Partes de las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división

Las cuatro operaciones básicas en matemática son: suma, resta, multiplicación y división. Conocer sus partes permite interpretar correctamente cada cálculo, elegir el procedimiento adecuado y comprobar si el resultado es correcto.

La suma y la resta se relacionan como operaciones inversas, al igual que la multiplicación y la división. La suma permite reunir cantidades, la resta permite hallar diferencias, la multiplicación organiza sumas repetidas o grupos iguales y la división reparte una cantidad en partes iguales o calcula cuántas veces una cantidad entra en otra.

Resumen de las operaciones básicas

Partes de la suma o adición

La suma es la operación matemática que consiste en agregar dos o más números para obtener un total. Sumar es juntar dos o más números o cosas para hacer un nuevo total.

El símbolo que representa a la suma es el más «+». Los números que se suman se llaman sumandos y el resultado se denomina suma o total.

En una expresión como 8 + 5 = 13, los números 8 y 5 son los sumandos, mientras que 13 es la suma o total.

Cómo se realiza una suma

Para sumar dos o más números puedes utilizar un método llamado suma de columnas. Consiste en colocar los números uno encima de otro en una columna, de derecha a izquierda, sumando los números que están en la misma columna.

Al sumar números naturales se comienza por las unidades y se continúa hacia la izquierda. Si una suma es igual o superior a 10, se escribe la cifra de las unidades y se lleva la decena a la columna siguiente.

Por ejemplo, en la suma 122 + 552, se suman primero las unidades, luego las decenas y finalmente las centenas. El resultado es 672.

Propiedades de la suma

En la suma de números naturales distinguimos tres propiedades: conmutativa, asociativa y elemento neutro.

• Propiedad conmutativa: si alteramos el orden de los sumandos, el resultado no se modifica.
• Propiedad asociativa: el orden en que se agrupan los sumandos no altera la suma.
• Elemento neutro: se le denomina de este modo al 0, ya que cualquier número sumado a él da el mismo número.

Suma de números enteros

Si se suman dos números que tienen el mismo signo, se resuelve la operación sumando los valores absolutos y poniendo el mismo signo que tenían los sumandos.

Para sumar dos números enteros de diferente signo, se restan sus valores absolutos y se coloca el signo correspondiente al sumando de mayor valor.

El valor absoluto de un número es la distancia que le separa del cero en la recta numérica. Se escribe entre barras; por ejemplo, el valor absoluto de -20 es 20 y se escribe así: |-20| = 20.

Suma de números decimales

Para sumar decimales se debe respetar la ubicación de las comas y colocarlas encolumnadas. Se puede completar con ceros los espacios vacíos, para obtener la misma cantidad de cifras decimales en ambos números.

Suma de fracciones

Recordemos que las fracciones se componen de denominador y numerador; representan una cantidad dividida entre otra. El denominador es la cantidad de partes en que se ha fraccionado la unidad y el numerador es la cantidad de partes consideradas.

Para sumar fracciones con el mismo denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador. Por ejemplo: 2/4 + 8/4 = 10/4.

Cuando nos servimos una porción de pizza de las 6 que la integran, podemos decir que estamos consumiendo 1/6 de la pizza. Si decidimos servirnos otra porción, estaríamos ingiriendo 2/6 de la pizza, en total.

Partes de la resta o sustracción

La resta es la operación matemática que consiste en quitar una cantidad de otra para encontrar la diferencia. Esta es la operación opuesta a la suma y sirve para quitar o sustraer un valor a partir de la combinación de dos o más números.

Se representa con el signo menos «-». Sus partes son el minuendo, el sustraendo y la diferencia; también se utiliza la palabra resto en determinados contextos.

En una expresión como 20 - 4 = 16, 20 es el minuendo, 4 es el sustraendo y 16 es la diferencia.

Cómo se realiza una resta

Al restar dos números también puedes utilizar un método de columnas. Funciona igual que el método de suma en columnas, pero se restan los números en lugar de sumarlos.

Para comenzar, se colocan los números uno encima del otro, colocando el número del que se resta en la parte superior. Después se trabaja de derecha a izquierda.

Si el número que se resta es mayor que el número del que se resta, hay que tomar un dígito de la columna de la izquierda.

Por ejemplo, en la resta 538 - 214, se comienza restando 8 menos 4, después 3 menos 1 y finalmente 5 menos 2. El resultado es 324.

Comprobación de una resta

Una prueba para saber si la resta está bien hecha consiste en sumar el sustraendo y la diferencia. El resultado debe ser igual al minuendo.

En el ejemplo 20 - 4 = 16, la comprobación es 16 + 4 = 20.

Resta de números enteros

Con los números enteros podemos realizar una operación donde el minuendo sea menor que el sustraendo. Para esto hay que sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

(-5) - (+6) = (-5) + (-6) = -11.

Del mismo modo se opera si el minuendo es mayor al sustraendo: (+8) - (-2) = (+8) + (+2) = +10 y (-2) - (-6) = (-2) + (+6) = +4.

Resta de números decimales

El procedimiento es el mismo que se utiliza para sumarlos: se deben colocar los números en columna haciendo corresponder los distintos órdenes y luego se resta como si fueran números naturales. Las comas se encolumnan.

Resta de fracciones

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, se procede solamente a restar los numeradores, ya que el denominador queda igual.

Por ejemplo: 8/4 - 7/4 = 1/4.

Partes de la multiplicación

La multiplicación es una operación que consiste en sumar reiteradamente un número por tantas veces como lo indique otro número. También puede entenderse como una suma repetida o como una operación que requiere sumar en grupos iguales.

El símbolo que representa la multiplicación es «×», «x» o «·». Los términos de la multiplicación se denominan factores y el resultado se llama producto.

Cuando se realiza una multiplicación por dos cifras pueden aparecer también los productos intermedios, que luego se suman para obtener el producto final.

En una expresión como 6 × 4 = 24, 6 y 4 son los factores y 24 es el producto.

El signo de multiplicar

Desde fines del siglo XVII los matemáticos cuestionan el uso del signo x para indicar multiplicación, por la posible confusión con la letra X que suele usarse para representar incógnita en ecuaciones.

A pesar de esos cuestionamientos, el signo x se ha mantenido, especialmente en la tradición escolar. Esta tradición ha sido tan poderosa que aún se sigue usando en libros escolares para los primeros años.

En los libros para el Tercer Ciclo se usa el signo · por considerarlo más adecuado.

Teniendo en cuenta esto, no se usa · en la escritura de los números de más de cuatro cifras; por ejemplo, 3420 se escribe sin espacio y 10 500 se escribe con espacio.

Cómo se realiza una multiplicación

Operar con números naturales es sencillo si se conocen las tablas básicas de multiplicación. Así, si tenemos que multiplicar 15 por 2, primero hacemos 2 · 5, que da 10, colocamos el 0 en la parte de resultados y el 1 lo llevamos a la otra columna.

Después hacemos 2 · 1, que es 2, y le sumamos 1 que nos habíamos llevado a esa columna. El resultado que obtenemos, 3, lo colocamos en la parte de resultados.

Si tenemos que multiplicar por un número que tiene más de una cifra, primero multiplicamos 120 · 3 y colocamos el resultado. Luego multiplicamos 120 · 2 y colocamos el resultado debajo del resultado anterior, 360, pero dejando un espacio a la derecha.

Por último sumamos ambos resultados y, de este modo, llegamos al resultado final.

Multiplicación de números enteros

Esta operación se comienza multiplicando los valores absolutos. Luego se coloca el signo + si ambos números son de igual signo, o se pone el signo - si son de signo diferente.

• (-12) · (-3) = +36 = 36. Se coloca el signo + porque son de igual signo.
• (+3) · (+11) = +33 = 33. Se coloca el signo + porque son de igual signo.
• (+42) · (-2) = -84. Se coloca el signo - porque son de diferente signo.

Multiplicación de números decimales

Es sencillo porque hay que proceder como si fuesen números naturales y luego hay que colocar la coma en el lugar correcto.

La coma debe colocarse en el producto, contando de derecha a izquierda tantas cifras como decimales sumen entre ambos factores.

Multiplicación de fracciones

Las fracciones se multiplican realizando el producto de numerador con numerador y denominador con denominador, para hallar la fracción resultado.

Por ejemplo: 4/5 · 3/7 = 4 · 3/5 · 7 = 12/35.

Multiplicación por una cifra y por varias cifras

Para multiplicar dos números entre sí se pueden utilizar distintos métodos, como el de la cuadrícula. Consiste en descomponer los dos números y colocarlos en una cuadrícula.

A continuación realizas multiplicaciones individuales y luego las sumas todas. Por ejemplo, para calcular 23 × 42, se multiplican las partes descompuestas y después se suman los resultados: 800 + 120 = 920, 40 + 6 = 46 y 920 + 46 = 966.

Partes de la división

La división es la operación matemática que permite dividir una cantidad en partes iguales. Se representa con los símbolos «:» o «÷».

La división es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse como una resta repetida. También puede considerarse como una partición, separación o reparto equitativo.

Al número que vamos a dividir se lo llama dividendo; al número por el que se divide se lo llama divisor; al resultado se le llama cociente; y la cantidad que queda después de realizar la división se llama resto o residuo.

En una división como 24 : 4 = 6, 24 es el dividendo, 4 es el divisor y 6 es el cociente. Si sobra una cantidad, esa cantidad es el resto.

Divisiones exactas e inexactas

Si el resto de la división es cero, se dice que es una división exacta. En cambio, si el resto es un número distinto de cero, la división es inexacta.

Por ejemplo, en 14 ÷ 2, el resultado es 7 y el resto es 0, por lo que se trata de una división exacta.

Si se divide 15 entre 7, no existe ningún número que multiplicado por 7 dé 15. Se coloca el número más cercano, que es 2, porque 7 × 2 = 14. Para llegar a 15 falta 1, por lo que el resto es 1 y la división es inexacta.

Cómo se realiza una división

Para explicar el procedimiento podemos tomar el ejemplo 14 ÷ 2. Imaginemos que tenemos 14 monedas y las tenemos que repartir entre 2 chicos. ¿Cuántas le damos a cada uno?

1. Colocamos a la izquierda el dividendo y en la misma línea el divisor, dentro de lo que llamamos caja de división.
2. Buscamos un número que multiplicado por el divisor nos dé el dividendo o el número más cercano.
3. Colocamos el cociente y calculamos el resto.

En una división corta, el número por el que se divide se escribe a la izquierda y el número que se divide se escribe a la derecha. El cálculo se realiza unidad por unidad.

Por ejemplo, en 306 ÷ 9, 9 no puede entrar en 3, por lo que se pasa al número 30. El 9 entra tres veces en 30 y queda un resto de 3. Después se baja el 6, formando 36; el 9 entra cuatro veces en 36. Por tanto, 306 ÷ 9 = 34.

División de números enteros

Hay que dividir los valores absolutos y luego se coloca el signo + si ambos números son de igual signo, o se pone el signo - si son de signo diferente.

• (+180) : (-2) = -90. Se coloca el signo - porque son de diferente signo.
• (+545) : (+5) = +109 = 109. Se coloca el signo + porque son de igual signo.

División con decimales

Al operar con números decimales nos podemos encontrar con distintos casos.

Para dividir un número decimal entre un número natural, la operación se realiza como si fueran números naturales, pero cuando bajamos la primera cifra decimal se pone la coma en el cociente y se continúa con la operación.

Para dividir un número natural entre un número decimal, lo primero que se debe hacer es multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay en el divisor. Con esos números, que ahora son enteros, se realiza la división.

Para dividir un número decimal entre un número decimal, también tenemos que multiplicar dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay en el divisor.

Si la operación nos da números enteros, procedemos con la división común de números enteros. Pero si el dividendo sigue apareciendo con cero, se continúa la división aplicando el procedimiento para dividir un número decimal entre un número natural.

División de fracciones

Una división de números naturales es semejante a una fracción. Cuando dividimos una fracción con otra, obtenemos una tercera fracción.

Existen dos procedimientos para hallar la solución: multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda o multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada.

División por cero

En matemática básica, dividir por cero no está definido. Por eso, antes de realizar una división, es necesario comprobar que el divisor sea distinto de cero.

Relación entre las operaciones básicas

Suma y resta

La suma y la resta pueden considerarse inversas entre sí. Esto significa que las operaciones son opuestas: puedes deshacer una suma restando el mismo número y viceversa.

Por ejemplo, si 8 + 5 = 13, entonces 13 - 5 = 8.

Multiplicación y división

La multiplicación y la división también se consideran inversas entre sí. Si quieres deshacer una multiplicación, puedes dividir el resultado por uno de sus factores.

Por ejemplo, si 6 × 4 = 24, entonces 24 ÷ 4 = 6 y 24 ÷ 6 = 4.

Jerarquía de las operaciones

Cuando resolvemos cálculos combinados, debemos seguir el orden que marca la jerarquía de operaciones.

1. Paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas de izquierda a derecha.

En una operación sin paréntesis en donde aparecen sumas y multiplicaciones, primero resolveremos las multiplicaciones y después las sumas.

En caso de que el ejercicio contenga varias multiplicaciones y divisiones, las resolveremos de izquierda a derecha.

El orden en el que se realizan las operaciones será el mismo aunque aparezcan operaciones combinadas con fracciones. La suma de fracciones y las restas serán las últimas operaciones en ser realizadas y se harán de izquierda a derecha.

Ejemplos de operaciones combinadas

En el ejercicio 100 - 4 + 11 - 20, se empieza de izquierda a derecha: 100 - 4 = 96, después 96 + 11 = 107 y finalmente 107 - 20 = 87. El resultado final es 87.

En el ejercicio 20 - 2 - 3 - 8, se comienza de izquierda a derecha: 20 - 2 = 18, luego 18 - 3 = 15 y finalmente 15 - 8 = 7. El resultado final es 7.

En el ejercicio 10 · 2 : 4, se resuelven las operaciones de izquierda a derecha: 10 · 2 = 20 y después 20 : 4 = 5. El resultado final es 5.

En el ejercicio 90 : 3 : 2 : 5, se calcula primero 90 : 3 = 30, después 30 : 2 = 15 y finalmente 15 : 5 = 3. El resultado final es 3.

En el ejercicio 72 : 2 - 3 : 1, primero se realizan las divisiones: 72 : 2 = 36 y 3 : 1 = 3. Después se realiza la resta: 36 - 3 = 33. El resultado final es 33.

En el ejercicio 300 : 3 - 20 : 2 + 3 · 4 - 2 - 7 · 3, primero se calculan las multiplicaciones y divisiones: 300 : 3 = 100, 20 : 2 = 10, 3 · 4 = 12 y 7 · 3 = 21. La expresión queda 100 - 10 + 12 - 2 - 21 y, al resolverla de izquierda a derecha, el resultado final es 79.

Aplicaciones cotidianas de las operaciones

La suma, la resta, la multiplicación y la división aparecen continuamente en situaciones de la vida cotidiana.

• La suma permite reunir cantidades, calcular totales y combinar colecciones.
• La resta permite saber cuánto queda, cuánto falta, cuánto sobra o cuál es la diferencia entre dos cantidades.
• La multiplicación permite calcular grupos iguales, cantidades repetidas, áreas, escalas y precios totales.
• La división permite repartir cantidades en partes iguales, calcular precios por persona y obtener promedios.

Amy tiene 326 cromos en su colección de cromos, Claire tiene 213 cromos. Si juntasen sus colecciones, se realiza la suma 326 + 213 = 539. Tendrían 539 cromos en la colección.

Sam tiene 142 caramelos y le da a su amigo 54. Para saber cuántos caramelos le quedan se realiza la resta 142 - 54 = 88. Sam se queda con 88 caramelos.

Dave va a cocinar para 12 personas, pero su receta sólo sirve para 4. Si la receta requiere 72 gramos de pasta, la cantidad debe multiplicarse por 3, porque 4 se multiplica por 12 tres veces. Dave necesitará 216 gramos de pasta.

Bárbara sale a comer con 3 amigos y la cuenta asciende a 188. Como son 4 personas, se realiza la división 188 ÷ 4 = 47. Cada persona tendrá que pagar 47.

Las operaciones básicas en programación

Las operaciones básicas son la base de casi todos los cálculos en programación: totales, diferencias, repeticiones, repartos, promedios, porcentajes y validaciones.

Las cuatro operaciones fundamentales son suma, resta, multiplicación y división. Aunque parecen simples, aparecen en una gran cantidad de programas, como sistemas de ventas, videojuegos, aplicaciones financieras, estadísticas, formularios, reportes y algoritmos de búsqueda.

En programación no basta con conocer el símbolo matemático. También hay que saber cómo se escribe cada operación en el lenguaje utilizado, qué resultado produce y qué errores pueden aparecer.

En JavaScript usamos + para sumar, - para restar, * para multiplicar y / para dividir.

Uso de la suma en programación

La suma combina dos o más cantidades para obtener un total. En programación se usa para acumular valores, calcular importes, contar puntos o sumar mediciones.

Un acumulador es una variable que va sumando valores progresivamente. Es muy común cuando recorremos listas de datos.

Uso de la resta en programación

La resta calcula una diferencia. Sirve para saber cuánto falta, cuánto sobra, cuánto cambió un valor o cuál es la distancia entre dos cantidades en una misma escala.

Cuando restamos un valor inicial a un valor final obtenemos una variación. Esta idea se usa para medir cambios de precio, crecimiento de usuarios, variación de temperatura o movimiento de un objeto.

Uso de la multiplicación en programación

La multiplicación puede entenderse como una suma repetida. En programación se usa para calcular importes, áreas, escalas, repeticiones, conversiones y estimaciones.

Multiplicar también sirve para escalar valores. Si una imagen se muestra al doble de tamaño, sus dimensiones se multiplican por 2. Este tipo de cálculo aparece en gráficos, interfaces, videojuegos, mapas y procesamiento de imágenes.

Uso de la división en programación

La división se usa para promedios, repartos, proporciones y conversiones. Un promedio se obtiene sumando los valores y dividiendo por la cantidad de elementos.

Una buena práctica es comprobar que el divisor sea distinto de cero. Esto evita resultados inválidos o mensajes confusos para el usuario.

Cuidado con el signo más

En JavaScript, el operador + suma números, pero también concatena textos. Si uno de los valores es texto, el resultado puede no ser el esperado.

La función Number() convierte el texto en número antes de realizar la suma matemática.

Operaciones algebraicas básicas

Las operaciones de suma, producto, resta y división son operaciones binarias para el sistema de los números reales y no distan mucho de las operaciones aritméticas.

La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números.

Suma algebraica

La suma es una operación que consiste en reunir dos o más términos algebraicos en uno solo. La única característica que deben cumplir los términos es que sean semejantes, es decir, que tengan las mismas literales y el mismo radical.

Una vez que se identifican los términos semejantes, se puede realizar la suma aritmética de los coeficientes y la parte literal se mantiene idéntica, sin cambiar las potencias o exponentes.

Resta algebraica

En la resta algebraica, como en la resta aritmética, existen dos cantidades: un minuendo, que es la cantidad a la que se resta o se le quita, y un sustraendo, que es la cantidad que se resta o se quita.

La regla fundamental en la resta de polinomios consiste en cambiar de signo a todos los términos del sustraendo: los positivos se hacen negativos y los negativos, positivos.

Una vez que se cambian los signos al sustraendo, se aplican las mismas reglas que se aplican a la suma de polinomios.

Multiplicación algebraica

En la multiplicación algebraica se presentan tres casos: monomio por monomio, polinomio por monomio y polinomio por polinomio.

• Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las variables de igual base.
• Monomio por polinomio: se multiplica el término del monomio por cada uno de los términos que contiene el polinomio.
• Polinomio por polinomio: cada término de un polinomio se multiplica por todos y cada uno de los términos del otro polinomio; al final se reducen términos semejantes.

Las leyes de los signos aplicadas a la multiplicación son: (+) · (+) = +, (+) · (-) = -, (-) · (+) = - y (-) · (-) = +.

División algebraica

En la división algebraica se presentan tres casos: división de monomio por monomio, división de polinomio por monomio y división de polinomio por polinomio.

La división es la operación inversa a la multiplicación y tiene por objeto hallar una expresión algebraica llamada cociente, que se obtiene de otras dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor.

• Monomio entre monomio: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las potencias que tienen la misma base.
• Polinomio entre monomio: cada término del polinomio se divide entre el monomio.
• Polinomio entre polinomio: se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, se multiplica el término obtenido por el divisor y el resultado se resta al dividendo.

Las leyes de los signos aplicadas a la división son: (+) / (+) = +, (+) / (-) = -, (-) / (+) = - y (-) / (-) = +.

División sintética

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio cuando se tiene un divisor de la forma (x - c), logrando una manera más compacta y sencilla de realizar la división.

Al igual que en la división de polinomio por polinomio, en la división sintética también se requiere acomodar los términos en orden descendente y completar el dividendo.

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en orden decreciente de potencias de x, rellenando con coeficientes cero donde haga falta.
2. Se escribe «c» en la parte derecha del renglón.
3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
4. Se multiplica este coeficiente por «c» para obtener el primer número del segundo renglón.
5. Se simplifica de manera vertical para obtener el segundo número del tercer renglón.
6. Se repiten los pasos hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejercicios breves de repaso

Para comprobar las reglas de las operaciones, conviene identificar primero cada parte y después efectuar el cálculo respetando el orden correspondiente.

• 100 + 5 - 100 + 5 = 10.
• 3 + 2 - 1 = 4.
• 9 - 3 + 4 - 2 = 8.
• -7 + 5 + 2 + 1 = 1.
• 23 × 42 = 966.
• 434 ÷ 7 = 62.

Las partes que deben recordarse son: en la suma, los sumandos y la suma o total; en la resta, el minuendo, el sustraendo y la diferencia o resto; en la multiplicación, los factores, los productos intermedios cuando corresponda y el producto; y en la división, el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

tags: #partes #de #las #operaciones #basicas #suma