Tal vez te hayas dado cuenta de que ya hablamos de suma, producto y resta de polinomios, pero aún no hemos hablado de la división. Una razón es que no todos los polinomios tienen inverso multiplicativo. Sin embargo, los polinomios sí tienen un algoritmo de la división parecido al que estudiamos para el conjunto \(\mathbb{Z}\) de enteros.
Cuando se divide un número entero entre otro entero, algunas veces se obtiene un resto distinto de cero, lo cual sucede cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. En muchas ocasiones, la división de polinomios tampoco es exacta: entonces se llega a un dividendo parcial, no nulo, cuyo grado es inferior al grado del divisor, por lo que no se puede continuar la resolución de la operación.
A partir del algoritmo de la división podemos extender varios de los conceptos aritméticos de \(\mathbb{Z}\) a \(\mathbb{R}[x]\>: divisibilidad, máximo común divisor, factorización, etc.
Elementos de una división de polinomios
Para dividir el polinomio \(P(x)\) entre el polinomio \(Q(x)\), necesitamos que el grado de \(P(x)\) sea mayor o igual que el grado de \(Q(x)\). El polinomio \(P(x)\) es el dividendo y \(Q(x)\) es el divisor.
El resultado de una división de polinomios se expresa mediante la igualdad:
\[P(x)=Q(x)C(x)+R(x)\]
En esta igualdad:
- \(P(x)\) es el dividendo.
- \(Q(x)\) es el divisor.
- \(C(x)\) es el cociente.
- \(R(x)\) es el residuo o resto.
El grado de \(R(x)\) es menor que el de \(Q(x)\) y el grado de \(C(x)\) es el grado de \(P(x)\) menos el de \(Q(x)\).
| Elemento | Función |
|---|---|
| Dividendo \(P(x)\) | Polinomio que se divide |
| Divisor \(Q(x)\) | Polinomio entre el que se divide |
| Cociente \(C(x)\) | Resultado principal de la división |
| Residuo \(R(x)\) | Polinomio que queda al finalizar la división |
El algoritmo termina cuando el polinomio que queda tiene grado menor que el grado del divisor. Si el residuo es el polinomio cero, la división es exacta.
Teorema del algoritmo de la división
Teorema (algoritmo de la división en \(\mathbb{R}[x]\). Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) polinomios en \(\mathbb{R}[x]\), donde \(g(x)\) no es el polinomio cero.
En \(\mathbb{R}[x]\) hay un resultado similar al algoritmo de la división de los enteros. Pero hay que tener cuidado al generalizar. En \(\mathbb{R}[x]\) no tenemos una función valor absoluto que nos permita decir que encontramos un «residuo más chiquito».
La división de polinomios permite escribir:
\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),\]
donde \(r(x)\) es el polinomio \(0\) o \(\deg(r(x))<\deg(g(x))\).
Idea de la demostración
Probaremos la parte de existencia. La parte de unicidad queda como tarea moral. Para probar la existencia, haremos inducción fuerte sobre el grado de \(f(x)\).
Asumamos entonces a partir de ahora que \(f(x)\) no es el polinomio cero. Hagamos inducción sobre el grado de \(f(x)\).
Si \(f(x)\) es de grado \(0\), entonces es un polinomio de la forma \(f(x)=a\) para \(a\) en \(\mathbb{R}\). Si \(g(x)\) es de grado mayor a \(0\), entonces tomamos \(q(x)=0\) y \(r(x)=f(x)\).
Supongamos que el resultado es cierto para cuando \(f(x)\) tiene grado menor a \(n\) y tomemos un caso en el que \(f(x)\) tiene grado \(n\>. Hagamos de nuevo casos con respecto al grado de \(g(x)\), al que llamaremos \(m\).
Consideremos el polinomio
\[h(x):=f(x)-\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}g(x).\]
Notemos que en \(h(x)\) el coeficiente que acompaña a \(x^n\) es
\[a_n-\frac{a_nb_m}{b_m}=0,\]
así que el grado de \(h(x)\) es menor al de \(f(x)\> y por lo tanto podemos usar la hipótesis inductiva para escribir
\[h(x)=t(x)g(x)+u(x)\]
con \(u(x)\) el polinomio \(0\) o \(\deg(u(x))<\deg(g(x))\).
A grandes rasgos, lo que podemos hacer es «ir acumulando» en \(q(x)\) a los términos \(\frac{a_n}{b_m}x^{n-m}\) que van apareciendo en la inducción, y cuando \(h(x)\) se vuelve de grado menor a \(q(x)\), lo usamos como residuo.
División larga de polinomios
Hay una forma más visual de hacer divisiones de polinomios «haciendo una casita».
Observa la forma en que se efectúa la división de dos polinomios \(P(x)\) y \(Q(x)\), tratando de comprender cada uno de los pasos.
Supóngase así que los polinomios tanto del dividendo como del divisor se encuentran ordenados y se ha efectuado la división paso a paso como en los ejemplos de arriba.
Los pasos generales son los siguientes:
- Escribir los polinomios como si nos dispusiéramos a realizar una división tradicional de dos cifras: a la izquierda el dividendo, a la derecha el divisor.
- Ordenar los términos del dividendo y del divisor según sus grados.
- Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan, es decir, en este caso dejamos el espacio para el elemento de cuarto grado y otro espacio para el elemento de segundo grado.
- A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
- Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
- Escribimos en el cociente un monomio tal que al multiplicar por el monomio principal del divisor se obtenga el monomio director del dividendo.
- Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo.
- Continuamos el procedimiento con el polinomio que queda.
- La división concluye cuando el polinomio restante tiene menor grado que el divisor.
Recordad que el monomio principal, o término principal, de un polinomio es el monomio de mayor grado. Su coeficiente es el coeficiente principal.
Tenemos que escribir en el cociente un monomio tal que al multiplicar por el monomio principal del divisor, se obtenga el monomio director del dividendo.
No olvidéis cambiar todos los signos al hacer la resta.
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo opuesto.
Cuándo termina la división
Como el grado del resto es igual al del divisor, tenemos que seguir.
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Procedemos igual que antes.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Como el grado del resto es menor que el del divisor, hemos terminado.
La división concluye aquí, ya que tiene menor grado que el divisor.
Ejemplo detallado
Veamos ahora un ejemplo de cómo se puede aplicar este teorema anterior de forma práctica.
Tomemos
\[f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+2x+3\]
y
\[g(x)=x^2+x+1.\]
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor:
\[\frac{x^5}{x^2}=x^3.\]
Por eso, el primer término del cociente es \(x^3\).
Multiplicamos \(x^3\) por el divisor y restamos el resultado del dividendo:
\[x^3(x^2+x+1)=x^5+x^4+x^3.\]
Al realizar la resta queda:
\[x^2+2x+3.\]
Hasta ahora, sabemos que \(q(x)=x^3+\ldots\), donde en los puntos suspensivos va el cociente que le toca a \(h_1(x)=x^2+2x+3\).
Como el grado del polinomio que queda es igual al grado del divisor, la división continúa:
\[\frac{x^2}{x^2}=1.\]
El siguiente término del cociente es \(1\).
Multiplicamos el divisor por \(1\):
\[1(x^2+x+1)=x^2+x+1.\]
Restamos:
\[(x^2+2x+3)-(x^2+x+1)=x+2.\]
Hasta ahora, sabemos que \(q(x)=x^3+1+\ldots\), donde en los puntos suspensivos va el cociente que le toca a \(h_2(x)=x+2\).
El polinomio restante \(x+2\) tiene grado \(1\), mientras que el divisor \(x^2+x+1\) tiene grado \(2\). Por lo tanto, la división termina.
El cociente es:
\[q(x)=x^3+1\]
y el residuo es:
\[r(x)=x+2.\]
La igualdad correspondiente es:
\[x^5+x^4+x^3+x^2+2x+3=(x^2+x+1)(x^3+1)+(x+2).\]
Fijémonos que en la casilla correspondiente al grado del polinomio que hemos dividido, en este caso \(5\), aparece un \(0\). Efectivamente, tenemos un \(0\) en el monomio de grado \(4\>.
Volvemos a ver que aparece un \(0\) en el monomio de grado \(3\>. Efectivamente, vuelve a aparecer un \(0\) en el monomio de grado \(2\>.
Llegado este punto, el polinomio que queremos dividir tiene grado \(1\), que es menor que el grado del divisor, que es \(2\). En este momento, damos por finalizada la división.
Por lo tanto, el proceso se termina.
Otros ejemplos de cociente y residuo
División de \(4x^2-8x-2\) entre \(2x-1\)
Vamos a dividir el polinomio \(4x^2-8x-2\) entre \(2x-1\>.
Escribimos \(2x\) en el cociente porque, así, \(2x\cdot2x=4x^2\).
Al continuar la división se obtiene:
\[C(x)=2x-3\]
y
\[R(x)=-5.\]
Como el grado del resto es menor que el del divisor, hemos terminado.
La igualdad es:
\[4x^2-8x-2=(2x-1)(2x-3)-5.\]
El cociente es \(2x-3\) y el resto es \(-5\).
División de \(2x^3+x\) entre \(3x-9\)
Vamos a dividir el polinomio \(2x^3+x\) entre \(3x-9\).
Se procede dividiendo sucesivamente el término principal del polinomio restante entre el término principal del divisor, multiplicando el resultado por el divisor y realizando la resta.
Como el grado del resto es menor que el del divisor, hemos terminado.
División de un polinomio por un número
Cuando dividimos un polinomio por un número, el resultado es otro polinomio que cumple las siguientes características:
- El polinomio resultante es del mismo grado que el polinomio que fue dividido.
- Sus coeficientes resultan de dividir cada uno de los coeficientes del polinomio entre el número.
- Se dejan las mismas partes literales.
División de un polinomio por un monomio
En la división de un polinomio por un monomio se divide cada uno de los monomios que forman el polinomio por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.
Divisibilidad de polinomios
Cuando trabajamos con \(\mathbb{Z}\>, estudiamos la noción de divisibilidad.
Definición. Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) polinomios en \(\mathbb{R}[x]\>.
Un polinomio divide a otro cuando el residuo de la división es el polinomio cero. En ese caso, la división es exacta y el dividendo puede escribirse como el producto del divisor por el cociente.
Si \(g(x)\) es un polinomio no cero y constante, es decir, de la forma \(g(x)=a\) para \(a\neq0\) un real, entonces divide a cualquier otro polinomio en \(\mathbb{R}[x]\>.
El último ejemplo nos dice que los polinomios constantes y no cero se comportan «como el \(1\) se comporta en los enteros».
También nos dice que cualquier polinomio tiene una infinidad de divisores. Eso nos pone en aprietos para definir algo así como los «polinomios primos» en términos del número de divisores.
Relación entre residuo y evaluación
En realidad, la técnica que usamos para el teorema del factor nos dice algo un poco más general.
Teorema (del factor). Sea \(a\) un real y \(p(x)\) un polinomio en \(\mathbb{R}[x]\>.
De acuerdo al algoritmo de la división, podemos escribir
\[p(x)=(x-a)q(x)+r(x),\]
en donde \(r(x)\) es \(0\) o un polinomio de grado menor estricto al de \(x-a\).
Como el grado de \(x-a\) es \(1\), la única posibilidad es que \(r(x)\) sea un polinomio constante \(r(x)=r\>.
Cuando escribimos
\[p(x)=(x-a)q(x)+r\]
y evaluamos en \(a\>, obtenemos que
\[p(a)=r.\]
Teorema (del residuo). Sea \(a\) un real y \(p(x)\) un polinomio en \(\mathbb{R}[x]\>.
El residuo de dividir \(p(x)\) entre \(x-a\) es \(p(a)\).
Por lo tanto, para encontrar el residuo de una división entre un polinomio lineal no siempre es necesario realizar toda la división.
Ejemplo del teorema del residuo
Se podría hacer la división polinomial, pero esto es largo y no nos piden el polinomio cociente, sólo el residuo.
Como \(x+1=x-(-1)\>, el residuo de la división de \(p(x)\) entre \(x+1\) es \(p(-1)\>.
Ejemplo de factorización mediante el residuo
Consideremos el polinomio
\[p(x)=x^3-6x^2+11x-6.\]
¿Podremos encontrar algunos polinomios lineales que lo dividan?
A simple vista, notamos que la suma de sus coeficientes es \(1-6+11-6=0\).
Esto nos dice que \(p(1)=0\).
Por el teorema del factor, tenemos que \(x-1\) divide a \(p(x)\).
Veamos si podemos seguir factorizando polinomios lineales que no sean \(x-1\).
Usando el teorema del factor, concluimos que tanto \(x-2\) como \(x-3\) dividen a \(p(x)\).
Hasta ahora, sabemos entonces que
\[p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)h(x),\]
donde \(h(x)\) es otro polinomio.
Pero \((x-1)(x-2)(x-3)\) ya es un polinomio de grado \(3\>, como \(p(x)\>, y su coeficiente de \(x^3\) es \(1\>, como el de \(p(x)\>.
En consecuencia, el polinomio queda completamente factorizado mediante sus factores lineales.
Irreducibilidad y división de polinomios
Cuando trabajamos con enteros, vimos que es muy útil poder encontrar la factorización en términos de números primos.
Hay otros polinomios en \(\mathbb{R}[x]\) que no son de grado \(1\) y que son irreducibles.
Los polinomios \(x^2+x+1\) y \(x^2-x+1\) sí son irreducibles en \(\mathbb{R}[x]\>.
La razón por la que siempre insistimos en que la irreducibilidad sea en \(\mathbb{R}[x]\) es por que a veces un polinomio no se puede factorizar en polinomios con coeficientes reales, pero sí con coeficientes complejos.
Más adelante seguiremos hablando de irreducibilidad.
Ejercicios
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada.
- Muestra que el polinomio \(x^2+1\) es irreducible en \(\mathbb{R}[x]\>. Sugerencia: procede por contradicción.
- Factoriza en términos lineales al polinomio \(p(x)=x^3-12x^2+44x-48\>. Sugerencia: intenta enteros pequeños, digamos de \(-3\) a \(3\>, para ver si son raíces. Uno de ellos funciona. Luego, usa el teorema del factor para expresar a \(p(x)\) como un polinomio lineal por uno cuadrático.
Resuelve los ejercicios que siguen en tu cuaderno y después introduce tu respuesta en el recuadro interactivo que se presenta abajo.
Al verificar, si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo.