La regla de los ceros permite simplificar algunas divisiones y multiplicaciones sin cambiar el resultado. En una división, si multiplicas o divides el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía, aunque el resto queda multiplicado o dividido por ese mismo número.
Para aplicar correctamente esta regla, hay que distinguir entre los ceros finales de los números, los ceros que aparecen dentro del cociente y los ceros que sirven para desplazar la coma decimal. Cada caso responde a una propiedad matemática concreta y no a una regla arbitraria.
Qué significa dividir
La división puede entenderse como un reparto o como una resta reiterada. Si vamos a repartir (dividir) 6 huevitos dulces entre dos niños, le damos primero uno a cada uno y nos quedan 4 (6 - 2=4). Otra vez le damos uno a cada uno y nos quedan 2 (4 - 2=2). Finalmente le damos uno a cada uno y nos quedan cero (2 - 2=0).
Lo que hicimos fue ir restando a la cantidad inicial 2 huevitos dulces cada vez. ¿Cuántas veces lo hicimos? 3 ¿Cuántos le quedaron a cada niño? 3. Por eso es lo mismo una división (reparto) que una resta reiterada, en la que el cociente es el número de veces que se restó.
También pueden expresar una división frases como obtener la mitad, repartir entre tres, separar en cuatro, partir en cinco, cortar en seis, distribuir entre siete, fraccionar en ocho, romper en nueve o compartir entre diez, siempre que se indique que son tantas partes iguales.
Elementos de una división
La división consta de cuatro elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo.
| Elemento | Función |
|---|---|
| Dividendo | Cantidad que se quiere repartir o dividir. |
| Divisor | Número de partes o cantidad por la que se divide. |
| Cociente | Resultado de la división. |
| Residuo | Cantidad que queda después de realizar la división. |
La división puede representarse usando una galera, también conocida como “casita”. También se puede usar la galera de forma invertida. Considero que debe seguirse el acomodo que prevalezca en la cultura de cada quién, para evitar conflictos innecesarios.
La propiedad fundamental para quitar ceros
Si multiplicas o divides los elementos iniciales de una división (dividendo y divisor) por un mismo número, el cociente no varía (es decir, el resultado es el mismo) y el resto queda multiplicado o dividido por ese mismo número.
Por ejemplo:
6 / 3 = 2 -> 60 / 30 = 2
Cuando multiplicamos por 10 ambos factores de un producto, dicho producto se multiplica por 100:
6 x 3 = 18 -> 60 x 30 = 1800
En cambio, cuando multiplicamos por 10 el dividendo y el divisor en una división, el resultado permanece.
Esta propiedad permite eliminar la misma cantidad de ceros finales en el dividendo y en el divisor. Al reducir la longitud de los números, la operación resulta más sencilla, pero el cociente sigue siendo el mismo.
Ejemplo práctico: 3.500 dividido entre 70
Manuel quiere comprar una moto de 3.500€. Si solo va a pagar 70€ al mes por ella, ¿cuántos meses va a tardar en pagar el coste total de la moto?
Para resolver esta situación, solamente tenemos que dividir el coste total de la moto (3.500€) entre la cantidad de dinero que va a pagar cada mes (70€).
En este caso tenemos dos ceros en el dividendo y un solo cero en el divisor. Basándonos en la propiedad de la división, vamos a dividir entre 10 nuestro dividendo y nuestro divisor:
3500 : 10 = 350
70 : 10 = 7
La división original queda simplificada de esta manera:
3500 : 70 = 350 : 7 = 50
Nuestro cociente final es 50, que es el mismo cociente que el de la división sin simplificar (3500 : 70 = 50). Manuel va a pagar 70€ durante 50 meses para pagar los 3500€ de la moto.
Cómo aplicar la regla de los ceros
Tenemos que tener un cuidado especial al simplificar. Siempre hay que simplificar el mismo número de ceros en numerador y denominador.
No se pueden simplificar los ceros que haya entre dos cifras diferentes, únicamente los que estén al final de dividendo y de divisor.
Se puede simplificar más de un cero en cada división, siempre que los haya al final de dividendo divisor.
| División | Simplificación | Resultado |
|---|---|---|
| 3500 : 70 | 350 : 7 | 50 |
| 600 : 30 | 60 : 3 | 20 |
| 48000 : 600 | 480 : 6 | 80 |
Con estos trucos no resolvemos la división pero sí que nos ayuda a enfrentarnos a una operación más sencilla, al reducir la longitud de los números del dividendo y el divisor que intervienen en el proceso.
Qué ceros se pueden eliminar y cuáles no
Solo se pueden eliminar ceros que estén al final del dividendo y del divisor, y siempre la misma cantidad en ambos números.
- Se pueden eliminar ceros finales del dividendo y del divisor.
- No se pueden eliminar ceros situados entre otras cifras.
- No se puede eliminar una cantidad distinta de ceros en cada número.
- La simplificación no debe cambiar la relación entre dividendo y divisor.
Por ejemplo, en 3500 : 70 se puede eliminar un cero en ambos números y obtener 350 : 7. También se puede continuar si existen más ceros finales en los dos términos.
En cambio, no se deben eliminar ceros internos de números como 4050 o 60702, porque esos ceros ocupan una posición decimal concreta y forman parte del valor del número.
Dividir entre 1 seguido de ceros
Cuando se divide por 1 seguido de ceros, se repite el dividendo y luego se le coloca la coma de decimales dejando tantas cifras decimales como ceros lleve el divisor.
| Operación | Resultado | Explicación |
|---|---|---|
| 387 : 10 | 38,7 | Se deja una cifra decimal porque 10 tiene un cero. |
| 3.859 : 100 | 38,59 | Se dejan dos cifras decimales porque 100 tiene dos ceros. |
| 4.215 : 1.000 | 4,215 | Se dejan tres cifras decimales porque 1.000 tiene tres ceros. |
387 : 10 = 38,7
3.859 : 100 = 38,59
4.215 : 1.000 = 4,215
La coma decimal se desplaza hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tenga el divisor.
Dividir entre un número seguido de ceros
Cuando el divisor es un número distinto de 1 seguido de ceros, se realizan dos pasos:
- Se divide por el divisor sin tener en cuenta los ceros.
- Al cociente anterior se le añade una coma de decimales dejando tantas cifras decimales como ceros lleve el divisor.
Por ejemplo, para dividir 237 : 30, primero se divide 237 entre 3 y después se coloca la coma dejando una cifra decimal, porque 30 tiene un cero.
En el caso de 2.156 : 400, primero se divide por 4 y después se coloca la coma dejando dos cifras decimales, porque 400 tiene dos ceros.
| Operación | Divisor sin ceros | Cifras decimales |
|---|---|---|
| 237 : 30 | 3 | Una |
| 2.156 : 400 | 4 | Dos |
| 9.426 x 2.000 | 2 | Dos ceros en el factor |
La regla de los ceros en las multiplicaciones
En una multiplicación por 10, 100, 1.000 o cualquier número formado por un 1 seguido de ceros, se desplaza la coma decimal hacia la derecha tantas posiciones como ceros tenga el multiplicador.
| Multiplicación | Desplazamiento |
|---|---|
| 6 x 10 | Una posición hacia la derecha |
| 6 x 100 | Dos posiciones hacia la derecha |
| 6 x 1.000 | Tres posiciones hacia la derecha |
Si el número no tiene suficientes cifras decimales o unidades para realizar el desplazamiento, se añaden ceros a la derecha.
La multiplicación y la división funcionan de manera inversa en este caso: multiplicar por 10 desplaza la coma hacia la derecha y dividir entre 10 desplaza la coma hacia la izquierda.
Por qué funciona la regla en el sistema decimal
Para realizar correctamente las divisiones es indispensable tener presentes las características del sistema numérico decimal.
Cada dígito tiene un valor absoluto y un valor relativo, según su posición. El valor de cada posición es 10 veces el valor de la posición a su derecha.
En 59, la posición del 9 es la de las unidades, vale 1 y, por tanto, el 9 colocado ahí vale 9 unidades. En cambio, la posición del 5 es la de las decenas, vale 10 veces la de las unidades. O sea que el 5 colocado ahí vale 50 unidades.
Por eso, al multiplicar o dividir por potencias de diez, las cifras cambian de posición dentro del sistema decimal. El valor total se multiplica o se divide, pero el orden de las cifras se conserva.
Ceros en el cociente durante una división
Los ceros que se eliminan al simplificar una división no son los mismos que los ceros que aparecen dentro del cociente durante el algoritmo de la división.
En este post vamos a ver la razón por la cual se ponen ceros en el cociente de una división cuando se dividen números enteros.
Si, al resolver una división, el dividendo resultante es menor que el divisor, no se puede elegir un cociente del 1 al 9 que, al multiplicarlo por el divisor, dé un resultado igual o menor que el dividendo.
Para esta situación se debe seguir la consigna de «añadir un cero al cociente, bajar la siguiente cifra del dividendo y continuar dividiendo».
Ese cero que se pone en el cociente no es más que el único número que, al multiplicarlo por el divisor, da como resultado un número menor que el dividendo.
Ejemplo: 2.574 dividido entre 9
Al comenzar el proceso, se observa que 5 es menor que 9. Por tanto, el divisor 9 no cabe ninguna vez en 5.
Multiplicamos el divisor (9) por un número (0) que dé como resultado el dividendo (5) o menor:
9 x 0 = 0
0 es menor que 5. Luego restamos el número obtenido al dividendo:
5 - 0 = 5
Ahora sí, bajamos la siguiente cifra del dividendo y seguimos con nuestra división. El número formado es 54.
Multiplicamos el divisor (9) por un número (6) que dé como resultado el dividendo (54) o menor:
9 x 6 = 54
54 es igual que 54; nos da resto 0.
La división es correcta:
2574 / 9 = 306 y de resto 0
El cero del cociente ocupa la posición correspondiente al número de veces que el divisor cabe en 5. No es una aparición mágica ni una regla sin explicación: representa que el divisor no cabe ninguna vez en esa posición.
Cómo continuar una división cuando aparece un cero
Siempre que se baja un dígito, se debe escribir algo en el cociente. Ese «algo» es el número de veces que cabe el divisor en el número que acabamos de formar, así sea cero.
Cuando el dígito en el cociente es cero, no es necesario realizar la multiplicación. Se puede hacer así desde el primer paso.
Está bien que cuando el alumno tenga interiorizado todo el proceso de la división y haya desarrollado la soltura adecuada a la hora de resolver divisiones de una o dos cifras en el divisor, incluyendo ceros en el cociente, sepa que hay un «atajo» que pueden usar o no.
Pero sólo después de que entienda el motivo de los ceros en el cociente de una división. Es mejor normalizar esta situación como una más: si el dividendo es menor que el divisor, multiplico este por cero y obtengo un número menor que ambos.
Diferencia entre quitar ceros y añadir ceros
| Situación | Qué se hace | Motivo |
|---|---|---|
| Ceros finales en dividendo y divisor | Se puede simplificar la misma cantidad de ceros. | El cociente no cambia al dividir ambos términos por el mismo número. |
| División entre 10, 100 o 1.000 | Se desplaza la coma hacia la izquierda. | El divisor es una potencia de diez. |
| Multiplicación por 10, 100 o 1.000 | Se desplaza la coma hacia la derecha. | El factor es una potencia de diez. |
| Dividendo parcial menor que el divisor | Se escribe un cero en el cociente. | El divisor cabe cero veces en esa posición. |
Ceros y números decimales
Esta propiedad de la división permite entender por qué es válido mover el punto decimal antes de empezar a dividir, sin que el cociente se altere:
16.82 / 5.8 = 2.9 -> 168.2 / 58 = 2.9
Para eliminar las cifras decimales del divisor, se multiplican el dividendo y el divisor por la misma potencia de diez.
Sólo es necesario que el divisor no tenga cifras decimales. El dividendo puede tenerlas, sin que el proceso de la división se complique.
De hecho, quitarle innecesariamente cifras decimales al dividendo implicaría agregarle ceros al divisor, lo cual haría menos sencilla la división.
Desplazar una posición decimal
Se multiplican ambos números por 10, para dejar el divisor sin cifras decimales, lo que implica que el punto decimal se mueve una posición hacia la derecha.
Ambos números quedan sin cifras decimales.
Desplazar dos posiciones decimales
Se multiplican ambos números por 100 para dejar el divisor sin cifras decimales, lo que implica que el punto decimal se mueve dos posiciones hacia la derecha.
Se completa con ceros en el dividendo.
Evitar transformaciones innecesarias
Se multiplican ambos números por 100 para dejar el dividendo sin cifras decimales, lo que implica que se le agregue un cero al divisor y la operación se convierta en una división entre un número de 3 cifras.
Considero que no es una transformación conveniente. Es suficiente con recorrer una posición el punto, aunque el dividendo quede con una cifra decimal.
Divisiones exactas e inexactas
Las divisiones exactas se terminan cuando se llega a un residuo cero.
Las divisiones inexactas se pueden terminar indicando el residuo, diferente de cero, o hasta una cantidad determinada de cifras decimales, regularmente entre 2 y 4.
Si estas cifras se repiten periódicamente, se tratará de un resultado con decimal periódico. Por ejemplo, cuando el divisor tiene un factor 3 o 7 y el resultado no es exacto, será periódico, aunque no son los únicos casos.
Una rayita sobre uno o más dígitos indica que es un resultado con decimales periódicos y, por tanto, se puede usar un igual para expresar el resultado.
Cuando no se ve claro un patrón en las cifras decimales del cociente, se puede dejar un resultado truncado a un cierto número de cifras decimales.
Una manera más adecuada de entenderlo es que se trata de una aproximación, por lo que debería usarse el símbolo de aproximadamente igual ( ≈ ) en vez del signo igual.
El residuo y la comprobación de la división
Debemos tener cuidado al interpretar el significado del residuo. Si el cociente está escrito en enteros, el residuo también está en enteros. Si el cociente incluye décimos, el residuo también está en décimos, y así sucesivamente.
Otro cuidado al dividir es que, en cada paso, el residuo debe ser menor al divisor. Si no lo es, debemos aumentar uno o más al número del cociente que acabamos de usar y rehacer el proceso.
La comprobación de una división se realiza multiplicando el divisor por el cociente y sumando el residuo cuando existe.
La relación es:
Dividendo = divisor x cociente + residuo
Errores frecuentes
- Eliminar ceros que no están al final del dividendo o del divisor.
- Eliminar más ceros de un número que del otro.
- Olvidar que el cociente se mantiene, pero el residuo cambia al simplificar.
- No escribir un cero en el cociente cuando el divisor no cabe en una posición.
- Confundir el desplazamiento de la coma en una multiplicación con el desplazamiento en una división.
- Truncar un resultado decimal y tratarlo como exacto sin tener en cuenta la aproximación.
- Continuar el proceso cuando el residuo ya es cero.
Ejercicios de práctica
- 525 : 10
- 478 : 100
- 998 : 10
- 635 : 100
- 4987 : 1000
- 302 : 10
- 110 : 100
- 6890 : 1000
- 1140 : 1000
- 779 : 10
- 339 : 100
- 209 : 100
- 8349 : 1000
- 204 : 10
- 501 : 100
- 993 : 100
- 386 : 10
- 190 : 100
- 371 : 100
- 2250 : 1000
Soluciones de los ejercicios
| Operación | Resultado |
|---|---|
| 525 : 10 | 52,5 |
| 478 : 100 | 4,78 |
| 998 : 10 | 99,8 |
| 635 : 100 | 6,35 |
| 4987 : 1000 | 4,987 |
| 302 : 10 | 30,2 |
| 110 : 100 | 1,10 |
| 6890 : 1000 | 6,890 |
| 1140 : 1000 | 1,140 |
| 779 : 10 | 77,9 |
Regla de los signos en multiplicaciones y divisiones
Al multiplicar o dividir números con el mismo signo, el resultado es positivo.
Al multiplicar o dividir números con signos diferentes, el resultado es negativo.
| Signos | Resultado | Ejemplo |
|---|---|---|
| Iguales | Positivo | -2 x -3 = 6 |
| Iguales | Positivo | 8 / 2 = 4 |
| Diferentes | Negativo | -4 x 2 = -8 |
| Diferentes | Negativo | 10 / -2 = -5 |
📌 DIVISIÓN con COCIENTE DECIMAL | Super fácil 😊 | Ejercicio N° 1
La regla de los ceros se basa en las propiedades del sistema decimal y en que una división conserva su cociente cuando el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por el mismo número. Aplicarla correctamente exige revisar la posición de los ceros, distinguir los ceros finales de los ceros internos y comprender por qué a veces aparece un cero dentro del cociente.