El triángulo egipcio es un triángulo rectángulo cuyos lados guardan la proporción 3:4:5 y que permite obtener un ángulo exacto de 90°. Los antiguos constructores podían reproducirlo con una cuerda dividida en doce intervalos iguales, formando tres lados de tres, cuatro y cinco unidades.
Esta regla geométrica, combinada con cuerdas, escuadras, plomadas, reglas de madera y jalones, pudo ayudar a establecer perpendiculares, comprobar alineaciones y construir bases rectangulares con gran precisión. Sin embargo, la aplicación concreta del triángulo 3:4:5 en la Gran Pirámide debe distinguirse de las hipótesis modernas sobre sus proporciones generales.
Qué es el triángulo egipcio
Triángulo sagrado egipcio o Triángulo egipcio. Es el nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyos lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o sus medidas guardan estas proporciones.
El triángulo rectángulo es aquel que tiene una esquina perfectamente recta que mide 90°. El lado más largo -el lado diagonal- de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa.
Si mides las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo, existe una relación especial entre esas tres medidas. El cuadrado de la longitud de un lado más el cuadrado de la longitud del otro es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
En el caso del triángulo egipcio, la relación puede expresarse así: 3² + 4² = 5². El conjunto de las longitudes a, b y c se llama triple pitagórico.
Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la más remota antigüedad.
El triángulo rectángulo similar, de 15, 20, 25 codos egipcios, se empleó en el Antiguo Egipto y fue llamado «Isíaco» (de la diosa Isis).
Por qué era necesario obtener ángulos rectos
La construcción de casas, refugios, templos y espacios de reunión es una parte importante de cualquier comunidad. Los antiguos egipcios aprendieron que necesitaban construir ángulos rectos perfectos para garantizar la estabilidad de sus edificios, incluidas las pirámides.
Las torres torcidas se caen con facilidad. Por eso, los constructores egipcios encontraron una forma de medir de forma fiable los ángulos rectos utilizando números enteros.
Y, a sabiendas o no, utilizaron el triple pitagórico: 3, 4, 5. Este procedimiento permitía comprobar que dos direcciones eran perpendiculares sin depender de una medición angular expresada en grados.
La cuerda anudada como instrumento geométrico
Los antiguos egipcios utilizaban este grupo de triples pitagóricos para medir los ángulos rectos. Hacían nudos en un trozo de cuerda para crear 3, 4 y 5 espacios iguales.
Tres personas sostenían cada esquina de la cuerda y formaban un triángulo rectángulo. Llevando esta herramienta de cuerda por los campos y lugares de construcción, los antiguos egipcios podían asegurarse de que todo estaba limpio y ordenado.
Dado que la geometría sagrada se basa en la proporción armónica, la unidad de distancia -longitud- teóricamente puede ser cualquier unidad. La única herramienta necesaria es un cordón que consta de 12 distancias equiespaciadas.
La distancia unitaria puede ser pequeña o grande, para adaptarse al diseño requerido de obras de arte en un lienzo, estatuas o el diseño de edificios.
Su cuerda era -y sigue siendo, en partes del actual Egipto- una cuerda muy especial que consiste en una cuerda de 13 nudos con 12 distancias equiespaciadas de un codo egipcio (1,72 ′ o 0,5236 m).
Cualquier cuerda de 13 nudos equidistantes es la herramienta básica que se utiliza para establecer varias formas geométricas.
| Elemento | Proporción o medida | Función geométrica |
|---|---|---|
| Primer cateto | 3 unidades | Parte del ángulo recto |
| Segundo cateto | 4 unidades | Parte del ángulo recto |
| Hipotenusa | 5 unidades | Cierra el triángulo |
| Cuerda completa | 13 nudos y 12 intervalos | Permite formar el triángulo 3:4:5 |
Cómo se establece una alineación recta
Los únicos elementos de que posiblemente disponían los egipcios de la época para hacer las comprobaciones necesarias eran la escuadra, la plomada, la cuerda y los jalones.
Las dos primeras combinadas permiten la nivelación con cierta precisión mientras que los siguientes elementos permiten el trazado de alineaciones rectas.
Las alineaciones rectas se pueden hacer colocando dos jalones en los extremos y mediante la alineación visual intercalar nuevos jalones intermedios.
En tramos cortos se pueden, mediante la extensión de cuerdas, colocar puntos intermedios en la alineación.
Una alineación visual permite conservar una dirección sobre el terreno: los jalones intermedios se colocan de modo que queden aparentemente superpuestos cuando se observan desde uno de los extremos.
El eje Norte-Sur de la construcción
El problema de la orientación Norte-Sur de la construcción está bien descrito en los trabajos sobre el tema y nos parece que, siendo un asunto verdaderamente muy importante, es de otro orden en relación con los problemas geométricos de la construcción día a día de la fábrica.
El eje Norte-Sur tuvo que ser fijado al comienzo de la obra y debió de dejarse materializado en el terreno de una manera bastante permanente ya que sería necesario su uso durante mucho tiempo.
La reproducción del mismo es imprescindible para comprobar las sucesivas capas y para el replanteo preciso de Cámaras y Galerías.
La existencia de una dirección de referencia permitía trasladar comprobaciones a distintas fases de la obra, incluso cuando el crecimiento de la estructura hacía desaparecer las marcas iniciales.
Medición de longitudes sobre una línea
Una vez establecida una alineación, para llevar longitudes con precisión sobre ella, se necesitan elementos inextensibles.
Entendemos que las cuerdas que utilizaban no eran en absoluto inextensibles. El único elemento capaz de mantener la rigidez necesaria sería la regla de madera.
Aplicar una regla de madera a una alineación supone cometer un error que se repetirá tantas veces como se haga la aplicación.
Si efectuamos varias veces la operación y tomamos el valor medio, podemos obtener una longitud bastante próxima a la medida teórica que pretendemos colocar.
La cuerda era especialmente útil para establecer proporciones y puntos geométricos, pero su flexibilidad podía introducir variaciones en la medida directa de distancias. La regla rígida permitía trasladar longitudes con mayor estabilidad, aunque cada aplicación sucesiva podía acumular pequeños errores.
Nivelación y control de errores
En cuanto a la nivelación, la utilización conjunta de la plomada y la escuadra permite una nivelación igualmente precisa en pocas pasadas en las longitudes que se manejan en una construcción.
En este caso los errores cometidos se pueden minimizar mediante la utilización de la reiteración. Haciendo la nivelación más de una vez en cada dirección y por diferentes equipos, podemos acotar bastante el error.
Las mediciones efectuadas por Petri en las distintas capas de la pirámide dan errores de nivelación, si nuestra interpretación de sus datos es correcta, hasta de 13.21 cm máximo, con un valor medio de 3.21 cm.
La escuadra y la plomada permitían comprobar simultáneamente la verticalidad y la perpendicularidad. La repetición de las mediciones servía para distinguir una desviación constante de un error ocasional.
El trazado de ángulos rectos
El problema fundamental de la construcción se plantea a la hora de medir y llevar ángulos al terreno. Tenemos que fijar la manera de conseguir el replanteo preciso de ángulos rectos incluso en condiciones de visibilidad obstruida.
Para el trazado de ángulos rectos, los egipcios ya conocían en esa época la escuadra, que vemos que pudo ser utilizada ampliamente en la nivelación.
Además, seguro que conocían la regla de 3, 4, 5 -futuro Pitágoras- y posiblemente el trazado de perpendiculares por intersección de arcos.
Se construirían escuadras muy precisas que permitieran por alineación de jalones, establecer la perpendicularidad de los lados de la base de la pirámide para conseguir un cuadrado lo más perfecto posible.
Experimentalmente se puede comprobar que un triángulo de 3,4,5 m permite errores de 14 minutos sexagesimales. Con un triángulo de 12,16,20 m el error puede bajar a 4 minutos, precisión similar a la del cuadrado de la base.
La ampliación de la escala conserva la misma proporción: 12:16:20 es cuatro veces 3:4:5. Un triángulo mayor permite comprobar la perpendicularidad sobre una distancia más amplia y puede reducir la influencia relativa de pequeñas imprecisiones de colocación.
De la perpendicular al cuadrado
Los triángulos son los componentes básicos de cualquier diseño. La formación más simple es el triángulo equilátero, que se puede trazar con la cuerda egipcia anudada a doce intervalos iguales y enrollada alrededor de tres clavijas de modo que forme tres lados, cada uno de los cuales mide cuatro unidades.
La línea que une desde cualquier esquina hasta el centro del lado opuesto es su perpendicular.
Sin embargo, el origen del diseño del edificio histórico fue el trazado del triángulo 3:4:5 con la cuerda egipcia, enrollada alrededor de tres clavijas de modo que formara tres lados que midieran tres, cuatro y cinco unidades, lo que proporciona un ángulo de 90° entre sus 3 y 4 lados.
Fue una tarea relativamente sencilla diseñar rectángulos y otras figuras geométricas más complejas después de establecer el triángulo rectángulo 3:4:5.
Por ejemplo, se puede establecer un EBCF cuadrado como se muestra a continuación: (A) Construya dos triángulos 3:4:5 con una diagonal común AC. (B) Conecte FE donde FC = EB = 3 unidades.
Este procedimiento muestra cómo una diagonal común puede servir para construir una figura de cuatro lados a partir de dos triángulos rectángulos. En una base cuadrada, la comprobación de las diagonales constituye además una forma de verificar la regularidad general del trazado.
La Gran Pirámide y la geometría de su base
Uno de los ejemplos más impresionantes de las antiguas matemáticas egipcias es la Gran Pirámide de Giza.
Incluso hoy en día, los historiadores y los científicos están desconcertados por el enorme tamaño y la precisión de las pirámides.
La construcción de una pirámide exigía controlar simultáneamente la posición de sus lados, la horizontalidad de las capas, la verticalidad de determinados elementos y la orientación general del conjunto.
El triángulo 3:4:5 podía proporcionar una referencia práctica para construir esquinas rectas y comprobar que los lados de la base se encontraban en ángulo perpendicular.
Eso no significa que todas las proporciones visibles de la Gran Pirámide deban interpretarse como una ampliación directa del triángulo egipcio. La aplicación del triángulo para establecer ángulos rectos es una cuestión distinta de las hipótesis sobre la proporción entre la altura, el semiperímetro y las caras.
Hipótesis geométricas sobre las caras de la Gran Pirámide
En la hipótesis Φ, o sea, en la suposición de que la Gran Pirámide está construida basándose en el número áureo y a la propiedad enunciada por Herodoto de que «el cuadrado de su altura es igual a la superficie de una cara», el ángulo del vértice superior de la cara vale 63º 26' 5, 815 762 519 238 334 340 102 606 368 139 2. "
Aunque este ángulo surge de la diagonal de un doble cuadrado y su complementario es igual a la inclinación del corredor de entrada, es posible construirlo uniendo el ángulo central de un octógono a la mitad del ángulo más agudo del triángulo sagrado egipcio -el que tiene por lados a la hipotenusa y el cateto proporcional a 4.
Idéntico resultado se logra al unir el ángulo más agudo del triángulo sagrado egipcio al menor de los ángulos que forma la diagonal de un doble cuadrado con sus lados mayores.
Respectivamente: 36,869897645844021296855612559093. º sumado a 26,565051177077989351572193720453. º es igual a 63,434948822922010648427806279547. º
Otro triángulo rectángulo notable en la cara
El triángulo rectángulo que resulta de cortar la cara de la pirámide por la apotema es el que tiene en su contorno los lados de un hexágono, un pentágono y un decágono, según un antiguo y conocido teorema geométrico.
Esto es posible solamente si se acepta como hipótesis constructiva la sección áurea.
Diferencias entre las hipótesis constructivas
Hay dos posturas con respecto al criterio constructivo de la Gran Pirámide: una afirma que se intentó una cuadratura del círculo porque el semiperímetro dividido por la altura es próximo a π; la otra es la que contempla la afirmación de Herodoto y considera el número áureo.
La primera es la que tiene el mayor número de adeptos, casi todos ellos basados en criterios empíricos y sin ser matemáticos profesionales. La otra reúne a matemáticos, menos acostumbrados a las mediciones y más dispuestos a las consideraciones teóricas.
Es imposible elegir mediante mediciones una u otra hipótesis, pues entre ambas hay una diferencia de 14,2 centímetros en la altura.
Considerando que la pirámide está truncada y que falta el revestimiento que fue depredado para la construcción de El Cairo, más los errores propios de toda construcción, en un monumento que tiene una base de más de 232 m de longitud, 14 centímetros se pierden dentro de la incertidumbre de las medidas.
Un error del 1 por mil en la base sería ligeramente superior a 23 cm, mientras que en la altura significaría 14,8 cm para la medida más grande que se obtuvo.
Hay casi tantas medidas como medidores. Las medidas más admitidas tienen error inferior al decímetro.
Proporciones semejantes al triángulo 3:4:5
Como todo triángulo rectángulo cumple la siguiente ecuación: x² + y² = z², donde z es la hipotenusa.
Las ternas pueden expresarse mediante x = k(m² - n²), y = k(2mn), z = k(m² + n²), donde m y n son enteros positivos de distinta paridad, con m > n, y k es un entero positivo cualquiera.
Si k = 1 tenemos todas las ternas primitivas y conservando m y n el producto por k cualquiera produce triángulos semejantes de ternas no primitivas, pues k es el divisor común.
La terna 3, 4, 5 es una terna primitiva. Sus ampliaciones incluyen 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; 24, 32, 40 y 36, 48, 60.
| Terna | Relación con 3:4:5 | Uso geométrico |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 1 × | Triángulo egipcio básico |
| 12, 16, 20 | 4 × | Comprobación ampliada de perpendicularidad |
| 24, 32, 40 | 8 × | Triángulo rectángulo semejante |
| 36, 48, 60 | 12 × | Triángulo rectángulo semejante |
Propiedades geométricas y aritméticas
Es el triángulo rectángulo diofántico -las medidas de los lados son números enteros- menor que pueda ser construido y, además, con un cateto y la hipotenusa números primos.
Cuando la terna que forman los lados tiene elementos primos entre sí se denomina terna primitiva.
Los números 40 y 60 en los tres lados de triángulos rectángulos aparecen en las ternas (24, 32, 40) = 8 (3, 4, 5), (9, 40, 41), (40, 42, 58) = 2 (20, 21, 29), (36, 48, 60) = 12 (3, 4, 5), (11, 60, 61) y (60, 63, 87) = 3 (20, 21, 29).
Estas relaciones muestran cómo una misma estructura geométrica puede ampliarse y combinarse con otras ternas enteras sin modificar el principio del ángulo recto.
El área y las interpretaciones simbólicas
El triángulo sagrado egipcio tiene otras propiedades notables. Plutarco señala que su área es 6 -el primer número perfecto- y que el cubo de su área es igual a la suma de los cubos de sus lados.
Platón se basa en esta igualdad para calcular un número que llama «nupcial».
Los pitagóricos calificaban a los números pares como femeninos y a los impares como masculinos. La unidad no era considerada un número, sino el símbolo de la divinidad antes de la creación por la dualidad diferenciadora.
Para la escuela pitagórica el número 5 era el símbolo del matrimonio, la unión de los dos primeros números de distinto sexo.
Estas interpretaciones pertenecen al ámbito simbólico y filosófico de la Antigüedad, mientras que la utilidad constructiva del triángulo 3:4:5 depende de su relación geométrica entre lados y no de esas asociaciones numéricas.
Relaciones musicales y proporcionales
La escala diatónica mayor, debida a Pitágoras, comienza por la nota DO, que corresponde a la unidad, y a una frecuencia de 264 Hz -o ciclos por cada segundo-; continúa RE: 9/8 = 27/24 - 297 Hz; MI: 5/4 = 30/24 - 330 Hz; FA: 4/3 =32/24 - 352 Hz; SOL: 3/2 = 36/24 - 396 Hz; LA: 5/3 = 40/24 - 440 Hz; SI, 15/8 = 45/24 - 495 Hz; DO, 2 = 48/24 - 528 Hz.
La nota FA es la media armónica de la octava y SOL corresponde a sesqui veces el Do inicial.
Tanto el SOL como el DO que completa la octava representan a los catetos del triángulo sagrado egipcio (3/2, 2, 5/2), de igual forma en sus proporciones como en sus frecuencias.
La hipotenusa del triángulo está en la octava siguiente y corresponde a la nota MI, 5/2 = 60/24 - 660 Hz.
Los triángulos (3/2, 2, 5/2), (3, 4, 5) y (396, 528, 660) son semejantes.
El triángulo egipcio y la circunferencia
Si dibujamos un triángulo sagrado egipcio, su recta de Euler parte del vértice del ángulo recto hasta el punto medio de la hipotenusa.
El vértice del ángulo recto es el ortocentro y en la mitad de la hipotenusa se halla en circuncentro, que permite trazar la circunferencia que circunscribe al triángulo.
Esa recta divide al triángulo en dos triángulos isósceles.
La cuerda egipcia se puede utilizar como compás para dibujar curvas circulares.
Otras formas, como el triángulo o rectángulo Neb -dorado- 8:5, también se pueden establecer con el cordón egipcio.
El símbolo jeroglífico del neter -dios- Re, la fuerza creativa cósmica, es el círculo.
Geometría sagrada y proporción
Para los antiguos egipcios, la geometría era mucho más que un estudio de puntos, líneas, superficies y sólidos y sus propiedades y medidas.
La armonía inherente a la geometría fue reconocida en el Antiguo Egipto como la expresión más convincente de un plan divino que subyace al mundo: un plan metafísico que determina lo físico.
Para los antiguos egipcios, la geometría era el medio por el cual la humanidad podía comprender los misterios del orden divino.
La geometría existe en todas partes de la naturaleza: su orden subyace a la estructura de todas las cosas, desde las moléculas hasta las galaxias.
La naturaleza de la forma geométrica permite su funcionamiento. Un diseño que utilice los principios de la geometría sagrada debe lograr el mismo objetivo: utilizar la forma para servir o representar una función.
Heródoto, el padre de la historia y nativo de Grecia, declaró en el año 500 a.C.: «Las obras del Antiguo Egipto, grandes o pequeñas, son admiradas por todos porque son proporcionalmente armoniosas y, como tales, apelan tanto a nuestros sentimientos internos como externos».
Este concepto de diseño armónico se conoce popularmente como geometría sagrada, donde todas las figuras se pueden dibujar o crear usando una línea recta -ni siquiera necesariamente una regla- y un compás, es decir, sin medidas, dependiendo únicamente de la proporción.
El cordón de doce intervalos
Los templos y otros edificios del Antiguo Egipto se disponían en una ceremonia religiosa.
Este diseño fue realizado por personas muy conocedoras que los griegos conocen como harpedonaptae.
Los harpedonaptae son el pueblo que se adhirió estrictamente a los principios de la geometría sagrada, utilizando únicamente una línea recta y un compás.
El cordón de doce intervalos podía adaptarse a diferentes escalas porque el resultado dependía de la relación entre sus segmentos y no de una longitud absoluta única.
La cuerda podía servir para establecer líneas, triángulos, cuadrados, círculos y otras construcciones geométricas. En este sentido, el mismo instrumento podía intervenir tanto en el diseño de una obra pequeña como en el replanteo de una estructura arquitectónica.
El sarcófago de la Cámara del Rey
El paralelepípedo de la Cámara del Rey, también llamado sarcófago por algunos, aunque no hay prueba arqueológica de que haya sido tal, ni que la cámara fuera efectivamente la del rey, tiene propiedades remarcables de la geometría de los poliedros regulares y de la esfera.
Entre las cosas más sencillas que se pueden mencionar se halla que es el único paralelepípedo recto rectángulo -ortoedro- que tiene una base igual a un doble cuadrado simultáneamente con un rectángulo diagonal igual a un doble cuadrado y otro de sus rectángulos diagonales es igual a la reunión de dos triángulos sagrados egipcios.
Esta descripción relaciona el interior de la cámara con construcciones geométricas basadas en cuadrados, diagonales y triángulos rectángulos.
Las matemáticas antiguas como conocimiento práctico
El tipo de matemáticas antiguas que veremos en este artículo procede de Egipto, entre los años 3000 y 2000 a. C. Esta fue la época de las primeras matemáticas registradas que los historiadores han encontrado.
Los pueblos de las civilizaciones antiguas tenían muchos de los mismos problemas que tenemos ahora: necesitaban medir la tierra, dividir los recursos, construir estructuras sólidas y seguir los cambios de las estaciones y el clima.
Estas cuestiones prácticas son las que inspiraron a los primeros matemáticos antiguos a crear sus propios sistemas numéricos y aritméticos.
Una de las cosas increíbles de las matemáticas es que sus reglas y principios se mantienen casi siempre igual a lo largo de la historia.
Esto significa que las matemáticas utilizadas por los pueblos antiguos son, en esencia, las mismas que utilizamos hoy.
Muchas culturas diferentes a lo largo de la historia aprendieron cosas como el Teorema de Pitágoras mucho antes de que recibieran los nombres con los que hoy los reconocemos.
Algunas personas llaman a las matemáticas el «lenguaje universal», porque pueden ser compartidas por todas las culturas sin importar las barreras de los diferentes idiomas y dialectos.
Qué permite explicar el triángulo egipcio
El triángulo egipcio explica una solución sencilla para uno de los problemas fundamentales del replanteo: construir una esquina de 90° sobre el terreno.
La cuerda anudada aporta una forma reproducible de establecer las proporciones 3, 4 y 5; los jalones permiten prolongar las direcciones; la escuadra ayuda a comprobar la perpendicularidad; la plomada permite controlar la verticalidad; y la regla de madera sirve para trasladar longitudes.
La combinación de estos procedimientos podía producir una red de líneas rectas, perpendiculares y niveles suficientemente precisa para una obra de grandes dimensiones.
La existencia del triángulo 3:4:5 no demuestra por sí sola que toda la Gran Pirámide se diseñara conforme a una única fórmula matemática. Sí muestra, en cambio, que una proporción entera sencilla podía resolver de manera práctica el trazado de ángulos rectos y formar parte de un sistema más amplio de alineación, medición y control.
CONSTRUCCIÓ DE UN ÁNGULO RECTO EN EGIPTO TENSANDO CUERDAS
Es fascinante ver cómo algunos de los primeros matemáticos del mundo empezaron a dar sentido a conceptos con los que hoy estamos tan familiarizados.
A veces damos por sentada nuestra comprensión de los triángulos, pero en su día formó parte de descubrimientos revolucionarios.
Cuando observamos la historia de las matemáticas en su conjunto, podemos ver las hermosas formas en que diferentes personas llegaron a entender las mismas ideas.
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