, proporción directa e inversa, congruencia de triángulos, geometría del cilindro y la esfera, polinomios, factorización, ecuaciones, funciones, estadística, probabilidad y factoriales.
El material se organiza en cuatro secciones equivalentes a los bimestres del año y termina con un examen final de Matemática de 8.º grado de 40 minutos y 12 preguntas.
Organización general de las pruebas
| Sección | Equivalencia | Principales contenidos | Evaluación |
|---|---|---|---|
| Sección 1 | 1.er bimestre | Números racionales, decimales, proporciones y congruencia de triángulos | 30 minutos, 5 preguntas |
| Sección 2 | 2.º bimestre | Cilindro, esfera, regiones sombreadas, polinomios y factorización | 25 minutos, 4 preguntas |
| Sección 3 | 3.er bimestre | Trinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones y funciones | 35 minutos, 6 preguntas |
| Sección 4 | 4.º bimestre | Estadística, probabilidad y factoriales | 35 minutos, 6 preguntas |
| Examen final | Evaluación acumulativa | Contenidos de las cuatro secciones | 40 minutos, 12 preguntas |
Sección 1: contenidos del primer bimestre
Esta primera sección es equivalente al 1.er bimestre de matemática de 8.º grado, el alumno podrá aprender, reforzar y repasar los contenidos aprendidos en el colegio, podrá encontrar temas como fracciones y decimales, conversiones de decimales, proporción directa e inversa, entre otros temas.
Sistema de números racionales
El sistema de números racionales comprende los números que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros, con denominador diferente de cero. En esta parte se repasan la identificación, representación y comparación de números racionales.
Ubicación de los números racionales
La ubicación de los números racionales permite representarlos en la recta numérica y determinar cuál es mayor, menor o igual que otro. Para comparar fracciones pueden utilizarse denominadores comunes, productos cruzados o su conversión a decimal.
Operaciones con números racionales
Las operaciones con números racionales incluyen suma, resta, multiplicación y división de fracciones y decimales. En la suma y la resta de fracciones es necesario considerar si los denominadores son iguales o diferentes, mientras que en la división se multiplica por el recíproco del segundo número.
Conversiones con decimales
Las conversiones con decimales relacionan fracciones, decimales y porcentajes. Una fracción puede transformarse en decimal mediante una división, y un decimal puede convertirse en fracción escribiendo sus cifras sobre una potencia de diez y simplificando el resultado.
Proporción directa e inversa
En una proporción directa, cuando una cantidad aumenta, la otra también aumenta manteniendo constante el cociente entre ambas. En una proporción inversa, cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye manteniendo constante el producto de las cantidades.
Teorema de congruencia de triángulos
La congruencia de triángulos permite determinar si dos triángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño. Los criterios de congruencia se basan en la igualdad de lados y ángulos correspondientes.
La primera sección incluye un examen de Matemática de 8.º grado con una duración de 30 minutos y 5 preguntas.
Sección 2: contenidos del segundo bimestre
Esta segunda sección es equivalente al 2.º bimestre de matemática de 8.º grado, el alumno podrá aprender, reforzar y repasar los contenidos aprendidos en el colegio, podrá encontrar temas como área lateral del prisma, área lateral del cilindro, volumen de la esfera, área de la región sombreada, multiplicación de polinomios, entre otros temas.
Área lateral del cilindro
El área lateral del cilindro corresponde a la superficie curva que rodea el sólido. Para calcularla se utiliza la longitud de la circunferencia de la base multiplicada por la altura.
Área y volumen del cilindro
El área total del cilindro incluye las dos bases circulares y el área lateral. El volumen del cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la altura.
Volumen de la esfera
El volumen de la esfera depende de su radio y permite calcular el espacio que ocupa el sólido. En estos ejercicios es importante identificar correctamente el radio y utilizar las unidades cúbicas correspondientes.
Área de la región sombreada
Para calcular el área de una región sombreada se identifican las figuras que la componen y se realizan las operaciones necesarias de suma o resta de áreas. Es fundamental observar qué parte de la figura está sombreada y qué medidas se proporcionan.
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios se agrupan los términos semejantes, es decir, los que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes. En una resta de polinomios deben cambiarse los signos de todos los términos del polinomio que se sustrae.
Multiplicación de monomio y polinomio
La multiplicación de un monomio por un polinomio se realiza aplicando la propiedad distributiva. El monomio se multiplica por cada término del polinomio y después se simplifican los resultados.
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Finalmente, se reducen los términos semejantes y se ordena el resultado según el grado de los términos.
Factorización de monomios
La factorización de monomios consiste en expresar una expresión como producto de factores. Para ello se busca el máximo común divisor de los coeficientes y la parte literal común de los términos.
La segunda sección incluye un examen de Matemática de 8.º grado con una duración de 25 minutos y 4 preguntas.
Sección 3: contenidos del tercer bimestre
Esta tercera sección es equivalente al 3.er bimestre de matemática de 8.º grado, el alumno podrá aprender, reforzar y repasar los contenidos aprendidos en el colegio, podrá encontrar temas como factorización de trinomios, suma de fracciones con variables, diferencia de cuadrados, entre muchos otros.
Factorización de trinomios
La factorización de trinomios consiste en escribir un polinomio de tres términos como producto de dos binomios o de otros factores. Para encontrar los factores se analizan los signos, los coeficientes y los exponentes de cada término.
La diferencia de cuadrados es un producto notable que se expresa como la diferencia entre dos cuadrados y se factoriza como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas.
Suma de fracciones con variables e igual denominador
Cuando las fracciones algebraicas tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador común. Después se simplifica la expresión si es posible.
Suma de fracciones con variables y diferente denominador
Cuando las fracciones algebraicas tienen denominadores diferentes, se busca un denominador común, se transforman las fracciones equivalentes y luego se suman o restan los numeradores.
Solución de ecuaciones lineales
Resolver una ecuación lineal significa encontrar el valor de la variable que hace verdadera la igualdad. Para aislar la variable se aplican operaciones equivalentes en ambos lados de la ecuación.
En las ecuaciones lineales con términos en ambos lados, primero se reúnen las variables en un lado y las constantes en el otro, respetando las operaciones realizadas en ambos miembros.
Solución de ecuaciones radicales
Las ecuaciones radicales contienen la variable dentro de una raíz. Para resolverlas se aísla el radical, se eleva al cuadrado cuando corresponde y se comprueba la solución en la ecuación original.
Gráfica de una función constante
La gráfica de una función constante es una línea horizontal, porque el valor de la variable dependiente permanece igual para todos los valores de la variable independiente.
Gráfica de una función lineal
La gráfica de una función lineal es una recta. Para representarla pueden identificarse algunos pares ordenados, ubicar los puntos en el plano cartesiano y unirlos mediante una línea.
Gráfica de una función lineal despejando
Para graficar una función lineal despejando, se expresa una variable en función de la otra y se identifican la pendiente y el punto de intersección con los ejes.
Gráfica de una función cuadrática
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Su forma depende del coeficiente principal y puede abrirse hacia arriba o hacia abajo.
Gráfica de una función exponencial
La gráfica de una función exponencial representa una relación en la que la variable aparece como exponente. El comportamiento de la gráfica depende de la base de la potencia.
Sentido de la pendiente
La pendiente indica la inclinación de una recta y permite determinar si una función es creciente, decreciente u horizontal. Una pendiente positiva representa una recta creciente y una pendiente negativa representa una recta decreciente.
La tercera sección incluye un examen de Matemática de 8.º grado con una duración de 35 minutos y 6 preguntas.
Gráfica de la función lineal | Ejemplo 1
Sección 4: contenidos del cuarto bimestre
Esta cuarta sección es equivalente al 4.º bimestre de matemática de 8.º grado, el alumno podrá aprender, reforzar y repasar los contenidos aprendidos en el colegio, podrá encontrar temas como mediana, moda, rango y media, ejercicios básicos de estadística, trabajo con variables y factorizaciones.
Mediana, moda, rango y media
La media se obtiene sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el número de datos. La mediana es el valor central de un conjunto ordenado, la moda es el valor que más se repite y el rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
Ejercicios de mediana, moda, rango y media
Para resolver ejercicios de estadística descriptiva se ordenan los datos, se cuentan sus repeticiones y se aplican las operaciones correspondientes a cada medida. Es importante distinguir entre la posición central de la mediana y la frecuencia de la moda.
Varianza y desviación estándar
La varianza y la desviación estándar permiten analizar la dispersión de los datos respecto de la media. La desviación estándar se relaciona con la raíz cuadrada de la varianza.
Reglas básicas de probabilidad
La probabilidad mide qué tan posible es que ocurra un evento. Su valor se expresa entre 0 y 1, aunque también puede representarse mediante una fracción, un decimal o un porcentaje.
Probabilidad de un evento y su complemento
El complemento de un evento está formado por los resultados en los que dicho evento no ocurre. La probabilidad de un evento y la probabilidad de su complemento suman 1.
Regla de la suma para calcular probabilidades
La regla de la suma permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento u otro. Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, se suman sus probabilidades.
Regla de la multiplicación independiente
La regla de la multiplicación independiente se utiliza cuando la ocurrencia de un evento no modifica la probabilidad del otro. En ese caso se multiplican las probabilidades de los eventos.
Probabilidad condicional
La probabilidad condicional calcula la posibilidad de que ocurra un evento cuando se sabe que otro evento ya ocurrió. La información disponible modifica el conjunto de resultados que se consideran posibles.
Operaciones con factorial
El factorial de un número natural se obtiene multiplicando ese número por todos los números naturales positivos menores que él. Las operaciones con factorial aparecen en problemas de conteo, ordenamientos y probabilidad.
La cuarta sección incluye un examen de Matemática de 8.º grado con una duración de 35 minutos y 6 preguntas.
Ejercicios de álgebra para la preparación final
Potencias y productos notables
- Calcula el cuadrado de 3x: 9x2.
- ¿Cuál es el cuadrado de -5m5? 25m10.
- ¿Cuál es el producto notable de (x + 3)(x - 3)? x2 - 9.
- ¿Cuáles de los siguientes son productos notables? (x + 8)(x + 3), (n - 5)(n + 4), (x + 7)(x - 3) y (m - 1)(m - 2).
- ¿Cuál es el resultado final de (a - b)(a + b)? a2 - b2.
Agrupación y división de binomios
El polinomio 3a + ab + 3c + bc se puede agrupar de dos maneras para ser factorizado: verdadero.
La división de binomios se escribe como fracción, y como fracción se simplifica.
Explicaciones para comprobar los procedimientos
- Se eleva al cuadrado el número y la parte literal.
- El cuadrado de un monomio negativo siempre dará como resultado un monomio positivo.
- En una expresión de este tipo se debe dividir y luego cancelar para dar el resultado inicial.
- Un polinomio puede agruparse de a 2 monomios, es decir, de una manera.
- La división se hace como fracción, y como fracción se simplifica.
Examen final de Matemática de octavo grado
El examen final de Matemática de 8.º grado tiene una duración de 40 minutos y contiene 12 preguntas. Su propósito es revisar los aprendizajes de las cuatro secciones y comprobar el dominio de los principales contenidos del curso.
Para prepararlo, conviene repasar primero los números racionales y las operaciones, continuar con geometría y polinomios, practicar después ecuaciones y funciones, y terminar con estadística, probabilidad y factoriales.
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