El balón de fútbol convencional no es una esfera perfecta, sino un poliedro que, al ser hinchado con aire, adopta una forma bastante esférica. Matemáticamente se denomina icosaedro truncado, un sólido formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares.
Este poliedro tiene 32 caras y 90 aristas, que corresponden a las costuras de su estructura tradicional. Su diseño permite aproximarse a la esfera y, al mismo tiempo, mantener una fabricación menos compleja que la de otros poliedros todavía más esféricos.
Qué es un icosaedro truncado
El icosaedro truncado es el poliedro que se obtiene cuando a un icosaedro le cortamos las 20 esquinas a distancias iguales de cada vértice, a un tercio de la arista. El icosaedro original está formado por 20 triángulos equiláteros, y el truncamiento transforma sus vértices en pentágonos y sus caras en hexágonos.
Está formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares; y tiene 90 aristas. Las 32 caras están constituidas solo por hexágonos y pentágonos, y todos sus vértices presentan la misma distribución de caras.
El icosaedro truncado es uno de los 13 sólidos no prismáticos isogonales convexos de Arquímedes. Los tres poliedros anteriores son de los llamados sólidos arquimedianos o poliedros semirregulares, poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos y donde todos los vértices son uniformes, ya que reciben la misma secuencia de caras.
Por qué el balón no puede estar formado solo por hexágonos
En Inglaterra la indicación que se usa para señalar la proximidad a un campo de fútbol es geométricamente incorrecta, ya que en ella aparece representado un balón de fútbol formado exclusivamente por hexágonos regulares. Para poder entenderlo vayamos por partes.
En el siglo XVIII el matemático, físico y filósofo suizo Leonhard Euler (1707-1783) formuló un teorema que afirma que en todo poliedro el número de sus caras (C), menos el de sus aristas (A), más el número de vértices siempre es igual a dos: C-A+V =2. Si esta ecuación no se cumple es porque esa figura no se puede realizar.
Si, como aparece en la señal inglesa, en el balón únicamente hubiera hexágonos con «C» caras, cada lado sería compartido por dos caras, por lo que el valor de las aristas (A) sería el número de lados dividido entre dos (A=6C/2).
En cuanto a los vértices (V), cada hexágono tiene seis, cada uno de los cuales es compartido por tres caras, por lo que el número de vértices es igual a seis por el número de caras dividido por tres (V=6C/3).
Si sustituimos estos valores en la ecuación inicial, tenemos que: C - (6C/2) + (6C/3). Simplificando C - 3C + 2C = 0. Dado que no se cumple el teorema formulado por Euler (C-A+V=2), no se puede fabricar un balón -un icosaedro truncado- empleando únicamente hexágonos regulares.
La combinación de pentágonos y hexágonos
Euler había señalado siglos atrás que todo poliedro que contenga hexágonos y pentágonos, el número de estos últimos será siempre doce, en independencia del número de hexágonos. En un balón de fútbol, podemos comprobarlo fácilmente, hay doce pentágonos y veinte hexágonos -treinta y dos caras en total-.
Si hay veinte hexágonos y cada uno tiene seis aristas habrá un total de ciento veinte aristas; como hay doce pentágonos el número de aristas se elevará hasta ciento ochenta. Sin embargo, como cada arista es compartida, el número final de aristas y, por tanto, de costuras, es noventa.
| Elemento | Cantidad |
|---|---|
| Hexágonos regulares | 20 |
| Pentágonos regulares | 12 |
| Caras totales | 32 |
| Aristas o costuras | 90 |
La aparición del diseño clásico
En la década de 1960, los balones de fútbol eran fabricados con tiras de cuero cosidas. En principio, se utilizó la construcción geométrica de un icosaedro de 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos, que quedaba mucho más esférico.
Sin embargo, a continuación se observó que el icosaedro truncado, el diseño actual, mejora el empuje y la dirección del balón después de una patada. Hoy en día, la forma del icosaedro truncado es la forma tradicional de un balón de fútbol.
En la Copa Mundial de la FIFA de 1970, celebrada en México, hubo una innovación importante: se introdujo un balón con un diseño diferente, fabricado utilizando pentágonos negros y hexágonos blancos. A esta invención se la bautizó con el nombre de Adidas Telstar, en honor al primer satélite comercial de comunicaciones de la historia, que tenía un diseño geométrico.
En 1970, el icosaedro truncado apareció por primera vez en la Copa del Mundo en México. Fue el primer modelo Telstar de Adidas, desarrollado especialmente para una copa del mundo, con los hexágonos blancos y los pentágonos negros.
Este diseño del balón de fútbol fue la imagen principal de la Copa Mundial de Fútbol de 1970, la primera copa mundial que se transmitió en vivo por televisión para todo el mundo. Por ello quedó grabada en la memoria de todos los espectadores.
Cuánto se parece a una esfera
Un balón de fútbol será mejor cuanto más próximo esté a ser una esfera perfecta. En ese caso, tendrá más equilibrio en su trayectoria y permitirá a los futbolistas mayor precisión en los pases y tiros.
El icosaedro truncado ocupa un volumen del 86,74% de la esfera circunscrita; porcentaje que aumenta hasta el 95% al ser inflado. Este poliedro rellena el 86,74% de una esfera, cifra que se eleva hasta el 95% si se hincha con aire.
Otros poliedros para fabricar balones
Los matemáticos han aportado su granito de arena al mundo del fútbol buscando otros poliedros que confieran una mayor esfericidad. Si en la fabricación del balón se usarán únicamente triángulos la esfericidad descendería hasta el 60,55%.
Si fuese un dodecaedro, formado exclusivamente por pentágonos, la esfericidad sería del 66,49%. El dodecaedro no ofrece, por tanto, una aproximación tan eficaz a la esfera como el icosaedro truncado en las condiciones descritas.
Si en lugar de usar el icosaedro truncado empleáramos un rombicosidodecaedro, formado por doce pentágonos, treinta cuadrados y veinte triángulos, al inflarlo obtendríamos un 94,32%, antes de ser inflado, una cifra superior a la que conseguimos en la actualidad.
Se trata del Rombicosidodecaedro, cuyas caras son 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares; tiene 120 aristas y antes de ser inflado ya ocupa más el 94,5% de la esfera.
| Poliedro o estructura | Composición | Aristas | Esfericidad indicada |
|---|---|---|---|
| Icosaedro truncado | 20 hexágonos y 12 pentágonos | 90 | 86,74%; 95% al ser inflado |
| Dodecaedro | Pentágonos | 66,49% | |
| Poliedro formado únicamente por triángulos | Triángulos | 60,55% | |
| Rombicosidodecaedro | 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos | 120 | 94,32%; 94,5% antes de ser inflado |
Por qué no se utiliza el rombicosidodecaedro
El problema radica en que este poliedro tiene ciento veinte aristas, es decir, treinta costuras más que el balón actual, por lo que sería bastante más caro de fabricar.
Pero la industria no ha adoptado esta solución porque aumenta bastante la complejidad de la fabricación: 120 costuras que coser, frente a las 90 del icosaedro truncado.
La comparación muestra que una mayor esfericidad no es el único criterio para elegir la estructura de un balón. También influyen el número de piezas, la cantidad de uniones y la complejidad del proceso de fabricación.
Otros balones y otras estructuras geométricas
En la Champions League 2017-18 se ha utilizado el balón Capitano, fabricado por Adidas, que es un icosidodecaedro, así llamado porque se obtiene al truncar el icosaedro o su dual, el dodecaedro.
Tiene 32 caras, de las cuales 12 son pentágonos regulares y 20 son triángulos equiláteros, con 60 aristas. Sobre los pentágonos se han dibujado estrellas pitagóricas.
En la Liga 2015-16 se utilizó el balón Ordem 3 de Nike. Se trata de un poliedro no arquimediano. Sus 72 caras son pentágonos regulares y trapecios.
En él hay dos tipos de vértices, aquellos donde concurren 6 trapecios y aquellos donde concurren un pentágono regular y 2 trapecios.
En los Mundiales 2010 y 2014 se utilizaron los balones Jabulani y Brazuca, ambos de Adidas, que no correspondían a poliedros, al estar formados por piezas curvadas previamente.
Cómo ha cambiado la fabricación
Desde el año 2006 y gracias a las nuevas tecnologías, los balones de fútbol ya no se cosen, sino que se ensamblan a partir de un plástico especial, que se une mediante un adhesivo térmico.
Los balones de fútbol ahora así fabricados tienen menos bordes y áreas más grandes, totalmente lisas, que facilitan el juego. Este balón, también de Adidas, fue el primer balón que ya no utilizó el sistema de armado del icosaedro.
En consecuencia, la forma geométrica del icosaedro truncado explica la estructura tradicional del balón, pero no todos los balones modernos reproducen exactamente ese poliedro. Algunos modelos emplean paneles curvados o uniones térmicas para modificar la superficie y reducir el número de bordes.
Cómo se controla la esfericidad
Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en dieciséis puntos diferentes para calcular el diámetro medio. A continuación se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo.
Este número es la diferencia en porcentaje entre ambos diámetros sobre el diámetro medio y, para las competiciones de la FIFA, se exige que no supere el dos por ciento.
La FIFA está midiendo la dispersión estadística de 16 medidas y calcula su Media Aritmética. Al restar de la mayor medida la menor, calcula lo que en Estadística llamamos el Rango de esa distribución de datos.
Luego valora ese rango como porcentaje sobre la media. Es una forma propia de medir la dispersión, no coincidente con los métodos habituales, desviación media y desviación típica, pero perfectamente válida.
| Fase de control | Procedimiento |
|---|---|
| Medición | Se mide el diámetro en 16 puntos diferentes. |
| Promedio | Se calcula el diámetro medio. |
| Comparación | Se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. |
| Criterio FIFA | La diferencia no debe superar el 2%. |
Origen y evolución del balón
A lo largo de la historia, los seres humanos han disfrutado jugando a los juegos de pelota. Algunos indios sudamericanos, por ejemplo, utilizaban algo similar a una pelota confeccionada de juncos hábilmente entretejidos.
Según algunos testimonios, las primeras “pelotas” fueron cabezas humanas. Una costumbre medieval europea era tomar vejigas de cerdo, inflarlas, y tratar de mantenerlas en el aire utilizando solo los pies.
Un poco más adelante en el tiempo, esas vejigas fueron recubiertas con cuero y cosidas de forma tal que mantuvieran la forma esférica. En el año 1838, Charles Goodyear patenta el caucho vulcanizado, aunque no sería sino hasta el siglo XX que se empezarían a usar vejigas de goma en los balones de fútbol.
Relación entre geometría y juego
La fabricación de un balón de fútbol se basa en la geometría. La elección del icosaedro truncado permitió combinar una aproximación notable a la esfera con una cantidad de costuras que resultaba viable para la fabricación tradicional.
La geometría también ayuda a explicar por qué el balón tiene pentágonos y hexágonos, por qué siempre aparecen doce pentágonos en esta estructura y por qué las costuras, los paneles y la redondez influyen en su comportamiento durante los pases, los tiros y la trayectoria.