El área de una parte de un círculo se calcula identificando primero la región circular: puede ser un sector, un segmento, una corona, un trapecio circular, una lúnula o una hoja circular. La fórmula adecuada depende de los radios, del ángulo central, de la cuerda y de la relación entre las circunferencias que delimitan la figura.
Si la región es un círculo completo de radio \(r\), su área es \(A=\pi r^2\). Si solo representa una fracción del círculo, se multiplica el área total por la fracción correspondiente; por ejemplo, un sector de ángulo central \(\theta\) en grados ocupa \(\theta/360\) del círculo.
Elementos necesarios para calcular áreas circulares
La letra “a” indica el arco de la circunferencia, que es el segmento de la circunferencia que está delimitado por dos puntos diferentes pertenecientes a ésta. La letra “b” indica el radio del círculo, que es un segmento de recta que va del centro del círculo a cualquier punto de la circunferencia. La letra “c” indica el centro del círculo.
La letra “d” indica el diámetro del círculo, que es un segmento de recta que toca dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. La letra “e” indica la circunferencia.
El diámetro de la circunferencia es la cuerda que pasa exactamente por el centro y equivale a dos radios. Es decir, para llegar del diámetro al radio debemos dividir por 2.
| Elemento | Descripción |
|---|---|
| Radio | Segmento que une el centro con la circunferencia. |
| Diámetro | Cuerda que pasa por el centro y equivale a dos radios. |
| Arco | Parte de la circunferencia delimitada por dos puntos. |
| Ángulo central | Ángulo cuyo vértice está en el centro y cuyos lados llegan a la circunferencia. |
| Cuerda | Segmento que une dos puntos de la circunferencia. |
Área del círculo completo
El círculo es la unión de una circunferencia C y todos los puntos de su interior. Matemáticamente se expresa como \(C=C\cup Int(C)\), donde \(Int(C)\) representa el interior de la circunferencia.
El área del círculo representa «el interior» de la circunferencia. Al descubrir el área, de hecho, obtenemos la superficie «encerrada» o el espacio dentro de un circulo o de la circunferencia.
Si el círculo tiene un radio de longitud R, su área se calcula mediante: \(S=\pi R^2\).
Para calcular el área del círculo, es decir, la superficie de un círculo debemos utilizar la siguiente fórmula: \(A=\pi\times R^2\).
\(A\) representa el área del círculo, \(\pi\) es aproximadamente igual a 3.14 y \(R\) representa el radio de la circunferencia. Observa que en la fórmula \(R\) se eleva a la segunda potencia. A quién no le resulte cómodo operar con potencias puede reemplazar \(R^2\) por \(R\times R\).
El valor de \(\pi\) no se puede representar con un número natural ni con una fracción, ya que es un número irracional, es decir, la parte decimal del valor de pi es infinita y no tiene periodo, y por cuestiones de practicidad, para realizar operaciones y hacer cálculos, por ejemplo, el área de un círculo; es suficiente redondear la parte decimal de “pi” a dos o cuatro cifras, es decir, 3.14 o 3.1416.
El área del círculo utilizando el diámetro se calcula con la ecuación \(A=\pi\times(d/2)^2\), porque el radio es la mitad del diámetro.
| Dato conocido | Fórmula del área |
|---|---|
| Radio \(r\) | \(A=\pi r^2\) |
| Diámetro \(d\) | \(A=\pi(d/2)^2\) |
Cómo calcular el área cuando se conoce el radio
Estas son las preguntas más fáciles sobre el área del círculo ya que no requieren nada más que ubicar los datos en la fórmula. El radio ya está dado y todo lo que debe hacer es colocarlo en la fórmula.
Calcula el área del círculo sabiendo que el radio es de 4 cm. El radio dado es de 4 cm. Lo colocaremos en la fórmula para hallar la medida del área del círculo y obtendremos: \(A=3.14\times4^2\).
\(A=3.14\times16=50.24\). El área del círculo es 50.24 cm².
El radio mide 5 cm. Se puede calcular el área del círculo colocando los datos provistos: \(A=\pi\times R\times R=3.14\times5\times5=78.5\).
El área del círculo es 78.5 cm².
Si el radio mide 7, la fórmula produce \(A=\pi\times7^2=\pi\times49\). El área es \(49\pi\).
Si el radio mide 3 cm, se obtiene \(A=\pi\times3^2=\pi\times9\). El área es \(9\pi\) cm².
Cómo calcular el área cuando se conoce el diámetro
En este tipo de preguntas deberemos llevar a cabo un paso preliminar antes de ubicar los datos en la fórmula. Nos percataremos de que nos dieron el diámetro, pero nosotros necesitamos el radio para colocarlo en la fórmula. Por consiguiente, dividiremos el diámetro por 2 y llegaremos al radio.
- Divide el diámetro entre 2.
- Obtén el radio.
- Coloca el radio en la fórmula \(A=\pi r^2\).
- Expresa el resultado en unidades cuadradas.
Dado un círculo cuyo diámetro mide 10 cm, dividiremos el diámetro por 2 y llegaremos al radio: \(10:2=5\). El radio mide 5 cm.
Lo colocaremos en la fórmula y obtendremos \(A=3.14\times5^2=3.14\times25=78.5\). El área del círculo es 78.5 cm².
Si el diámetro mide 7 cm, el radio es la mitad del diámetro: \(r=7:2=3.5\). Reemplazamos en la fórmula: \(\pi3.5^2=12.25\pi\). El área es \(12.25\pi\) cm².
Si el diámetro del círculo es 13, el radio es \(13/2=6.5\). Reemplazamos en la fórmula y resolvemos: \(S=\pi\times6.5^2=42.25\pi\). El área es \(42.25\pi\).
Cuando el diámetro mide 8 cm, el radio mide \(8:2=4\) cm. El área es \(A=3.14\times4^2=3.14\times16=50.24\) cm².
Cómo hallar el radio o el diámetro a partir del área
En este tipo de problemas colocaremos el área dada dentro de la fórmula del cálculo del área del círculo y, de este modo, hallaremos el radio.
La fórmula \(A=\pi r^2\) puede transformarse en \(r^2=A/\pi\). Por lo tanto, el radio se obtiene mediante \(r=\sqrt{A/\pi}\).
El área del círculo es 153.86. Colocaremos en la fórmula: \(r^2\times3.14=153.86\). Dividimos por 3.14: \(49=r^2\). Despejaremos la raíz: \(r=7\). El radio mide 7 cm.
Las fórmulas que relacionan el diámetro y el área de un círculo son: \(área=\pi\times(d/2)^2\) y \(d=2\times\sqrt{área/\pi}\).
El radio de un círculo de área 10 es aproximadamente igual a 1.784. La respuesta precisa es \(\sqrt{10/\pi}\). La respuesta se obtiene transformando la fórmula \(área=\pi\times r^2\) en \(r^2=área/\pi\), y así el radio es igual a la raíz cuadrada de área/π.
Sector circular
El sector circular es la porción de un círculo delimitada por un ángulo central y el arco correspondiente. Un sector es una figura geométrica delimitada por dos radios y el arco incluido de una circunferencia.
Los sectores de un círculo se suelen ver en los gráficos circulares o gráficos de pastel, en los que un círculo se divide en varios sectores para mostrar el peso de cada segmento.
Para calcular su área, necesitas conocer el radio R del círculo y la medida del ángulo central θ en grados. La fórmula es \(S=(\theta/360)\pi R^2\).
Esta expresión representa la fracción del área total del círculo que ocupa el sector, donde \(\theta/360\) indica qué porción del círculo completo representa el sector.
La fórmula del área del sector es sencilla: multiplica el ángulo central por el radio al cuadrado y divide por 2: \(Área\ del\ sector=r^2\times\alpha/2\).
El ángulo completo es \(2\pi\) en radianes, o 360° en grados. Para ángulos de \(2\pi\) el área es igual a \(\pi r^2\).
A partir de la proporción, podemos hallar fácilmente la fórmula final del área del sector: \(Área\ del\ sector=\alpha\times\pi r^2/2\pi=\alpha\times r^2/2\).
Ten en cuenta que \(\alpha\) debe estar en radianes cuando utilices la fórmula dada. Si conoces el ángulo central de tu sector en grados, multiplícalo primero por \(\pi/180°\) para hallar su valor equivalente en radianes.
Si el ángulo está expresado en grados, también puedes utilizar esta fórmula: \(Área\ del\ sector=r^2\times\theta\times\pi/360°\).
| Ángulo central | Área del sector |
|---|---|
| \(\theta\) en grados | \(A=(\theta/360)\pi r^2\) |
| \(\alpha\) en radianes | \(A=\alpha r^2/2\) |
Semicírculo
Encontrar el área de un semicírculo debería ser ahora pan comido. ¡Solo tienes que pensar qué fracción de un círculo representa!
Sabiendo que es la mitad del círculo, divide el área por 2: \(Área\ del\ semicírculo=Área\ de\ un\ círculo/2=\pi r^2/2\).
El ángulo central del semicírculo es \(\pi\), equivalente a 180°. Por tanto, \(Área\ del\ semicírculo=\alpha\times r^2/2=\pi r^2/2\).
Cuadrante
Como un cuadrante es un cuarto de círculo, podemos escribir la fórmula como: \(Área\ del\ cuadrante=Área\ del\ círculo/4=\pi r^2/4\).
El ángulo central del cuadrante es un ángulo recto, \(\pi/2\) o 90°, por lo que se llega a la misma ecuación: \(Área\ del\ cuadrante=\alpha\times r^2/2=\pi r^2/4\).
El área de un sector con ángulo central de 90° y radio \(r=1\) es \(\pi/4\). Para calcular este resultado, se utiliza \(\alpha=90°\times\pi/180°=\pi/2\), y entonces \(A=(1^2\times\pi/2)/2=\pi/4\).
Hallar el ángulo central a partir del área
Para hallar el ángulo central de un sector circular, puedes invertir la fórmula de su área: \(A=r^2\times\alpha/2\), donde \(r\) es el radio y \(\alpha\) el ángulo central en radianes.
La fórmula para \(\alpha\) es entonces \(\alpha=2\times A/r^2\). Para hallar el ángulo en grados, multiplica el resultado por \(180°/\pi\).
Segmento circular
El segmento circular es una porción de círculo limitada por un arco y su cuerda correspondiente. Podemos imaginarlo como el área que queda al cortar un círculo con una línea recta.
Para calcular su área, generalmente se resta el área del triángulo formado por el centro del círculo y los extremos de la cuerda, del área del sector circular correspondiente.
Por tanto, cuando se conoce el radio y el ángulo central, el área del segmento se obtiene mediante la diferencia entre el área del sector y el área del triángulo correspondiente.
Si AB es solo una cuerda y no sabemos nada más sobre el diámetro o el radio, no podemos calcular el área del círculo. La respuesta es que no se puede resolver.
Corona circular
La corona circular es la región plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas que comparten el mismo centro. Puedes visualizarla como un “anillo” o “aro”.
El área de una corona circular se calcula mediante la diferencia de las áreas de los dos círculos. Si R es el radio de la circunferencia exterior y r es el radio de la circunferencia interior, el área de la corona será \(S=\pi(R^2-r^2)\).
La corona circular es la región entre dos círculos concéntricos. Su área es \(\pi(R^2-r^2)\), donde R y r son los radios mayor y menor respectivamente.
También existe otra expresión alternativa para calcular esta área: \(S=\pi AB^2/4\), donde AB representa una cuerda específica relacionada con ambas circunferencias.
Trapecio circular
El trapecio circular es la porción de una corona circular delimitada por un ángulo central y los arcos correspondientes. Imagínalo como un “pedazo de anillo” recortado de una corona circular.
Para calcular su área, necesitamos la medida del ángulo central θ y los radios R y r de las circunferencias exterior e interior respectivamente.
La fórmula es \(S=(\theta/360)\pi(R^2-r^2)\).
Esta fórmula combina los conceptos de sector circular y corona circular: es la fracción \(\theta/360\) del área total de la corona.
Lúnulas y hojas circulares
Las lúnulas y hojas circulares son regiones especiales formadas por intersecciones de circunferencias. Estos conceptos amplían nuestro estudio de figuras geométricas circulares.
Estas figuras tienen aplicaciones interesantes en geometría avanzada y representan regiones con propiedades únicas que nos permiten resolver problemas complejos de áreas.
Lúnula
Una lúnula es una región plana no convexa formada por la intersección de dos circunferencias secantes. Su forma se asemeja a una “media luna” o “creciente lunar”, de ahí su nombre.
Las lúnulas son importantes en geometría porque, a pesar de estar formadas por arcos de circunferencia, en ciertos casos sus áreas pueden calcularse de forma exacta y relacionarse con áreas de figuras rectilíneas.
Estas figuras fueron estudiadas desde la antigüedad por matemáticos como Hipócrates de Quíos, quien descubrió que ciertas lúnulas tienen áreas iguales a figuras con lados rectos, un descubrimiento sorprendente para su época.
Hoja circular
La hoja circular es una región plana convexa formada por la intersección de dos circunferencias congruentes del mismo tamaño que se cortan entre sí. Esta figura se asemeja a la forma de una hoja o pétalo.
A diferencia de la lúnula, la hoja circular es una región convexa, lo que significa que cualquier segmento que une dos puntos de la región está completamente contenido en ella.
El área de una hoja circular puede calcularse conociendo los radios de las circunferencias y la distancia entre sus centros, utilizando propiedades de segmentos circulares.
Las hojas circulares aparecen en diversos diseños arquitectónicos y artísticos, mostrando la aplicación práctica de estos conceptos geométricos.
Lúnulas de Hipócrates
El teorema de las lúnulas de Hipócrates establece una relación fascinante: en un triángulo rectángulo, el área de la región triangular es igual a la suma de las áreas de las lúnulas formadas por las semicircunferencias que tienen como diámetros los catetos del triángulo.
Matemáticamente se expresa como \(S_{ABC}=S_1+S_2\), donde \(S_{ABC}\) es el área del triángulo rectángulo y \(S_1\) y \(S_2\) son las áreas de las lúnulas.
Este teorema constituye uno de los primeros ejemplos históricos de cuadratura, es decir, encontrar un cuadrado con la misma área que una figura curvilínea, y muestra cómo figuras con bordes curvos pueden relacionarse perfectamente con figuras rectilíneas.
Relaciones entre áreas de regiones circulares
Cuando trabajamos con regiones circulares compuestas, es fundamental identificar cómo se relacionan las diferentes áreas entre sí.
En muchas configuraciones, se cumple que \(X=A+B\), donde X representa el área total y A, B son áreas de las componentes.
Para las lúnulas, existen teoremas especiales donde se cumple la relación \(S=C\), siendo S el área de una región y C el área de otra.
Estas relaciones nos permiten resolver problemas complejos simplificándolos. Estas propiedades son especialmente útiles en problemas donde necesitamos comparar áreas o demostrar la equivalencia entre figuras aparentemente diferentes.
Cuando un punto T es de tangencia en una configuración circular, se establecen relaciones especiales entre las áreas que pueden simplificar muchos problemas geométricos.
Relación entre el área del círculo y el cuadrado
Se sabe que el perímetro es la medida del contorno de una figura dada en unidades lineales, y el área es la medida de una superficie comprendida dentro del perímetro de cualquier figura plana dada en unidades cuadradas.
En el círculo, al perímetro se le llama circunferencia y el área es la superficie dentro de la circunferencia.
Si el lado de un cuadrado y el radio de un círculo miden lo mismo, el área del cuadrado es \(r\times r=r^2\), mientras que el área del círculo es \(\pi r^2\).
Por lo tanto, el área del círculo se obtiene multiplicando el área del cuadrado por 3.14 o 3.1416.
Cuando los lados del cuadrado miden lo mismo que el radio de círculo, para conocer el área del círculo, basta multiplicar el área del cuadrado por 3.14 o 3.1416.
Considerando que el lado del cuadrado y que el radio del círculo miden “r”, el área del cuadrado es igual a “r” por “r”, es decir, “r” cuadrada. Entonces para obtener el área del círculo, multiplica “r” cuadrada por 3.1416.
De esta manera queda definida la fórmula para calcular el área del círculo, como: Área del círculo = pi por radio al cuadrado.
Ejemplo de comparación de áreas
Traza un cuadrado de cinco unidades por lado y una circunferencia con centro en uno de sus vértices y radio igual a la longitud del lado del cuadrado.
La relación que hay entre el círculo y el cuadrado es que el radio del círculo y el lado del cuadrado miden 5 unidades.
El cuadrado está formado por 25 cuadrados que miden una unidad por lado, por lo tanto, su superficie es de 25 unidades cuadradas. Así que el área del cuadrado es de 25 unidades cuadradas.
Una estimación razonable con ayuda de la cuadrícula permite decir que el círculo tiene una superficie aproximada de 78 unidades cuadradas.
Al dividir 78 unidades cuadradas entre 25 unidades cuadradas, tienes como resultado el cociente 3.12. Es el número de veces que cabe el área del cuadrado dentro del círculo.
En otros ejemplos, cuando el lado del cuadrado mide 8 unidades, su área es 64 unidades cuadradas y el área del círculo es 201.06 unidades cuadradas. Al dividir el área del círculo entre el área del cuadrado se obtiene el cociente 3.1415.
Cuando el lado del cuadrado mide 9.6 unidades, su área es 92.16 unidades cuadradas y el área del círculo es 289.529 unidades cuadradas. Al dividir el área del círculo entre el área del cuadrado se obtiene el cociente 3.1415.
Los resultados son iguales porque es una razón proporcional, ya que, al dividir el área del círculo entre el área del cuadrado, sin importar las dimensiones del cuadro y del círculo, siempre y cuando el lado y el radio sean iguales, se obtendrá como cociente 3.1415, es decir un valor aproximado al valor del número “pi”.
Aplicación: área de seguridad alrededor de un carrusel
Se requiere colocar un carrusel en una superficie circular. El área de la base del carrusel mide 50.24 metros cuadrados. Por seguridad se requiere que el espacio donde se va a colocar tenga 1.2 m más de cada lado del perímetro del carrusel.
Partiendo de la fórmula para calcular el área del círculo, \(Área=\pi r^2\), se sustituye el valor del área y se despeja el radio.
Dividiendo 50.24 entre pi tienes 15.99, y este lo aproximas a 16. La raíz cuadrada de 16 es igual a 4, así que el radio tiene un valor de 4 metros.
Este valor representa el radio de la base circular del carrusel. Como el diámetro es dos veces el radio, \(d=2r\), el diámetro de la base del carrusel es igual a 8 m.
El diámetro de la base del carrusel es de 8 metros, al cual le sumarás el doble de 1.2 metros, que representará el diámetro del círculo cuya área se requiere para instalar el carrusel por seguridad.
La expresión es \(d=8m+2(1.2m)\). El diámetro del círculo de seguridad es entonces de 10.4 m.
Para calcular el radio del círculo de seguridad, se divide el diámetro entre 2. El radio es \(10.4/2=5.2\) m.
El área total de seguridad se calcula mediante \(Área=\pi r^2\). Por lo tanto, el área requerida para instalar el carrusel es de 84.94 metros cuadrados.
Usos del área de una parte de un círculo
La fórmula del área de un sector puede ser útil en geometría, por ejemplo, para hallar la superficie de un cono.
Los cálculos del área de un sector pueden ser útiles para preparar una falda circular, ya que no siempre es un círculo completo sino un sector de un círculo.
Cada porción de pizza es un sector de un círculo. También puede utilizarse la fórmula del área de un sector para calcular el tamaño correspondiente a cada porción de una tarta.
Necesitamos conocer el área de un círculo para calcular el volumen de un cono y su área superficial. Utilizamos cálculos similares cuando obtenemos información sobre una esfera, como su volumen, por ejemplo.
El área del círculo inscrito de un cuadrado corresponde al círculo más grande que puede caber dentro de un cuadrado.
