La multiplicacin y la división de números naturales en cuadrícula se pueden aprender relacionando los factores, los productos y los cocientes con la tabla pitagórica, el valor posicional y la alineación ordenada de las cifras.
Para resolver cálculos escritos, conviene organizar los números en casilleros, respetar el valor de cada cifra y anotar los cálculos y resultados que se van obteniendo para no perderse cuando un problema tiene varios pasos.
La tabla pitagórica como apoyo
Pitágoras fue un filósofo y matemático que vivió hace muchísimos años en Grecia. Inventó, entre otras cosas, una tabla en la que podemos encontrar ordenados los resultados de multiplicaciones de los números hasta el 10.
Por ejemplo: 3 x 7 ó 9 x 6. En esta parte vas a resolver problemas para aprender a usarla.
En esta parte podés encontrar, por ejemplo, los resultados de 4 x 5 o de 5 x 4 de las siguientes maneras:
- Buscá en esta parte de la tabla pitagórica los resultados de: 2 x 3 = 3 x 7 = 4 x 8 = 5 x 9 =
- Anotá otros cálculos de multiplicar que hayas encontrado en esta tabla.
- Esta es la tabla hasta el 10. Completá las filas que faltan.
Una pista: los resultados de la fila del 5 te pueden ayudar a encontrar los de la fila del 10. O los resultados de la fila del 10 te pueden ayudar a encontrar los de la fila del 5.
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Relaciones entre filas y columnas
Completá las columnas del 2, del 4 y del 8.
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Escribí los cálculos de los números sombreados en la diagonal del cuadro. ¿Por qué creés que estos números no se repiten en otros casilleros? Tratá de explicarlo.
Usando este pedacito de la tabla:
- ¿Es verdad que sumando los resultados de la columna del 3 con los resultados de la columna del 5, obtenés los resultados de la columna del 8?
- ¿Y cómo podrías averiguar, sumando dos resultados, los de la columna del 7?
Otra pista: Para multiplicar un número por 10 se puede multiplicar ese mismo número por 4, luego multiplicar ese mismo número por 6, y sumar ambos resultados.
Partiendo de la columna del 3, ¿cómo se podrán obtener los resultados de la columna del 6? Tratá de explicarlo. Si necesitás, podés usar ejemplos.
Ampliación de la tabla hasta 12
Si se amplía la tabla poniendo los casilleros para las columnas del 11 y del 12:
- ¿Qué cálculos harías para completarlas más rápido?
- Completá las columnas.
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | ||
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | ||
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | ||
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | ||
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | ||
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | ||
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | ||
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | ||
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
División a partir de la tabla
La división puede relacionarse con una multiplicación conocida: si un producto aparece en la tabla, se puede buscar qué factor falta para obtener el cociente.
Resolvé las siguientes divisiones usando la tabla: 60 : 6 = 48 : 8 = 72 : 9 = 40 : 5 =
Multiplicación y división por 0, 1, 10, 100 y 1.000
Completá las fichas libres teniendo en cuenta que los números de la fila inferior se multiplican para obtener los números de la fila superior. Por ejemplo:
Recordá que podés ayudarte con la tabla pitagórica.
Usando el cálculo 5 x 22 = 110, determiná el resultado de estos cálculos sin hacer cada cuenta:
- 5 x 220 =
- 50 x 22 =
- 500 x 22 =
| x 0 | x 1 | x 10 | x 100 | x 1.000 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 00 | 3 | 30 | 300 | 3.000 |
| 13 | 00 | 13 | 130 | 1.300 | 13.000 |
Completá la tabla con otros números.
Tratá de resolver mentalmente los siguientes cálculos. Después usá la calculadora para comprobar los resultados.
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| 12 x 1 | |
| 12 x 10 | |
| 12 x 0 | |
| 48 : 2 | |
| 48 : 4 | |
| 12 x 4 | |
| 300 : 3 | |
| 1.000 x 3 | |
| 3.000 : 3 | |
| 1.200 : 2 | |
| 1.200 : 4 | |
| 12.000 : 3 | |
| 55 x 10 | |
| 55 x 100 | |
| 555 x 0 |
¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de multiplicaciones por 10? Podés comprobar con la calculadora.
400 910 671 330 1.001
¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de multiplicaciones por 100? Podés comprobar con la calculadora.
5.000 910 600 3.300 1.110
Resolvé los cálculos que puedas mentalmente. Después comprobá con la calculadora.
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| 3.300 : 3 | |
| 6.600 : 6 | |
| 9.999 : 9 | |
| 4.000 : 10 | |
| 4.000 : 100 | |
| 40.000 : 1000 | |
| 400 x 3 | |
| 400 x 4 | |
| 4.000 x 3 | |
| 300 x 10 | |
| 300 x 100 | |
| 3.000 : 10 | |
| 45 x 10 | |
| 45 x 100 | |
| 45 x 1.000 |
Multiplicación y división en problemas de varios pasos
Para no perderte anotá los cálculos y resultados que vas obteniendo.
Problema de la harina
Gabriela usa 250 gramos de harina para hacer un bizcochuelo y 500 gramos de harina para hacer 10 pizzetas. Quiere preparar dos bizcochuelos y 30 pizzetas para un cumpleaños. Tiene 1500 gramos de harina, ¿le falta?, ¿le sobra?, ¿cuánto?
Problema de la verdulería
El verdulero hizo algunas compras en el mercado central. El cajón de acelga le costó $ 210 y trae 10 paquetes, el cajón de naranjas le costó $ 336 y trae 12 kilos, y el cajón de manzanas le costó $ 600 y trae 15 kilos.
Si vende el paquete de acelga a $ 30, el kilo de naranjas a $ 35 y el kilo de manzanas a $ 48, ¿cuál será su ganancia si vende el total de esta mercadería?
Problema de los planes de cuotas
Un producto que vale $ 14.000 al contado, puede pagarse de distintas maneras en planes de cuotas:
- Plan 1: 12 cuotas de $ 1.500 cada una.
- Plan 2: 6 cuotas de $ 2.800 cada una.
¿Cuánto más caro resulta pagar en 12 cuotas que al contado? ¿Y en 6 cuotas?
Más problemas para resolver
Precio de las entradas
En un centro cultural están armando un cuadro para saber rápidamente cuánto cobrar las entradas. Ayudá a completarlo sabiendo que la entrada siempre tiene el mismo valor.
| Cantidad de entradas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Precio en ($) | 120 | 000 | 360 | 000 | 600 | 720 | 000 | 000 | 000 |
- Si 10 entradas salen $ 1.200, ¿cuánto saldrán 20 entradas?
- ¿Y 30 entradas?
- ¿Cómo hiciste para resolver las preguntas anteriores?
Paquetes de gaseosas y cajas de helado
Mariana puso un puesto de comidas en una feria vecinal.
- Gastó $ 1.200 en 8 paquetes de gaseosas. ¿Cuánto pagó por cada paquete?
- Gastó $ 630 por 7 cajas de helado. ¿Cuánto pagó por cada caja?
Venta de baldes de pochoclo
Tupac es encargado de un puesto de comidas y está anotando las recaudaciones del balde de pochoclo de toda la semana. Ayudalo a completar la tabla para saber cómo fueron las ventas.
| DÍA | LUNES | MARTES | MIÉRCOLES | JUEVES | VIERNES | SÁBADO |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cantidad de baldes | 20 | 16 | 10 | 40 | 32 | 52 |
| Dinero recaudado | 1.400 | 1.120 |
- ¿Cuánto sale cada balde? ¿Cómo hiciste para saberlo?
- ¿Qué columnas podrían ayudarte a averiguar cuánto salen 60 baldes de pochoclo?
Multiplicación larga con apoyo de cuadrícula
La cuadrícula permite colocar cada cifra en su lugar, mantener alineadas las unidades, las decenas, las centenas y las unidades de mil, y organizar los productos parciales.
Una hoja de ejercicios de multiplicación con apoyo de cuadrícula puede presentar cálculos de 4 dígitos por 3 dígitos. Este tipo de actividad ayuda a practicar la multiplicación larga y la alineación de los números.
Las palabras clave relacionadas con este procedimiento son matemáticas, mates, multiplicación, multiplicar, factores, productos, cuadrícula, papel cuadriculado, alinear y alineación.
En una multiplicación escrita, cada fila de la cuadrícula puede utilizarse para registrar el producto correspondiente a una cifra del segundo factor. Después se suman los productos parciales respetando sus posiciones.
La cuadrícula también permite revisar si las cifras quedaron alineadas antes de realizar las operaciones y detectar con mayor facilidad errores de colocación.
Organización del procedimiento
- Colocá los factores en la cuadrícula.
- Alineá las cifras según su valor posicional.
- Multiplicá por cada cifra del segundo factor.
- Escribí cada producto parcial en la posición correspondiente.
- Sumá los productos parciales.
- Comprobá el resultado mediante una estimación, una operación inversa o la calculadora.
Los cálculos y resultados intermedios conviene anotarlos, especialmente cuando se trabaja con números de varias cifras o cuando el problema tiene varios pasos.
Práctica autónoma y comprobación
Los maestros pueden usar nuestras hojas de ejercicios como exámenes, ejercicios de práctica o herramientas educativas.
Los padres pueden trabajar con sus niños para darles prácticas adicionales, para ayudarles a aprender nuevas habilidades matemáticas o a mantener sus habilidades al día durante las vacaciones escolares.
Los estudiantes pueden usar nuestras hojas de ejercicios para dominar alguna habilidad matemática mediante la práctica repetida, en un grupo de estudio, o para dar asistencia a sus compañeros.
Esta hoja de ejercicios es rellenable y descargable. Se puede rellenar y descargar o imprimir directamente utilizando los navegadores Chrome o Firefox, o puede descargarse, rellenarse y guardarse o imprimirse en aplicaciones independientes como Foxit Reader.
Las versiones para maestros incluyen tanto la página de preguntas como la de respuestas. Las versiones para estudiantes, de existir, sólo tienen la página de preguntas.
