Las fracciones representan números que pueden contar cantidades que no son enteras sino que son partes de una unidad. Estas partes tienen la propiedad de ser el resultado de dividir a la unidad en pedazos del mismo tamaño, por ejemplo en mitades o tercios.
Para resolver operaciones con fracciones es necesario reconocer el significado de cada operación, distinguir entre denominadores iguales y distintos, transformar números enteros o mixtos cuando sea necesario, simplificar los resultados y comprobar que la respuesta sea coherente con la situación planteada.
Conceptos fundamentales sobre fracciones
Fracción Simple o Propia: Es una fracción donde el numerador es menor que el denominador, por ejemplo, 1⁄2, 3⁄7, 99⁄100, etc. Fracción Impropia: Es una fracción donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo, 3⁄2, 7⁄3, 100⁄99, etc. Fracción Mixta: Es una fracción compuesta de un número entero y una fracción propia, por ejemplo, 1 1⁄2, 2 1⁄3, 1 1⁄99, etc.
Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad aunque tengan numeradores y denominadores diferentes. Para obtener una fracción equivalente se multiplica o divide el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.
| Tipo de fracción | Característica | Ejemplos |
|---|---|---|
| Propia | El numerador es menor que el denominador. | 1⁄2, 3⁄7, 99⁄100 |
| Impropia | El numerador es mayor que el denominador. | 3⁄2, 7⁄3, 100⁄99 |
| Mixta | Está compuesta por un número entero y una fracción propia. | 1 1⁄2, 2 1⁄3, 1 1⁄99 |
Suma de fracciones
Suma de fracciones con igual denominador
Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador. El denominador indica en cuántas partes iguales se dividió la unidad, mientras que el numerador indica cuántas de esas partes se consideran.
Por ejemplo, para sumar 1⁄10 + 3⁄10 + 2⁄10, se suman los numeradores y se mantiene el denominador: 1⁄10 + 3⁄10 + 2⁄10 = 6⁄10. Luego se simplifica la fracción dividiendo numerador y denominador entre 2: 6⁄10 = 3⁄5.
Andrea comió 1/10 de pastel en el desayuno, 3/10 en el almuerzo y 2/10 en la cena. ¿Cuánto pastel comió en total?
Debes identificar la operación que se necesita para resolver el problema, en este caso, se requiere juntar las 3 cantidades, y la operación que junta es la suma.
Respuesta: Andrea comió 3/5 del pastel.
Suma de fracciones con distinto denominador
Cuando el denominador es distinto, tenemos que realizar más operaciones: cambiar las fracciones por otras equivalentes para que tengan el mismo denominador y así poder sumarlas (sumando sus numeradores).
Se utiliza el mcm de los denominadores como denominador común y se cambian los numeradores por el resultado de dividir el nuevo denominador entre el antiguo y multiplicarlo por el antiguo numerador.
El mínimo común múltiplo es el menor número positivo que es múltiplo común de dos o más números. Para sumar fracciones con denominadores distintos, se busca un denominador común y luego se transforma cada fracción en una equivalente.
Método 1: utilizar el mínimo común múltiplo
Consiste en utilizar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores: siendo \(s\) el mínimo común múltiplo de los denominadores \(a\) y \(b\).
Se utiliza el mcm de los denominadores como denominador común y se cambian los numeradores por el resultado de dividir el nuevo denominador entre el antiguo y multiplicarlo por el antiguo numerador.
Método 2: multiplicar por los denominadores
Al multiplicar numerador y denominador por el denominador de la otra fracción se consigue que ambos denominadores sean iguales, lo que nos permite sumar las fracciones fácilmente.
Aunque ambos métodos son válidos, recomendamos el método del mcm (mínimo común múltiplo) ya que en el que segundo tenemos que calcular productos y sumas de números que pueden ser grandes y los resultados son fracciones que normalmente se tienen que simplificar.
Daniela corrió 11/4 de km en la mañana y 27/5 de km en la tarde.¿Cuánto corrió en total?
De forma similar que en el ejemplo anterior se requieren juntar las 2 cantidades, y la operación que junta es la suma.
Sumaremos las fracciones, para esto observamos que las fracciones tienen diferente denominador, por lo que debemos calcular un denominador común, y también multiplicar cada numerador como se muestra a continuación.
Respuesta: Daniela corrió 163/20 de km en total.
Ejemplo de suma en una situación cotidiana
Julián borda flores en un pañuelo, para cada flor chica ocupa 2/3 de metro de hilo de bordar y para una flor mediana 5/6 de metro. Si planea bordar 2 flores chicas y una mediana ¿cuánto hilo va a necesitar?
Para calcular el total de hilo debes sumar el hilo necesario para cada flor. Primero vamos a sacar el hilo que se necesita para las 2 flores chicas y luego le sumaremos el hilo de la mediana.
Para las 2 flores chicas necesitamos: 2 × 2⁄3 = 4⁄3.
Ahora, a lo anterior, sumamos el hilo de la flor mediana: 4⁄3 + 5⁄6 = 8⁄6 + 5⁄6 = 13⁄6.
Simplificamos la fracción anterior dividiendo numerador y denominador entre dos cuando corresponde. Respuesta: Julián necesita 13/6 de metro para bordar dos flores chicas y una mediana.
Resta de fracciones
La resta de fracciones permite calcular diferencias, determinar cuánto falta para alcanzar una cantidad o saber cuánto queda después de quitar una parte.
Si las fracciones tienen el mismo denominador, se restan los numeradores y se conserva el denominador. Si tienen denominadores diferentes, primero se transforman en fracciones equivalentes con un denominador común.
Resta de una fracción a un número entero
Si tengo $3/4, ¿Cuánto me falta para tener $2?
Como queremos conocer una diferencia, la operación que tenemos que hacer es una resta.
Para saber cuánto falta para llegar a $2, planteamos la resta. Transformamos el número entero 2 en su expresión como fracción: 2 = 2⁄1.
Resolvemos la resta encontrando un denominador común, para lo cuál multiplicamos los denominadores. También multiplicamos cada numerador por el denominador de la otra fracción, es decir el 2 por 4, el 3 por 1, y luego restamos.
Transformamos 5/4 a fracción mixta, dividiendo el numerador entre el denominador y adicionando como fracción el residuo de la división sobre el denominador.
Respuesta: me falta $1 1/4 para llegar a $2.
Resta de fracciones con distinto denominador
Una costurera tiene 2/3 de metro de tela y necesita 5/2 metros para hacer un vestido.¿Cuánto le falta?
La operación que resuelve este problema es una resta puesto que se busca una diferencia.
Restamos 5/2 menos 2/3, como los denominadores son diferentes, tenemos que calcular el denominador común y hacer las multiplicaciones correspondientes.
Transformamos los 11/6 en fracción mixta. Respuesta: La costurera necesita 1 5/6 m de tela para hacer un vestido.
Comparación mediante una resta
¿Cuánto aumenta o disminuye 7/9 si añadimos 1 al numerador y 4 al denominador?
Primero tenemos que obtener la fracción aumentada siguiendo el planteamiento del problema. Después utilizamos una resta ya que se busca una diferencia.
Obtenemos la nueva fracción a partir de 7/9 sumándole 1 al numerador y 4 al denominador. Para comparar las dos fracciones 7/9 y 8/13 calculamos fracciones equivalentes que tengan un denominador común.
Podemos reconocer que la fracción 7/9 disminuyó al transformarse de 91/117 a 72/117. Cuánto se redujo lo calculamos restando. Respuesta: la fracción 7/9 disminuyó 19/117.
Problemas que combinan suma y resta
En algunos problemas es necesario realizar más de una operación. Primero se suman las cantidades parciales y luego se resta el resultado a la unidad o a la cantidad total.
Moisés usa 1/3 del día durmiendo, 1/6 comiendo y 2/5 estudiando. ¿Cuánto tiempo libre le queda?
Se deben hacer dos operaciones: primero la suma de los tiempos indicados en cada actividad, luego restar a un día, la cantidad calculada.
Primero debemos sumar las fracciones de tiempo que usa Moisés. Como tienen diferente denominador, calculamos el denominador común que es 30 puesto que 30 es múltiplo de 3, 5 y 6.
Determinamos las constantes por las cuales se debe multiplicar a 3, 5 y 6 para obtener 30: 10 para el caso de tercios, 6 para quintos y 5 para sextos. Luego sumamos los numeradores transformados.
La suma es 10⁄30 + 5⁄30 + 12⁄30 = 27⁄30 = 9⁄10. Restamos a 1 día los 9/10 que Moisés emplea en sus actividades.
Respuesta: Moisés tiene 1/10 del día libre.
Tres tejedoras tienen que tejer un mantel. Una teje 1/5, otra teje 3/8 ¿Cuánto tiene que tejer la tercera?
Las operaciones que debemos hacer son una suma y una resta. La suma es de la cantidades que tejieron la primera y segunda tejedora. Luego se debe restar esta cantidad a un entero que representa la totalidad del mantel.
Sumamos lo que han tejido las dos tejedoras: 1⁄5 + 3⁄8 = 8⁄40 + 15⁄40 = 23⁄40. A la unidad, un mantel, le restamos los 23/40 que hicieron las dos tejedoras.
Respuesta: a la tercera tejedora le toca tejer 17/40 del mantel.
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Después se simplifica el resultado si es posible.
La multiplicación permite calcular una fracción de otra cantidad, repetir una cantidad fraccionaria o ajustar una medida. Si se multiplica por una fracción menor que 1, el resultado suele ser menor que la cantidad inicial; si se multiplica por una fracción mayor que 1, el resultado suele ser mayor.
Multiplicación como repetición de una cantidad
Un reloj adelanta 3/7 de minuto cada hora. ¿Cuánto adelantará en una semana?
Para encontrar la respuesta debemos multiplicar el atraso de cada hora por el total de horas en una semana.
Calculamos la cantidad de horas que hay en una semana. Sabemos que una semana tiene 7 días con 24 horas cada día: 7 × 24 = 168 horas.
Cada hora el reloj adelanta 3/7 de minuto, por lo que multiplicamos este número por el número total de horas en una semana: 168 × 3⁄7 = 72.
Respuesta: en una semana, el reloj habrá adelantado 72 minutos, es decir, 1 hora y 12 minutos.
Multiplicación de una medida por una cantidad
Un metro de tela cuesta $10/2. ¿Cuánto cuestan 5/2 metros de tela?
Para encontrar el resultado necesitamos multiplicar el costo por metro, por la cantidad de metros.
Multiplicamos lo que cuesta el metro de tela por la cantidad de tela: 10⁄2 × 5⁄2 = 50⁄4.
Simplificamos la fracción que es divisible por 2. Respuesta: 5/2 de tela cuestan $12 1/2.
Multiplicación para ajustar una receta
Para hacer un pastel se requieren 3/5 de taza de harina. Si queremos hacer 3/2 de pastel ¿cuánta harina se necesita?
Se multiplica la cantidad de harina para un pastel por la cantidad de pastel que queremos hacer.
Planteamos la multiplicación y resolvemos: 3⁄5 × 3⁄2 = 9⁄10.
Respuesta: Para hacer 3/2 de pastel se necesitan 9/8 de taza de harina.
División de fracciones
La división de fracciones permite determinar cuántas veces cabe una cantidad en otra, repartir una cantidad en partes iguales o calcular cuántas porciones se pueden obtener.
Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda. El inverso de una fracción se obtiene intercambiando su numerador y su denominador.
Cuando se divide un número entero entre una fracción, primero se transforma el entero en una fracción con denominador 1.
División de una cantidad entre una fracción
Firulais, el perro, se come 2/3 de taza de alimento por día. Si un contenedor de alimento nuevo tiene 30 tazas de alimento ¿Cuántos días alcanza para alimentar a Firulais?
Para resolver este problema debemos dividir porque se busca repartir el contenido del contenedor en partes iguales de tamaño 2/3.
Se plantea la división y convierte el entero 30 a fracción: 30⁄1 ÷ 2⁄3 = 30⁄1 × 3⁄2 = 90⁄2 = 45.
Respuesta: el contenedor completo alimentaría a Firulais por 45 días.
División de longitudes
Lucio tiene un carrete de listón que utiliza para hacer moños. Si carrete mide 50/4 de metro y para cada moño ocupa 4/5 de metro ¿Para cuantos moños alcanza un carrete?
Necesitamos hacer una división porque se requiere dividir una longitud en pedazos más pequeños de mismo tamaño.
Planteamos la división del total del carrete entre la longitud para hacer cada moño: 50⁄4 ÷ 4⁄5 = 50⁄4 × 5⁄4 = 250⁄16.
Hacemos la división y simplificamos. Respuesta: Lucio puede hace 15 moños y le sobrará 5/8 de metro.
División para calcular porciones
Un pastel de 7/4 de kilo, se divide en porciones de 1/12 de kilo ¿Cuántas porciones salen?
Debes dividir el total del pastel, en peso, entre el tamaño de las porciones, en peso.
Escribimos la división y resolvemos: 7⁄4 ÷ 1⁄12 = 7⁄4 × 12⁄1 = 84⁄4 = 21.
Simplificamos la fracción. Respuesta: Salen 21 porciones de 1/12 de kilo.
Operaciones con fracciones mixtas
Para operar con fracciones mixtas suele ser conveniente transformarlas primero en fracciones impropias. Para transformar una fracción mixta en una fracción impropia se multiplica el número entero por el denominador y se suma el numerador; el resultado se escribe sobre el mismo denominador.
Una persona debe 200 pesos y paga 50 1/4 pesos ¿Cuánto le falta por pagar?
Tenemos que convertir de números mixtos a fracciones impropias, además de utilizar las operaciones suma, resta, multiplicación o división.
Transformamos la fracción mixta en una fracción impropia, multiplicando el número entero por el denominador y sumamos la parte fraccionaria: 50 1⁄4 = 201⁄4.
Restamos a 200 pesos los 201/4 que la persona pagó: 200 − 201⁄4 = 800⁄4 − 201⁄4 = 599⁄4.
Transformamos la fracción impropia en una fracción mixta. Respuesta: a la persona le falta pagar 149 3/4 pesos.
Un agricultor trabaja 10 1/4 metros de tierra en 1/2 hora ¿Cuántos metros trabajará en 4 3/4 de hora?
Resolver este problema requiere convertir las fracciones mixtas en fracciones impropias. Luego debemos calcular cuántas medias horas caben en 4 3/4 de hora.
Primero transformamos las fracciones mixtas 4 3/4 y 10 1/4. Calculamos cuantas 1/2 horas hay en 19/4 de hora; para eso dividimos 19/4 entre 1/2.
Multiplicamos 19/2 por 41/4 y simplificamos. Respuesta: el agricultor trabajará 97 3/8 de metros en 4 3/4 de hora.
Cómo comparar y ordenar fracciones
Hay muchas otras estrategias diferentes para comparar fracciones además de quedarse mirando a la página. Intente comenzar con alguna ayuda visual que represente las fracciones en cuestión.
Debemos mencionar también que las cosas que se comparan deben ser las mismas. Cada tira de fracciones, por ejemplo, es del mismo tamaño, pero si se comparase un tercio de un melón contra una mitad de una uva, posiblemente gane el melón.
Otra estrategia buena para comparar fracciones, es usar una recta numérica y emplear marcas como 0, 1, 1/2 para poder ver dónde va cada fracción, y luego poder decir cuál es mayor.
Los estudiantes de hecho hacen esto todo el tiempo, ya que muchas veces pueden comparar fracciones reconociendo que una es menor que un medio y la otra es mayor que un medio. También pueden ser capaces de ver que una fracción es mucho más cercana a la unidad que la otra, aunque ambas sean mayores que un medio.
Otra estrategia para comparar fracciones consiste en convertir cada fracción a un decimal, y comparar los decimales. Las conversiones decimales pueden memorizarse, especialmente las fracciones comunes, calculadas con división larga, o viendo una tabla.
Muchas de las estrategias que sirven para comparar fracciones también para ordenar fracciones. Usar manipulables tales como las tiras de fracciones, usar rectas numéricas, o hallar los equivalentes decimales, hará que sus alumnos coloquen las fracciones en el orden correcto en un abrir y cerrar de ojos.
Probablemente ya hayamos dicho esto, pero asegúrense de enfatizar que a la hora de comparar, el total debe ser el mismo. Comparar la mitad de la población de Canadá con un tercio de la de los Estados Unidos no tiene sentido.
Problemas integrados con fracciones
Una persona posee 3/4 de las acciones de una compañía y vende 3/11 de su parte por $7290. ¿Cuál es el valor de la compañía?
Lo que tenemos que encontrar es el valor del 100% de las acciones, a partir de que conocemos cuánto vale una fracción de las acciones.
Calculamos qué parte de la compañía vendió la persona, es decir 3/11 de 3/4, multiplicando la fracción que posee por la fracción que vendió: 3⁄4 × 3⁄11 = 9⁄44.
Como en este momento desconocemos el valor de la compañía, lo denotamos por x. Entonces (9/44)x de la compañía tiene un valor de $7290, así que despejamos x para calcular el valor de la compañía completa.
Respuesta: El valor de la compañía es $35640.
La edad de Isabel es 5/6 de los de Fabián, y 4/5 de la edad de Fabián equivalen a 24 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Primero debemos encontrar la edad de Fabián y luego la de Isabel.
Si 4/5 de la edad de Fabián son 24 años, calculamos la edad completa que denotamos por x. Sabiendo que la edad de Fabián es 30 años, calculamos los 5/6 de 30 y esa será la edad de Isabel.
Respuesta: Isabel tiene 25 años y Fabián tiene 30 años.
Estrategias para aprender y comprobar procedimientos
Es importante que las y los estudiantes tengan acceso a diversos portadores de información que traigan a escena esos conocimientos para quienes necesiten consultarlos al resolver los nuevos problemas.
La gran cantidad de problemas busca ofrecer oportunidades de aproximarse, desde distintas aristas, a un mismo contenido, detenerse por un tiempo a resolver problemas, explorar formas de resolver, comparar diversos procedimientos, analizar errores, discutir ideas, tomar conciencia de lo que se va aprendiendo y registrar conclusiones.
Como en otros materiales, incluimos varias instancias de reflexión sobre lo realizado. Estas situaciones plantean retornar sobre los problemas matemáticos y sobre los diversos procedimientos desplegados para resolverlos: detenerse y volver atrás es fundamental para avanzar, porque los conocimientos movilizados durante la resolución suelen funcionar de manera implícita y podrían permanecer en ese estado de no mediar situaciones que requieran su explicitación.
Es importante reservar un primer acercamiento individual para que cada alumna o alumno tenga un espacio propio para analizar el problema matemático propuesto, movilice los conocimientos que considere pertinentes y ensaye un primer camino de resolución.
Asimismo, es importante ofrecer momentos de trabajo con otras y otros, dada la potencialidad de las interacciones entre pares para la construcción y el avance de los conocimientos.
Anticipar las posibles respuestas que pueden surgir en la clase pone a las y los docentes en mejores condiciones de intervenir frente a la diversidad de procedimientos y de organizar espacios de debate que permitan analizarlos, compararlos e identificar las ventajas de unos respecto de otros.
Es importante valorar lo que cada estudiante sabe y pone en acción, y permitir que sigan utilizándolo mientras lo necesiten. Incluso conviviendo con los nuevos procedimientos que van aprendiendo hasta que confíen en ellos, por ejemplo, contar o sumar para controlar los resultados que obtienen al usar los nuevos cálculos para multiplicar.
Secuencia práctica para trabajar las cuatro operaciones
Sesión 1: suma y resta de fracciones
El propósito de la sesión es conectar con lo que ya saben sobre fracciones y presentar la suma y resta de fracciones como herramientas para resolver problemas cotidianos.
El docente muestra varias piezas de fracciones recortables, por ejemplo, medias y cuartos, y pregunta: “¿Qué fracción representa esta pieza? ¿Cuántas piezas hacen un entero?”
El docente presenta esta situación: “Si tienes 1/2 de una pizza y tu amigo te da 1/4 más, ¿cuánta pizza tienes en total?”
El docente explica que sumar y restar fracciones es útil para repartir alimentos, medir ingredientes o compartir objetos, actividades que ellos realizan a diario.
En grupos de 4, los estudiantes manipulan piezas, discuten y escriben la suma en sus cuadernos. El producto es un registro escrito con representaciones gráficas y sumas de fracciones.
En parejas, los estudiantes resuelven situaciones como repartir pastel, medir ingredientes o usar tiempo fraccional. Por ejemplo: “Ana tiene 3/4 de litro de jugo y bebe 1/2 litro, ¿cuánto queda?”
Para cerrar, cada estudiante escribe en una tarjeta cuál fue la cosa más importante que aprendió sobre sumar y restar fracciones y un ejemplo que le guste.
Sesión 2: multiplicación de fracciones
El propósito de la sesión es recordar la suma y resta de fracciones y presentar la multiplicación como una operación para ampliar o reducir cantidades fraccionarias.
El docente relaciona la multiplicación con situaciones reales: “Si una receta pide 1/3 de taza y queremos hacerla doble, ¿cuánto necesitamos?”
En grupos, los estudiantes trabajan con piezas y proponen multiplicaciones como 1/2 × 1/3 usando piezas o dibujos para visualizar el área o la parte que representa el resultado.
En parejas, resuelven problemas como: “Si un pan se corta en 6 partes iguales y comes 2/6, ¿cuánto del pan has comido si quieres repetir esa cantidad 3 veces?”
En grupos, los estudiantes crean sus propios problemas relacionados con multiplicar fracciones y luego los intercambian con otro grupo para resolverlos.
Sesión 3: división de fracciones
El propósito de la sesión es revisar multiplicación de fracciones y presentar la división de fracciones como una herramienta para repartir y compartir en partes iguales.
El docente propone un reto: “Si tienes 3/4 de una barra de chocolate y quieres compartirla en partes de 1/8, ¿cuántas partes puedes dar?”
En grupos de 3, los estudiantes usan piezas para resolver problemas como: “¿Cuántas veces cabe 1/3 en 2/3?”
En parejas, resuelven problemas como: “Si tienes 3/4 de un litro de jugo y quieres servir vasos de 1/8 litro, ¿cuántos vasos puedes llenar?”
Para consolidar el aprendizaje, se puede organizar un juego tipo concurso donde los grupos responden preguntas de división de fracciones, ganando puntos por respuestas correctas.
Sesión 4: integración de las cuatro operaciones
El propósito de la sesión es recordar las cuatro operaciones con fracciones y preparar a los estudiantes para aplicarlas en un proyecto de resolución de problemas.
El docente presenta un problema integral: “Vamos a planear una fiesta donde debemos repartir comida, calcular ingredientes y dividir porciones usando fracciones.”
En grupos de 4, los estudiantes analizan problemas relacionados con planear cantidades de comida, repartir porciones y ajustar recetas usando fracciones.
Los estudiantes asignan roles, como calculador, anotador, portavoz y manipulador, resuelven operaciones y registran resultados.
Cada grupo expone su solución, explica cómo usaron cada operación y responde preguntas de sus compañeros.
Comprobación de resultados
Para comprobar una suma o una resta, se pueden revisar los denominadores comunes, verificar las transformaciones de fracciones equivalentes y comprobar si el resultado es razonable según las cantidades iniciales.
Para comprobar una multiplicación, se puede estimar el resultado antes de calcular. Si se multiplica una cantidad positiva por una fracción menor que 1, el resultado no debería superar la cantidad inicial.
Para comprobar una división, se puede multiplicar el cociente por el divisor. Si se obtiene el dividendo, el procedimiento es correcto.
También es conveniente simplificar las fracciones cuando sea posible y transformar las fracciones impropias en mixtas si la respuesta se interpreta mejor de esa manera.
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