Para calcular la raíz de una fracción, se calcula por separado la raíz del numerador y la raíz del denominador: \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), siempre que todas las raíces existan. En particular, \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
Esta propiedad permite dividir dos raíces del mismo índice y también calcular directamente la raíz de una fracción. Por ejemplo, \(\sqrt{\dfrac{4}{49}}=\dfrac{\sqrt4}{\sqrt{49}}=\dfrac{2}{7}\).
Qué es la radicación
La radicación es una operación que consiste en encontrar una cantidad, llamada raíz, que elevada a un exponente específico, produce un número dado. La radicación es la inversa de la potenciación, pues mientras que elevar un número a un exponente implica multiplicar ese número por sí mismo varias veces, la radicación implica encontrar cuál es el número que, elevado a un exponente específico, produce un valor dado.
La raíz cuadrada de un número \(a\) es otro número \(b\) que elevado al cuadrado es igual a \(a\). En símbolos: \(\sqrt{a}=b\) si y solo si \(b^2=a\).
La raíz cúbica de un número \(a\) es otro número \(b\) que elevado al cubo es igual a \(a\). En símbolos: \(\sqrt[3]{a}=b\) si y solo si \(b^3=a\).
El símbolo \(\sqrt{\ }\) se llama radical, el número \(a\), que está dentro del radical, se llama radicando, el número pequeño encima del símbolo radical se llama índice de la raíz y \(b\) se llama raíz de \(a\).
En el caso de raíces cuadradas, el índice no suele escribirse, o sea, \(\sqrt{\ }\) es una raíz cuadrada; los demás índices siempre se escriben. De forma similar a la anterior se pueden definir raíces de índices 4, 5, 6, 7, etc.
La lógica es siempre la misma: el resultado es un número que elevado al índice de la raíz produce lo que está dentro de ella, en el radicando.
Qué significa radicar una fracción
La raíz cuadrada de una fracción \(\dfrac{a}{b}\) es otra fracción \(\dfrac{c}{d}\) que elevada al cuadrado es igual a \(\dfrac{a}{b}\). En símbolos: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{c}{d}\) si y solo si \(\left(\dfrac{c}{d}\right)^2=\dfrac{a}{b}\).
La raíz cúbica de una fracción \(\dfrac{a}{b}\) es otra fracción \(\dfrac{c}{d}\) que elevada al cubo es igual a \(\dfrac{a}{b}\). En símbolos: \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{c}{d}\) si y solo si \(\left(\dfrac{c}{d}\right)^3=\dfrac{a}{b}\).
Por ejemplo, \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\) porque \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\). Asimismo, \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}=\dfrac{3}{2}\) porque \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{27}{8}\).
Propiedad de división de radicales
Cada una de las ecuaciones \(x^2=a\) y \(x^2=b\) tiene una solución positiva única, \(x=\sqrt a\) y \(x=\sqrt b\), respectivamente, siempre que \(a\) y \(b\) sean números reales positivos.
Debido a que son soluciones, pueden ser sustituidas en las ecuaciones \(x^2=a\) y \(x^2=b\) para producir los resultados \((\sqrt a)^2=a\) y \((\sqrt b)^2=b\), respectivamente. Estos resultados dependen del hecho de que \(a\) y \(b\) son números reales positivos.
Del mismo modo, la ecuación \(x^2=\dfrac{a}{b}\) tiene la solución positiva única \(x=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\), siempre que \(a\) y \(b\) sean números reales positivos.
Sin embargo, \(\left(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2=\dfrac{(\sqrt a)^2}{(\sqrt b)^2}=\dfrac{a}{b}\), haciendo que \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) sea una segunda solución positiva de \(x^2=\dfrac{a}{b}\).
Debido a que \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) es la única solución positiva de \(x^2=\dfrac{a}{b}\), esto obliga a que \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).
Por tanto, si \(a\) y \(b\) son números reales positivos:
\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\]
La misma regla se expresa para cualquier índice \(n\), siempre que todas las raíces existan:
\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]
Dos usos de la propiedad
Este resultado se puede utilizar de dos maneras claramente diferentes. Puedes usar el resultado para dividir dos raíces cuadradas, como en \(\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt7}=\sqrt{\dfrac{13}{7}}\).
También puedes usar el resultado para tomar la raíz cuadrada de una fracción. Simplemente toma la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador, como en \(\sqrt{\dfrac{13}{7}}=\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt7}\).
En general, para calcular la raíz de una fracción, se calcula la raíz del numerador y la del denominador.
| Expresión | Aplicación de la propiedad |
|---|---|
| \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) | \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\) |
| \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}\) | \(\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\) |
| \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) | \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) |
Condiciones para que la radicación exista
Algo importante a destacar es que las raíces cuadradas de números negativos no son números reales, habitualmente se dice que “no existen”; lo mismo ocurre con cualquier raíz de índice par.
En cambio, con las raíces cúbicas o de índice impar este problema no ocurre. Las fracciones siguen las mismas reglas que los demás números.
Por tanto, la raíz de índice par de una fracción negativa no existe en los números reales, mientras que la raíz de índice impar de una fracción negativa sí existe en los números reales.
La raíz de un número fraccionario negativo es posible con números fraccionarios si y solo si el índice es un número positivo impar.
En el caso de que busquemos la raíz de una fracción positiva, el índice puede ser par o impar. Si el índice es negativo, lo que se hace es invertir la fracción y cambiar a positivo el índice de la radicación.
| Tipo de fracción | Índice par | Índice impar |
|---|---|---|
| Fracción positiva | La raíz puede existir | La raíz puede existir |
| Fracción negativa | No existe en los números reales | Existe en los números reales |
Cómo calcular una raíz fraccionaria
Cuando deseamos obtener la raíz de una fracción, se saca o se obtiene la raíz por separado del numerador o denominador.
- Identifica el índice de la raíz.
- Comprueba que el numerador y el denominador cumplen las condiciones de existencia de la raíz.
- Calcula la raíz del numerador.
- Calcula la raíz del denominador.
- Divide los resultados.
- Simplifica la fracción obtenida tanto como sea posible.
- Comprueba el resultado elevándolo al índice de la raíz.
Para comprobar que el resultado obtenido es el correcto, podemos hacer una verificación usando la definición. Si hemos calculado una raíz cuadrada, elevar el resultado al cuadrado tiene que dar igual al radicando; en el caso de raíces cúbicas, elevar el resultado al cubo debe arrojar el radicando; y así con los demás índices.
Ejemplos de raíces cuadradas de fracciones
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{4}{49}}\)
Aplicamos la regla de cálculo: la raíz cuadrada de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador dividida por la raíz cuadrada del denominador.
\[\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{\sqrt4}{\sqrt{49}}=\frac{2}{7}\]
La respuesta simplificada es \(\dfrac{2}{7}\), porque \(\left(\dfrac{2}{7}\right)^2=\dfrac{4}{49}\).
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)
\[\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt4}=\frac{1}{2}\]
La raíz cuadrada de una fracción es igual a la raíz cuadrada del numerador dividida por la raíz cuadrada del denominador.
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{1}{25}}\)
\[\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}\]
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{36}{4}}\)
\[\sqrt{\frac{36}{4}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt4}=\frac{6}{2}=3\]
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{3}{4}}\)
\[\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt4}=\frac{\sqrt3}{2}\]
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
\[\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\]
Esta expresión aplica correctamente la propiedad de división de radicales, aunque todavía contiene un radical en el denominador. Para escribirla en forma radical simple, es necesario racionalizar el denominador.
Forma radical simple
Si bien las tres formas de solución \(\sqrt{\dfrac{1}{12}}\), \(\dfrac{1}{2\sqrt3}\) y \(\dfrac{\sqrt3}{6}\) son idénticas, es muy frustrante tener tantas formas, particularmente cuando queremos comparar soluciones.
Por eso, se establecen tres lineamientos para la forma radical simple:
- Si es posible, factorizar un cuadrado perfecto.
- No dejar fracciones bajo un radical.
- No dejar radicales en el denominador de una fracción.
La segunda guía para la forma radical simple indica que no se deben dejar fracciones bajo un radical. Así, \(\sqrt{\dfrac{1}{12}}\) no está en forma radical simple, porque contiene una fracción debajo del radical.
La tercera guía para la forma radical simple indica que no se deben dejar radicales en el denominador de una fracción. Así, \(\dfrac{1}{2\sqrt3}\) no está en forma radical simple, porque el denominador de su fracción contiene un radical.
Solo la forma equivalente \(\dfrac{\sqrt3}{6}\) obedece a las tres reglas de la forma radical simple. No es posible factorizar un cuadrado perfecto de ningún radical en la expresión \(\dfrac{\sqrt3}{6}\).
No hay fracciones bajo un radical en la expresión \(\dfrac{\sqrt3}{6}\). El denominador en la expresión \(\dfrac{\sqrt3}{6}\) no contiene radicales.
Ejemplo de simplificación de una raíz fraccionaria
Transformación de \(\sqrt{\dfrac{1}{12}}\)
La expresión de Martha es \(\sqrt{\dfrac{1}{12}}\), mientras que la solución de David es \(\dfrac{1}{2\sqrt3}\). Aunque parecen diferentes, representan el mismo número.
Primero, usamos la propiedad de división de los radicales para tomar la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador.
\[\sqrt{\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{12}}\]
A continuación, utilizamos la primera pauta para la forma radical simple y factorizamos un cuadrado perfecto desde el denominador.
\[\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt4\sqrt3}=\frac{1}{2\sqrt3}\]
Esto demuestra claramente que las soluciones de David y Martha son idénticas.
Otra forma equivalente
Comenzamos con la solución de Martha, luego multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción bajo el radical por 3.
\[\sqrt{\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{1}{12}\cdot\frac{3}{3}}=\sqrt{\frac{3}{36}}\]
Ahora usamos la propiedad de división de los radicales, tomando la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador.
\[\sqrt{\frac{3}{36}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt3}{6}\]
Las tres formas de solución, \(\sqrt{\dfrac{1}{12}}\), \(\dfrac{1}{2\sqrt3}\) y \(\dfrac{\sqrt3}{6}\), son idénticas.
Raíces fraccionarias con denominador no cuadrado perfecto
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{1}{8}}\)
La expresión \(\sqrt{\dfrac{1}{8}}\) contiene una fracción bajo un radical. Podríamos tomar la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador, pero eso produciría \(\dfrac{\sqrt1}{\sqrt8}\), lo que pone un radical en el denominador.
La mejor estrategia es cambiar la forma de \(\dfrac{1}{8}\) para que tengamos un cuadrado perfecto en el denominador antes de tomar la raíz cuadrada del numerador y denominador.
Observamos que si multiplicamos 8 por 2, el resultado es 16, un cuadrado perfecto. Por eso multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 2:
\[\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{2}}=\sqrt{\frac{2}{16}}\]
Ahora tomamos la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador. Debido a que el denominador es ahora un cuadrado perfecto, el resultado no tendrá un radical en el denominador.
\[\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt2}{4}\]
El resultado \(\dfrac{\sqrt2}{4}\) está en forma radical simple. No es posible factorizar un cuadrado perfecto de ningún radical, no hay fracciones bajo ningún radical y el denominador está libre de radicales.
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{3}{20}}\)
Observamos que \(5\cdot20=100\), un cuadrado perfecto. Entonces, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 5 y tomamos la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador una vez que tenemos un cuadrado perfecto en el denominador.
\[\sqrt{\frac{3}{20}}=\sqrt{\frac{3}{20}\cdot\frac{5}{5}}=\sqrt{\frac{15}{100}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{15}}{10}\]
La forma radical simple es \(\dfrac{\sqrt{15}}{10}\).
Racionalización del denominador
El proceso de eliminar radicales del denominador se llama racionalizar el denominador porque da como resultado una fracción donde el denominador está libre de radicales y es un número racional.
Ejemplo: \(\dfrac{5}{\sqrt{18}}\)
En este ejemplo, \(2\cdot18=36\) es un cuadrado perfecto. Comenzamos multiplicando tanto el numerador como el denominador por \(\sqrt2\).
\[\frac{5}{\sqrt{18}}=\frac{5}{\sqrt{18}}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\]
Ahora multiplicamos numeradores y denominadores. En el denominador se utiliza la propiedad de multiplicación de los radicales, \(\sqrt{18}\sqrt2=\sqrt{36}\).
\[\frac{5}{\sqrt{18}}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{\sqrt{36}}\]
Como el denominador es un cuadrado perfecto, \(\sqrt{36}=6\), eliminando todos los radicales del denominador.
\[\frac{5\sqrt2}{\sqrt{36}}=\frac{5\sqrt2}{6}\]
El último resultado está en forma radical simple: no es posible extraer una raíz cuadrada perfecta de ningún radical, no hay fracciones bajo ningún radical y el denominador está libre de radicales.
Ejemplo: \(\dfrac{18}{\sqrt{27}}\)
Observamos que \(3\cdot27=81\) es un cuadrado perfecto. Comenzamos multiplicando tanto el numerador como el denominador por \(\sqrt3\).
\[\frac{18}{\sqrt{27}}=\frac{18}{\sqrt{27}}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\]
Al multiplicar numeradores y denominadores, en el denominador se obtiene \(\sqrt{27}\sqrt3=\sqrt{81}\).
\[\frac{18}{\sqrt{27}}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{18\sqrt3}{\sqrt{81}}\]
Como \(\sqrt{81}=9\), se obtiene:
\[\frac{18\sqrt3}{\sqrt{81}}=\frac{18\sqrt3}{9}\]
Ahora reducimos a términos más bajos, dividiendo el numerador y el denominador por 9.
\[\frac{18\sqrt3}{9}=2\sqrt3\]
Uso de la factorización prima
Debido a que tomar la raíz cuadrada es lo “inverso” de elevar al cuadrado, dividimos cada uno de los exponentes por 2.
\[(2^3 3^4 5^5)^2=2^6 3^8 5^{10}\]
\[\sqrt{2^6 3^8 5^{10}}=2^3 3^4 5^5\]
La factorización prima es una herramienta extremadamente poderosa y bastante útil a la hora de colocar expresiones radicales en forma radical simple.
Ejemplo: \(\sqrt{\dfrac{1}{98}}\)
A veces no es fácil averiguar cómo escalar el denominador para obtener un cuadrado perfecto, incluso cuando se dispone de una tabla de cuadrados perfectos. En ese caso, la factorización prima puede proporcionar una pista.
Primero expresamos el denominador como producto de primos en forma exponencial:
\[98=2\cdot49=2\cdot7^2\]
\[\sqrt{\frac{1}{98}}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot7^2}}\]
Ahora podemos ver fácilmente qué está impidiendo que el denominador sea un cuadrado perfecto. El problema es que no todos los exponentes del denominador son divisibles por 2.
Podemos remediarlo multiplicando tanto el numerador como el denominador por 2:
\[\sqrt{\frac{1}{2\cdot7^2}}=\sqrt{\frac{1}{2\cdot7^2}\cdot\frac{2}{2}}=\sqrt{\frac{2}{2^2 7^2}}\]
Cada primo del denominador tiene ahora un exponente divisible por 2. Podemos tomar la raíz cuadrada tanto del numerador como del denominador.
\[\sqrt{\frac{2}{2^2 7^2}}=\frac{\sqrt2}{\sqrt{2^2 7^2}}\]
Tomamos la raíz cuadrada del denominador dividiendo cada exponente por 2.
\[\frac{\sqrt2}{\sqrt{2^2 7^2}}=\frac{\sqrt2}{2^1\cdot7^1}\]
Como \(2\cdot7=14\), resulta:
\[\frac{\sqrt2}{2\cdot7}=\frac{\sqrt2}{14}\]
Ejemplo: \(\dfrac{12}{\sqrt{54}}\)
Factorizamos en primos el denominador:
\[54=2\cdot27=2\cdot3^3\]
\[\frac{12}{\sqrt{54}}=\frac{12}{\sqrt{2\cdot3^3}}\]
Ninguno de los primos del denominador tiene un exponente divisible por 2. Si tuviéramos otro 2 y un 3 más, los exponentes serían divisibles por 2.
Esto nos anima a multiplicar tanto el numerador como el denominador por \(\sqrt{2\cdot3}\).
\[\frac{12}{\sqrt{2\cdot3^3}}=\frac{12}{\sqrt{2\cdot3^3}}\cdot\frac{\sqrt{2\cdot3}}{\sqrt{2\cdot3}}=\frac{12\sqrt{2\cdot3}}{\sqrt{2^2 3^4}}\]
Dividimos cada uno de los exponentes del denominador por 2.
\[\frac{12\sqrt{2\cdot3}}{\sqrt{2^2 3^4}}=\frac{12\sqrt{2\cdot3}}{2^1\cdot3^2}\]
En el numerador, \(2\cdot3=6\), y en el denominador, \(2\cdot3^2=18\).
\[\frac{12\sqrt{2\cdot3}}{2\cdot3^2}=\frac{12\sqrt6}{18}\]
Por último, reducimos a los términos más bajos dividiendo tanto el numerador como el denominador por 6.
\[\frac{12\sqrt6}{18}=\frac{2\sqrt6}{3}\]
Ejemplos de raíces cúbicas de fracciones
Ejemplo: \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}\)
\[\sqrt[3]{\frac{27}{125}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{3}{5}\]
Ejemplo: \(\sqrt[3]{-\dfrac{8}{216}}\)
\[\sqrt[3]{-\frac{8}{216}}=\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{216}}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\]
Ejemplo: \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\)
\[\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}\]
Ejemplo: \(\sqrt[3]{-\dfrac{512}{64}}\)
\[\sqrt[3]{-\frac{512}{64}}=\frac{\sqrt[3]{-512}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{-8}{4}=-2\]
Raíces de otros índices
Ejemplo: raíz cuarta
\[\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}\]
Ejemplo: raíz quinta
\[\sqrt[5]{\frac{32}{243}}=\frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}}=\frac{2}{3}\]
Radicación no exacta
En los números fraccionarios también existen la raíz cuadrada y la raíz cúbica, y al igual que sucede con la radicación en los números fraccionarios, la radicación no es una operación exacta.
Cuando las raíces del numerador o del denominador no son enteras, el resultado puede conservarse en forma radical, como \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) o \(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\), o transformarse a una aproximación decimal mediante una calculadora.
Para verificar una aproximación decimal, se puede elevar el resultado al índice correspondiente y comprobar que el valor obtenido coincide aproximadamente con la fracción original.
