Para resolver una división de dos cifras, hay que averiguar cuántas veces cabe el divisor en cada parte del dividendo, multiplicar, restar y bajar la siguiente cifra. También puede hacerse mediante restas sucesivas de múltiplos del divisor, un procedimiento equivalente que algunas personas realizan mentalmente y otras escriben paso a paso.
Por ejemplo, en 630 ÷ 24, el 24 cabe dos veces en 63: 2 × 24 = 48. Al restar 63 − 48 = 15 y bajar el 0, queda 150. El 24 cabe seis veces en 150: 6 × 24 = 144, y sobra 6. Por tanto, 630 ÷ 24 = 26, resto 6, o, expresado exactamente, 26 1/4.
Por qué una división puede parecer una resta
La diferencia entre hacer la división de la forma habitual y hacerla restando es que una persona puede escribir la resta en el papel y otra puede hacerla de cabeza. La primera coge las dos primeras cifras del dividendo, piensa cuántas veces cabe el divisor en el dividendo y multiplica esas veces por el divisor.
En el ejemplo de 630 ÷ 24, el resultado de multiplicar 2 × 24 es 48 y se lo resta a 63. La segunda hace esa resta mentalmente y coloca el 15, resultado de restar 63 − 48, bajo el dividendo para luego añadir el 0.
Elementos de una división
En una división aparecen cuatro elementos principales: el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es el número que se reparte, el divisor indica entre cuánto se divide, el cociente muestra cuántas veces cabe el divisor y el resto es la cantidad que queda después de realizar la división.
En lugar de enredar las cosas con lenguaje complicado, trate de hacer preguntas como: “¿Cuántos ____ hay en ____?”. Para el problema, 81 ÷ 9, la pregunta sería, “¿Cuántos 9 hay en 81?”.
| Elemento | Función |
|---|---|
| Dividendo | Número que se divide |
| Divisor | Número entre el que se divide |
| Cociente | Resultado de la división |
| Resto | Cantidad que queda sin repartir |
Cómo hacer una división de dos cifras paso a paso
1. Comprobar las multiplicaciones básicas
Si los alumnos tienen un buen dominio de las bases de la multiplicación, entonces aprenderán la división en un dos por tres. Para aprender y practicar la división, es importante que conozcan las bases de la multiplicación hasta 81, y que sepan multiplicar por 0 y por 10.
La división larga es más difícil cuando los alumnos no dominan bien la multiplicación, así que primero asegúrese bien de que lo hagan. La división larga no es tan complicada si se practica y se comprende bien su algoritmo.
2. Tomar las primeras cifras necesarias
Se empieza por la parte izquierda del dividendo y se toma la cantidad mínima de cifras que forme un número igual o mayor que el divisor. En 630 ÷ 24 se toman las cifras 6 y 3 para formar 63, porque 6 es menor que 24 y 63 sí permite comenzar la división.
3. Averiguar cuántas veces cabe el divisor
Hay que buscar el mayor número que, multiplicado por el divisor, no supere la parte del dividendo que se está utilizando. En 63, el 24 cabe dos veces, porque 2 × 24 = 48, mientras que 3 × 24 = 72 supera a 63.
4. Multiplicar y restar
Se multiplica el número obtenido por el divisor y se resta el resultado de la parte del dividendo utilizada. En este caso, se calcula 2 × 24 = 48 y después 63 − 48 = 15.
5. Bajar la cifra siguiente
Después de la resta se baja la siguiente cifra del dividendo. Al bajar el 0 junto al 15, se obtiene 150.
6. Repetir el procedimiento
Se vuelve a buscar cuántas veces cabe 24 en 150. Como 6 × 24 = 144 y 7 × 24 = 168 supera a 150, se coloca 6 en el cociente. Después se resta 150 − 144 = 6.
7. Interpretar el resto
Como ya no quedan cifras por bajar, el resultado es 26 con un resto de 6. Un resto es realmente el numerador de un cociente fraccionario. Por ejemplo, 19 ÷ 3 es 6 con un resto de 1, o más precisamente 6 1/3.
Al usar cocientes fraccionarios, los estudiantes siempre serán capaces de encontrar la respuesta exacta a todas las preguntas de división larga, y en muchos casos la respuesta será incluso más precisa, por ejemplo, compare 6 1/3 con 6.3333.
El método de división mediante restas
Existe un método más sencillo para dividir números grandes que utiliza potencias de diez. Para emplear este método exitosamente, los estudiantes deben ser capaces de multiplicar por potencias de diez y de restar.
Los estudiantes sustraen el divisor multiplicado por potencias decrecientes de diez hasta que tengan cero o un resto. Este procedimiento permite entender la división como una sucesión de restas de múltiplos del divisor.
Ejemplo: 1458 ÷ 54
Note que 54 × 1 = 54, 54 × 10 = 540, y no hace falta nada más grande. 1458 − 540 − 540 = 378.
Note que 540 fue sustraído dos veces, así que el número de veces que 54 “cabe” en 1458 hasta ahora es 20. Continuando, 378 − 54 − 54 − 54 − 54 − 54 − 54 − 54 = 0.
Como 54 fue sustraído siete veces, el cociente aumenta en siete para un total de 27. En otras palabras, 54 “cabe” 27 veces en 1458.
Este método puede ser todavía más sofisticado si se usan múltiplos de potencias de diez. En el ejemplo anterior, si se usara 54 × 5 = 270 se hubiese obtenido el resultado más rápidamente.
- Se identifica un múltiplo grande del divisor que no supere al dividendo.
- Se resta ese múltiplo.
- Se cuenta cuántas veces se ha utilizado el divisor.
- Se continúa hasta obtener cero o un resto.
- Se suman las cantidades de veces que el divisor ha cabido.
Divisiones exactas y divisiones con resto
Una división es exacta cuando el resto es cero. En una división con resto, el divisor no cabe un número entero de veces en el dividendo y queda una cantidad menor que el divisor.
| Tipo de división | Resultado |
|---|---|
| División exacta | El resto es 0 |
| División con resto | El resto es mayor que 0 y menor que el divisor |
| División fraccionaria | El resto se expresa como numerador de una fracción |
| División decimal | El resultado se continúa después de la coma |
Las divisiones largas pueden incluir preguntas sin resto, con resto y cocientes decimales. La división larga funciona igual de bien para decimales y números enteros.
Cómo convertir un resto en fracción o decimal
Si una división termina con resto, el resto puede escribirse como una fracción cuyo numerador es el propio resto y cuyo denominador es el divisor. En 630 ÷ 24, el resultado es 26 con resto 6, que se puede escribir como 26 6/24.
La fracción 6/24 puede simplificarse a 1/4, por lo que 630 ÷ 24 también puede expresarse como 26 1/4. En forma decimal, el resultado es 26,25.
La expresión fraccionaria permite conservar el resultado exacto, mientras que un decimal con cifras truncadas puede ser menos preciso. Por ejemplo, 6 1/3 es una forma exacta, mientras que 6.3333. es una aproximación.
Divisibilidad y cálculo mental
Las reglas de divisibilidad ayudan a determinar rápidamente si una división puede ser exacta. También permiten comprobar algunos cálculos antes de realizar la división larga.
Divisibilidad por 2, 5 y 10
Un número es divisible por 2 si su dígito final, en el lugar de las unidades, es par. Por lo tanto, los números terminados en 0, 2, 4, 6 y 8 son divisibles por 2.
Un número es divisible por 5 si su dígito final es 0 o 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Divisibilidad por 3, 6 y 9
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 285 es divisible por 3 porque 2 + 8 + 5 = 15 es divisible por 3.
Un número es divisible por 6 si es divisible a la vez por 2 y por 3. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
Por ejemplo, 285 no es divisible por 9, ya que 2 + 8 + 5 = 15 no es divisible por 9.
Divisibilidad por 4, 7 y 8
Un número es divisible por 4 si sus últimos dos dígitos son divisibles por 4. Un número es divisible por 8 si sus últimos tres dígitos son divisibles por 8.
Como se sabe, 8 es igual a 2 a la tercera potencia, así que si se pudiesen dividir los últimos tres dígitos de un número por 2 tres veces seguidas, sería divisible por 8. 680 ÷ 2 = 340 ÷ 2 = 170 ÷ 2 = 85. 680 es de hecho divisible por 8.
La división como reparto y como agrupación
La división puede entenderse como un reparto en partes iguales o como la búsqueda de cuántos grupos iguales caben en una cantidad. Para 81 ÷ 9, se puede preguntar cuántos grupos de 9 hay en 81.
Este tipo de preguntas beneficia al estudiante más tarde cuando debe conceptualizar la división decimal o de fracciones. “¿Cuántos tercios hay en cuatro enteros?” suena mejor que “¿Por cuánto se debe multiplicar un tercio para lograr cuatro?”.
El uso de bloques base diez también ayuda a fijar el concepto de la división. Con estos bloques, los estudiantes deben reagrupar todas las varas en cubitos para poder hacer pilas de a nueve.
Errores habituales al dividir por dos cifras
- Elegir un número demasiado grande para el cociente parcial y obtener una multiplicación mayor que el dividendo parcial.
- Olvidar bajar la siguiente cifra del dividendo después de hacer una resta.
- Confundir el resultado de la multiplicación con el número que debe colocarse en el cociente.
- Continuar escribiendo cifras en el cociente sin comprobar si el divisor cabe en el número que queda.
- Interpretar el resto como si fuera una parte adicional del cociente sin colocarlo sobre el divisor.
- No comprobar el resultado mediante una multiplicación.
Una forma de comprobar una división con resto consiste en multiplicar el cociente por el divisor y sumar el resto. En 630 ÷ 24, se comprueba con 26 × 24 + 6 = 630.
Práctica progresiva de las divisiones
Las divisiones básicas son multiplicaciones expresadas de otra manera. La diferencia principal es que no se puede dividir por 0 y obtener un número real.
La división por 0 no está definida. Por eso, antes de pasar a divisiones largas, conviene practicar divisiones básicas y relaciones de multiplicación.
Las actividades pueden organizarse desde dividendos pequeños hasta dividendos mayores, y desde divisores de una cifra hasta divisores de dos o más cifras. También pueden incluir divisiones sin resto, divisiones con resto y cocientes decimales.
| Etapa | Tipo de ejercicio |
|---|---|
| Inicial | Divisiones básicas y tablas de división |
| Intermedia | Divisor de una cifra y dividendos de varias cifras |
| Avanzada | Divisor de dos cifras y cocientes de varias cifras |
| Precisión | Divisiones con resto y cocientes decimales |
| Razonamiento | Reglas de divisibilidad y problemas de reparto |
Cómo practicar una división de dos cifras
Para practicar, primero hay que comprobar que el divisor no sea cero y que se conocen las multiplicaciones necesarias. Después se puede resolver la división escribiendo cada multiplicación y cada resta.
- Escribe el dividendo y el divisor en el formato de división larga.
- Selecciona las primeras cifras del dividendo que formen un número igual o mayor que el divisor.
- Estima cuántas veces cabe el divisor.
- Multiplica el divisor por esa cifra.
- Resta el resultado.
- Baja la siguiente cifra.
- Repite el procedimiento.
- Escribe el resto o continúa con decimales.
- Comprueba la respuesta mediante la multiplicación.
La división larga es un algoritmo eficiente que permite resolver algunos de los problemas más complicados de división. Con práctica, el método tradicional y el método por restas dejan de parecer procedimientos distintos y se entienden como dos formas de expresar la misma idea: averiguar cuántas veces cabe un número dentro de otro.
División directa por dos cifras
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