En los ejercicios combinados se resuelven primero las operaciones que están dentro de los paréntesis. Después se calculan las potencias y las raíces, a continuación las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y, finalmente, las sumas y restas, también de izquierda a derecha.
Una operación combinada es una expresión matemática en la que se combinan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces, agrupadas mediante paréntesis y corchetes o escritas sin ellos. Es importante realizar las operaciones en el orden adecuado para llegar al resultado correcto.
Orden de las operaciones combinadas
Para resolver las operaciones combinadas hay que seguir un orden de prioridad. Se resuelven las operaciones de más importantes a menos importantes.
- Paréntesis: se empiezan resolviendo los paréntesis más interiores y después los exteriores.
- Potencias y raíces cuadradas: se calculan después de resolver los paréntesis que las contienen.
- Multiplicaciones y divisiones: se realizan de izquierda a derecha.
- Sumas y restas: se efectúan al final, también de izquierda a derecha.
Las operaciones que están dentro de los paréntesis se resuelven antes que las operaciones que están fuera. Si hay paréntesis dentro de otro paréntesis, debemos resolver en primer lugar los paréntesis internos y después los externos.
Cuando dentro de un paréntesis aparecen varias operaciones, también se respeta la jerarquía: primero se realizan las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y restas.
¿Qué operación se resuelve primero?
La respuesta depende de las operaciones que aparezcan en el ejercicio. Si hay paréntesis, se empieza por ellos. Si no hay paréntesis, se calculan primero las potencias y raíces, después las multiplicaciones y divisiones y finalmente las sumas y restas.
| Prioridad | Operaciones | Regla |
|---|---|---|
| 1 | Paréntesis | De los más interiores a los más exteriores |
| 2 | Potencias y raíces | Antes de multiplicar y dividir |
| 3 | Multiplicaciones y divisiones | De izquierda a derecha |
| 4 | Sumas y restas | De izquierda a derecha |
Las potencias y raíces tienen mayor jerarquía que las multiplicaciones y divisiones. Los paréntesis realmente no son operaciones, sino símbolos que ayudan a agrupar operaciones.
Multiplicaciones y divisiones
Las multiplicaciones y divisiones tienen el mismo nivel de prioridad. Por eso, cuando aparecen varias seguidas, no se resuelve siempre primero la multiplicación ni siempre primero la división: se calculan de izquierda a derecha.
Por ejemplo, en una expresión que contiene únicamente multiplicaciones y divisiones, se empieza por la operación situada más a la izquierda y se continúa en ese mismo sentido.
Sumas y restas
Las sumas y restas también tienen el mismo nivel de prioridad. Cuando aparecen varias en una misma expresión, se resuelven de izquierda a derecha.
Por ejemplo, en el ejercicio 4−3+7−5 se procede de la siguiente manera:
4−3=1
1+7=8
8−5=3
Por tanto, el resultado es 3.
No se debe interpretar que la suma se realiza siempre antes que la resta ni que la resta se realiza siempre antes que la suma. Ambas operaciones tienen la misma prioridad y se calculan de izquierda a derecha.
La regla PEMDAS
La regla PEMDAS es una regla mnemotécnica que ayuda a recordar el orden de las operaciones combinadas.
- P: Parentheses, es decir, paréntesis.
- E: Exponents, es decir, exponentes.
- M: Multiply, es decir, multiplicar.
- D: Divide, es decir, dividir.
- A: Add, es decir, sumar.
- S: Subtract, es decir, restar.
Si se complican las operaciones combinadas y no sabes lo que tienes que hacer cuando tienes una larga expresión delante, acordarte de PEMDAS te bastará para saber lo que tienes que hacer.
Existe otra regla llamada BODMAS, la cual se utiliza en muchos países anglosajones. Los resultados son los mismos utilizando las dos reglas; lo único que ocurre es que las siglas pueden dar lugar a equivocaciones.
BODMAS proviene de “Brackets”, “Orders”, “Divide”, “Multiply”, “Add” y “Substraction”. La diferencia está en llamar a los paréntesis corchetes y en cambiar el orden de multiplicación y división, lo cual no afecta al resultado, porque ambas operaciones se realizan de izquierda a derecha.
Ejemplos de operaciones combinadas sin paréntesis
Ejemplo 1: suma y multiplicación
En el ejercicio 4+5×7, en primer lugar resolvemos la multiplicación:
5×7=35
Después le sumamos 4:
4+35=39
Por tanto, el resultado es 39.
Ejemplo 2: varias operaciones básicas
En la expresión 2+3×4, primero hacemos la multiplicación y después la suma:
3×4=12
2+12=14
Por tanto:
2+3×4=14
Ejemplo 3: dos multiplicaciones
En la expresión 6×7+3×4, primero se calculan las dos multiplicaciones y después la suma:
6×7=42
3×4=12
42+12=54
Por tanto:
6×7+3×4=54
Ejemplo 4: multiplicación y división
En la expresión 2−3+5×6:2, primero se realiza la multiplicación y la división de izquierda a derecha:
5×6=30
30:2=15
Después se calculan las sumas y restas:
2−3+15=14
Por tanto:
2−3+5×6:2=14
Ejemplo 5: operaciones de suma y resta
En el ejercicio 9−3+4−2 solo aparecen sumas y restas, por lo que se resuelve de izquierda a derecha:
9−3=6
6+4=10
10−2=8
Por tanto, el resultado es 8.
Ejemplos de operaciones combinadas con paréntesis
Ejemplo 1: paréntesis y multiplicación
En el ejercicio 4×5+(7−3), primero realizamos la operación dentro del paréntesis:
(7−3)=4
Después resolvemos la operación que hay fuera de los paréntesis:
4×5=20
Finalmente, sumamos ambas cifras:
20+4=24
Por tanto:
4×5+(7−3)=24
Ejemplo 2: paréntesis con una sola operación
En la expresión 3+5×(2+3), primero resolvemos la operación del paréntesis:
2+3=5
La expresión queda:
3+5×5
Después realizamos la multiplicación:
5×5=25
Finalmente hacemos la suma:
3+25=28
Por tanto:
3+5×(2+3)=28
Ejemplo 3: paréntesis con multiplicación y división
Cuando dentro de los paréntesis hay varias operaciones, primero se calculan las multiplicaciones y divisiones dentro de ellos. Una vez que solo queda una operación dentro del paréntesis, se resuelve y después se continúa con las operaciones exteriores.
Ejemplo 4: dos grupos entre paréntesis
En el problema de las flores, la expresión es:
(5×13−30)+(9×2−10)
Primero resolveremos todo lo que se encuentra en los paréntesis, empezando por la multiplicación y división de izquierda a derecha:
(65−30)+(18−10)
Después realizamos las operaciones de suma y resta que se encuentran en los paréntesis:
35+8
Al final realizamos la operación que queda fuera de los paréntesis:
35+8=43
Por tanto, quedan 43 flores.
Ejemplos de operaciones combinadas con potencias
Ejemplo 1: potencia y multiplicaciones
En la expresión 4+3×32×(7−5), primero resolvemos la operación dentro de los paréntesis:
7−5=2
La expresión queda:
4+3×32×2
Después simplificamos la potencia:
32=9
La expresión queda:
4+3×9×2
A continuación, efectuamos las multiplicaciones de izquierda a derecha:
3×9=27
4+27×2
Seguimos con la segunda multiplicación:
27×2=54
Finalmente, realizamos la suma:
4+54=58
Por tanto:
4+3×32×(7−5)=58
Ejemplo 2: potencia con paréntesis
Para resolver la expresión ((3+8)×4+2)2, primero debemos resolver los paréntesis, empezando con el paréntesis más interior:
3+8=11
La expresión queda:
(11×4+2)2
Seguimos resolviendo lo que queda en el interior del segundo paréntesis, dando prioridad a la multiplicación por encima de la suma:
11×4=44
(44+2)2
Después realizamos la suma:
44+2=46
Finalmente resolvemos la potencia:
462=2116
Por tanto, el resultado es 2116.
Paréntesis interiores y exteriores
Es posible encontrar ejercicios en los que haya paréntesis dentro de otro paréntesis. En este caso, debemos resolver en primer lugar los paréntesis internos y después los externos.
En expresiones con paréntesis, corchetes o llaves, se empieza por la agrupación más interna. Una vez resuelta, se sustituye por su resultado y se continúa hasta que no queden símbolos de agrupación.
Las operaciones contenidas en los paréntesis interiores se resuelven siguiendo la misma jerarquía: primero potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas.
Se pueden poner paréntesis en lugar de corchetes cuando se necesite simplificar la escritura, siempre que se mantenga claramente la agrupación de las operaciones.
Operaciones combinadas con fracciones
En las expresiones con fracciones también se debe respetar la jerarquía de operaciones. Primero se realizan las operaciones que están dentro de los paréntesis, después las potencias y raíces, luego las multiplicaciones y divisiones y finalmente las sumas y restas.
Cuando hay operaciones en el numerador o en el denominador, se resuelven esas operaciones antes de efectuar la división entre las fracciones.
La fracción se puede poner como una división de dos fracciones. Después se simplifica, se realiza la división y se vuelve a simplificar.
En primer lugar se efectúa la suma del interior del paréntesis, posteriormente se dividen las fracciones y por último se simplifica.
Cuando se divide entre una fracción, se multiplica por su inverso. En una fracción elevada a un número negativo, se cambia el numerador por el denominador y posteriormente se eleva al exponente.
Pasos habituales con fracciones
- Resolver las operaciones de los paréntesis.
- Realizar las operaciones del numerador y del denominador.
- Reducir las fracciones a común denominador cuando sea necesario.
- Convertir los números mixtos en fracciones impropias.
- Realizar las multiplicaciones o divisiones de fracciones.
- Simplificar el resultado.
Para convertir un número mixto en fracción se deja el mismo denominador y el numerador es la suma de la multiplicación del entero por el denominador más el numerador del número mixto.
Errores frecuentes
Uno de los errores más habituales consiste en resolver las operaciones simplemente en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha, sin tener en cuenta la jerarquía. Este procedimiento no es correcto cuando se mezclan operaciones de distinto nivel.
Por ejemplo, en 4+5×7 no se debe sumar primero 4+5. Primero se calcula 5×7 y después se suma 4.
Otro error frecuente es pensar que la suma siempre se realiza antes que la resta o que la multiplicación siempre se realiza antes que la división. Las operaciones del mismo nivel se resuelven de izquierda a derecha.
También es incorrecto resolver primero una operación exterior cuando todavía quedan operaciones pendientes dentro de un paréntesis interior.
Ejercicios resueltos de jerarquía de operaciones
Ejercicio 1
La expresión es:
5−2×½+1
En el primer paso del ejercicio se debe calcular la multiplicación:
2×½=1
Desde aquí se puede continuar con el resto de operaciones de suma y resta:
5−1+1=5
Por tanto, la respuesta es 5.
Ejercicio 2
La expresión es:
12:(4−9:3)
En principio empezamos con los paréntesis y después con la operación de división:
9:3=3
4−3=1
Al final realizamos la división que está fuera del paréntesis:
12:1=12
Por tanto, la respuesta es 12.
Ejercicio 3
En la expresión (x+4)(3+x), si x=4, empezamos sustituyendo el valor de x:
(4+4)(3+4)
En principio realizamos el cálculo en los paréntesis:
(8)(7)
Luego resolvemos la multiplicación:
7×8=56
Por tanto, la respuesta es 56.
Ejercicio 4
Para calcular el número faltante en la expresión ?:(−6)+[−2(94−73)]=−153, se sigue el orden de operaciones:
X:−6+(−2(94−73))=−153
X:−6+(−2(21))=−153
X:−6−42=−153
X:−6=−153+42
X=−111×6
X=666
Por tanto, la respuesta es X=666.
Ejercicios para practicar
Operaciones básicas
- 2+3×4=
- 3−5×2+3=
- 6×7+3×4=
- 2−3+5×6:2=
- 3+4−12:3:2×6=
Operaciones con paréntesis
- 3+5×(2+3)=
- (3−5)×(2+3)=
- 3+4−12:3:(2×2)=
- (2−3)+5×(6:2)=
Operaciones con potencias
- 2+2×42=
- 2+(2×4)2=
- 32−12:3:(2×2)=
- (2−3)+5×(6:2)2+(22−3)=
Soluciones de los ejercicios
Operaciones básicas
- 2+3×4=14
- 3−5×2+3=−4
- 6×7+3×4=54
- 2−3+5×6:2=14
- 3+4−12:3:2×6=−5
Operaciones con paréntesis
- 3+5×(2+3)=28
- (3−5)×(2+3)=−10
- 3+4−12:3:(2×2)=6
- (2−3)+5×(6:2)=14
Operaciones con potencias
- 2+2×42=34
- 2+(2×4)2=66
- 32−12:3:(2×2)=8
- (2−3)+5×(6:2)2+(22−3)=45
Procedimiento para resolver cualquier ejercicio combinado
- Observa si hay paréntesis, corchetes o llaves.
- Resuelve primero la agrupación más interior.
- Dentro de cada agrupación, calcula las potencias y raíces.
- Realiza las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
- Realiza las sumas y restas de izquierda a derecha.
- Sustituye cada resultado y repite el proceso hasta obtener una única cantidad.
- Comprueba que no hayas cambiado el orden de las operaciones.
Este orden debe seguirse siempre si se quiere resolver operaciones combinadas de manera correcta. Practicar con expresiones cada vez más complejas permite identificar rápidamente qué operación se resuelve primero y evitar errores de cálculo.
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