Un triángulo equilátero puede dividirse en tres partes de igual área trazando desde un vértice segmentos que llegan a dos puntos que dividen el lado opuesto en tres partes iguales. Si, además, se trazan paralelas adecuadamente, es posible construir una partición regular en pequeños triángulos equiláteros.
Cuando los tres lados de un triángulo equilátero se dividen en tres partes iguales y se trazan por los puntos de división paralelas a los otros lados, se obtienen 9 triángulos equiláteros cuyos lados tienen una longitud igual a la tercera parte de la longitud de los lados originales.
Cómo dividir un triángulo en tres partes equivalentes
Para dividir un triángulo en 3 partes equivalentes, se traza una semirrecta desde el vértice elegido y se divide en 3 partes iguales. En la figura de abajo, trazo AD en color rojo.
El último punto obtenido, D, en esta semirrecta se une con el vértice contrario, B, mediante el trazo DB, y se trazan paralelas a este segmento partiendo de los puntos en que se ha dividido la semirrecta inicial. Se obtienen los trazos HF y GE.
Así se tiene dividido en partes iguales el lado AB, que enfrenta a la semirrecta trazada. Cada nuevo punto obtenido, E y F, en dicho lado se une con el vértice opuesto, C, al lado, y se obtienen, a partir de ese vértice, tantos triángulos equivalentes como divisiones se hayan realizado.
El procedimiento permite dividir un triángulo en tres regiones de igual área sin que las regiones tengan que ser triángulos equiláteros. La igualdad de las áreas se obtiene porque los segmentos parten del mismo vértice y dividen el lado opuesto en longitudes iguales.
División regular de un triángulo equilátero
Si dividimos los lados de un triángulo equilátero en 4, 5, 6 o más partes, obtendremos figuras con un mayor número de triángulos. Las paralelas trazadas por cada punto de división forman triángulos equiláteros menores orientados hacia arriba y hacia abajo.
Si dividimos los lados de un triángulo equilátero en n partes iguales y dividimos el triángulo en tantos triángulos equiláteros como sea posible, obtenemos n² triángulos equiláteros cuyos lados tienen una longitud igual a (1/n) · a, siendo a la longitud de los lados originales.
| División de cada lado | Número total de triángulos equiláteros | Longitud del lado pequeño |
|---|---|---|
| 3 partes | 9 | (1/3) · a |
| n partes | n² | (1/n) · a |
La razón de semejanza entre el triángulo original y cada triángulo pequeño es 1/n, y la razón entre sus áreas es 1/n². Por lo tanto, en el triángulo original caben exactamente n² triángulos del tamaño correspondiente.
Triángulos de cada fila
Al numerar las diferentes filas de triángulos que se forman al dividir los lados en n partes iguales, la primera fila, la del vértice superior, contiene 1 triángulo.
En la fila enésima, la recta inferior está dividida en n partes, que son las bases de n triángulos, mientras que la recta superior está dividida en n − 1 partes, que son las bases de n − 1 triángulos.
Por consiguiente, la fila n contiene:
n + (n − 1) = 2n − 1
Con razonamiento análogo, la fila k tendrá 2k − 1 triángulos. Así, el número de triángulos de las primeras filas sigue la sucesión:
| Fila | Número de triángulos |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| k | 2k − 1 |
| n | 2n − 1 |
La suma de las cantidades de triángulos de todas las filas es:
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
De este modo se constata de nuevo que el número total de triángulos equiláteros iguales en los que se puede dividir un triángulo equilátero es un número cuadrado.
Por qué aparecen cuadrados perfectos
Cada vértice del triángulo equilátero de partida tiene que ser vértice de uno de los triángulos equiláteros menores que constituyen la partición.
Si el triángulo original ABC tiene lado L, el triángulo pequeño debe tener un lado L/n para que la base del triángulo pequeño quepa un número entero de veces en la base de ABC.
La razón de semejanza entre los triángulos ABC y A’BC’ será 1/n y la razón entre sus áreas será 1/n². Por lo tanto, en el triángulo ABC caben exactamente n² triángulos del tamaño A’BC’.
Por consiguiente, cualquier triángulo equilátero se puede dividir en un número cuadrado de triángulos equiláteros iguales. Como 20 no es un cuadrado perfecto, no se puede dividir en veinte triángulos equiláteros iguales.
Sin embargo, se puede dividir en triángulos equiláteros desiguales. En una de las configuraciones aparecen 1, 3, 7 y 9 triángulos equiláteros de la primera a la última fila.
Eliminación de los triángulos de las esquinas
Si al efectuar la división de los lados en partes iguales quitamos después los triángulos de las esquinas, obtenemos un hexágono cuya área varía dependiendo del número de partes iguales en que hayamos dividido los lados.
Al dividir cada lado del triángulo original en n partes iguales, cada triángulo de esquina tiene lados cuya longitud es 1/n de los lados originales. Como la razón entre las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza, cada uno de esos triángulos ocupa una porción 1/n² del área total.
Hay tres triángulos de esquina, uno en cada vértice. Por tanto, la porción del área que se elimina al quitar las esquinas es:
3/n²
La porción del área que permanece en el hexágono es:
1 − 3/n²
| Elemento | Porción del área original |
|---|---|
| Cada triángulo de esquina | 1/n² |
| Tres triángulos de esquina | 3/n² |
| Hexágono restante | 1 − 3/n² |
¿Se puede dividir un triángulo equilátero en 20 triángulos iguales?
Un triángulo equilátero no se puede dividir en 20 triángulos equiláteros iguales, porque el número de piezas iguales debe ser un cuadrado perfecto.
Los números que pueden aparecer en una división regular de este tipo son 1, 4, 9, 16, 25 y, en general, n². El número 20 no pertenece a esta sucesión.
La imposibilidad se refiere a triángulos equiláteros iguales. Un triángulo equilátero sí puede dividirse en triángulos equiláteros de tamaños diferentes, como muestran las configuraciones con 1, 3, 7 y 9 triángulos en filas sucesivas.
División en seis, siete y ocho triángulos equiláteros
Un triángulo equilátero se puede dividir en cuatro triángulos equiláteros iguales trazando las tres paralelas medias.
También se puede dividir un triángulo equilátero en seis, siete y ocho triángulos equiláteros mediante configuraciones que no corresponden a una subdivisión regular de todos los lados en el mismo número de partes.
A partir de la división de un triángulo equilátero en seis triángulos equiláteros, se puede dividir sucesivamente uno de los triángulos menores en cuatro partes iguales. En cada paso, el número total de triángulos aumenta en tres.
Después de n pasos, el número de triángulos es:
6 + 3n = 3(n + 2)
Esta expresión representa un múltiplo de tres.
A partir de la división de un triángulo equilátero en siete triángulos equiláteros, se puede repetir el mismo procedimiento. En cada paso, el número de triángulos aumenta en tres y, después de n pasos, se obtiene:
7 + 3n = 3(n + 2) + 1
Esta expresión representa un múltiplo de tres más uno.
A partir de la división de un triángulo equilátero en ocho triángulos equiláteros, también se puede dividir sucesivamente uno de los triángulos menores en cuatro partes iguales. En cada paso, el número de triángulos aumenta en tres y, después de n pasos, se obtiene:
8 + 3n = 3(n + 2) + 2
Esta expresión representa un múltiplo de tres más dos. Como cualquier número natural es un múltiplo de tres, un múltiplo de tres más uno o un múltiplo de tres más dos, se puede dividir un triángulo equilátero en cualquier número de triángulos equiláteros a partir de las configuraciones adecuadas.
¿Es posible dividir un triángulo equilátero en cinco triángulos?
El triángulo ABC no puede dividirse en menos de cuatro triángulos equiláteros cuando se buscan piezas equiláteras que puedan formar una partición completa.
Partiendo del vértice B, se puede construir el triángulo equilátero BDE, con DE paralela a la base AC.
El trapecio ADEC no se puede dividir en cuatro triángulos equiláteros. En el ángulo ADE, de 120°, entran necesariamente dos triángulos equiláteros, igual que en el ángulo DEC.
El trapecio ADEC admite como división con número mínimo cinco triángulos equiláteros. Junto con el triángulo BDE, esto produce seis triángulos.
El razonamiento puede resumirse considerando que se podrían formar tres triángulos sin dividir la base menor, lo que llevaría a dividir el triángulo equilátero en cuatro triángulos.
En cualquier otro caso, teniendo en cuenta que en el ángulo ADE de 120° entran necesariamente dos triángulos equiláteros, habrá k triángulos con un vértice hacia abajo y base en la base menor del trapecio, y k + 1 con el vértice hacia arriba y base en la base mayor del trapecio.
Entonces, en el trapecio habrá siempre:
(k + 1) + k = 2k + 1
triángulos equiláteros, que es un número impar. Esto significa que en el trapecio se formará un número impar de triángulos, y la configuración completa conduce a seis piezas en el caso mínimo descrito.
Dividir un triángulo en varias partes de igual área
La división en partes equivalentes no exige que las piezas sean triángulos equiláteros iguales. El objetivo puede ser obtener varias regiones con la misma área.
Para dividir un triángulo dado en varias partes equivalentes a partir de un lado, se puede operar de la siguiente manera.
Con el compás, se traza el semicírculo entre A y C, con centro en A y diámetro AC.
Se divide el lado deseado en tantas partes iguales como se quiera; por ejemplo, se obtienen los puntos 1, 2, 3 y 4 en el segmento AC.
Desde cada uno de estos puntos se eleva una perpendicular hasta cortar el semicírculo anterior. Así se obtienen los puntos 1, 2, 3 y 4 en dicho semicírculo.
Con el compás, se hace centro en A y, con radio A-1, se describe un arco hasta tocar el segmento AC, obteniendo el punto E.
Con centro en A y radio A-2, se describe un arco hasta tocar el segmento AC, obteniendo el punto C.
Con centro en A y radio A-3, se describe un arco hasta tocar el segmento AC, obteniendo el punto I.
Con centro en A y radio A-4, se describe un arco hasta tocar el segmento AC, obteniendo el punto K.
Desde estos nuevos puntos del segmento AC se trazan paralelas a BC. Resultan los segmentos EF, CH, IJ y KL, todos paralelos a BC, que dividen el triángulo en 5 partes equivalentes en área.
División de un triángulo en cinco partes equivalentes
Para dividir el triángulo ABC en 5 partes equivalentes partiendo del lado B y llegando al lado C, se emplea una construcción auxiliar con un semicírculo.
El semicírculo permite transformar las divisiones realizadas sobre el segmento AC en distancias que, mediante arcos y paralelas, producen regiones de igual área.
Los segmentos EF, CH, IJ y KL, trazados paralelos a BC, entregan el triángulo dividido en 5 partes equivalentes en área.
Dividir un Segmento en Partes Iguales (Trazados Básicos Dibujo Técnico).
Relación entre las dos formas de partición
Hay que distinguir entre dividir un triángulo equilátero en triángulos equiláteros iguales y dividir un triángulo cualquiera en regiones de igual área.
En la primera situación, si cada lado se divide en n partes iguales y se trazan todas las paralelas correspondientes, aparecen n² triángulos equiláteros iguales, y la fila n contiene 2n − 1 triángulos.
En la segunda situación, las regiones pueden tener formas distintas y no tienen que ser equiláteras. Para obtener tres partes equivalentes basta dividir el lado opuesto a un vértice en tres segmentos iguales y unir los puntos de división con el vértice contrario.
Por tanto, la expresión n² describe el número de triángulos equiláteros iguales de una malla regular, mientras que la división en tres partes iguales describe una partición de igual área.