Las hojas de ejercicios de división ayudan a enseñar al alumnado el concepto fundamental de la división y permiten practicar progresivamente desde las operaciones básicas hasta la división larga.
Si los alumnos tienen un buen dominio de las bases de la multiplicación, entonces aprenderán la división en un dos por tres. Para que los estudiantes tengan éxito aprendiendo y practicando la división, es importante que conozcan las bases de la multiplicación hasta 81 y que sepan multiplicar por 0 y por 10.
Preparación antes de trabajar las divisiones
Comenzamos con algunas divisiones básicas, las cuales son sólo multiplicaciones básicas expresadas de otra manera.
La división está estrechamente relacionada con la multiplicación: saber que 9 × 9 = 81 permite comprender que 81 ÷ 9 = 9. Por eso, antes de presentar ejercicios de mayor dificultad, conviene comprobar que el alumnado domina las tablas de multiplicar y comprende la relación entre factores, producto y división.
La diferencia principal es que no se puede dividir por 0 y obtener un número real.
Preguntas para desarrollar el concepto
En lugar de enredar las cosas con lenguaje complicado (dividendo, divisor, cociente), trate de hacer preguntas como: «¿Cuántos ____ hay en ____?»
Para el problema, 81 ÷ 9, la pregunta sería: «¿Cuántos 9 hay en 81?»
Este tipo de preguntas beneficiaría al estudiante más tarde cuando deban conceptualizar la división decimal o de fracciones.
Uso de materiales manipulables
Fije el concepto de la división en las mentes de sus alumnos con elementos manipulables.
Usando bloques base diez, los estudiantes deben reagrupar todas las varas en cubitos para poder hacer pilas de a nueve.
Los materiales manipulables permiten representar de forma visible cómo se reparte una cantidad y cómo se forman grupos iguales. Esta experiencia resulta especialmente útil antes de pasar a los algoritmos escritos, porque ayuda a relacionar la operación con una situación concreta.
Divisiones básicas y reglas de divisibilidad
Las reglas de divisibilidad permiten determinar rápidamente si un número puede dividirse exactamente entre otro número. Pueden utilizarse como apoyo para seleccionar ejercicios, comprobar resultados y desarrollar estrategias de cálculo mental.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 si su dígito final, en el lugar de las unidades, es par.
Por lo tanto, los números terminados en 0, 2, 4, 6 y 8 son divisibles por 2.
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
Por ejemplo, 285 es divisible por 3 porque 2 + 8 + 5 = 15 es divisible por 3.
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si sus últimos dos dígitos son divisibles por 4.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si su dígito final es 0 ó 5.
Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 si es divisible a la vez por 2 y por 3, según las reglas anteriores.
Divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8 si sus últimos tres dígitos son divisibles por 8.
Esta es la regla estándar, que puede ser un poco complicada para números grandes. Por ejemplo, ¿quién sabe si 680 se divide por 8?
Como se sabe, 8 es igual a 2 a la tercera potencia, así que pensamos que si se pudiesen dividir los últimos tres dígitos de un número por 2 tres veces seguidas, sería divisible por 8.
680 ÷ 2 = 340 ÷ 2 = 170 ÷ 2 = 85.
Divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
Divisibilidad por 7
Para el 7, se pueden usar un par de estrategias.
Las reglas de divisibilidad pueden incorporarse a ejercicios breves de clasificación, comprobación y cálculo mental antes de abordar divisiones largas.
División larga: procedimiento paso a paso
El resto de la página está dedicado a la división larga, la cual por algún motivo causa desagrado a una parte de la población.
La división larga es más difícil cuando los alumnos no dominan bien la multiplicación, así que primero asegúrese bien de que lo hagan.
El algoritmo de división larga es el mismo que aprendieron sus padres o sus abuelos. La razón por la cual usted y sus ancestros lo emplearon es porque se trata de un algoritmo bello y eficiente que le permitirá resolver algunos de los problemas más complicados de división, que con los bloques base diez no se pueden ni pensar; además, funciona igual de bien para decimales y números enteros.
Pasos para dividir entre un número de dos cifras
- Toma las primeras cifras del dividendo, el mismo número de cifras que tenga el divisor.
- Divide el primer número del dividendo, o los dos primeros números si en el paso anterior has tenido que tomar otra cifra más, entre la primera cifra del divisor.
- Multiplica la cifra del cociente por el divisor, escribe el resultado debajo del dividendo y réstalo.
En este ejemplo queremos dividir 9687 entre 23.
La división de 9687 entre 23 exige revisar cada aproximación del cociente mediante una multiplicación y una resta. Si el producto elegido es demasiado grande, la cifra del cociente debe ajustarse antes de continuar con la siguiente cifra del dividendo.
Comprobación de las divisiones
Las tablas de multiplicar son una herramienta esencial para comprobar cada paso de la división larga. Después de obtener una cifra del cociente, el estudiante debe multiplicarla por el divisor y restar el resultado del número correspondiente del dividendo.
La división larga requiere coordinar tres acciones: estimar una cifra del cociente, multiplicar por el divisor y restar. La práctica graduada permite que el alumnado automatice estas acciones sin perder de vista el significado de la operación.
División mediante potencias de diez
¿Necesita un método más sencillo para dividir números grandes? Pruebe este método usando potencias de diez.
Para emplear este método exitosamente, los estudiantes deben ser capaces de multiplicar por potencias de diez y de restar.
Los estudiantes sustraen el dividendo multiplicado por potencias decrecientes de diez hasta que tengan cero o un resto.
Ejemplo: 1458 ÷ 54
Note que 54 × 1 = 54, 54 × 10 = 540; no hace falta nada más grande.
1458 - 540 - 540 = 378.
Note que 540 fue sustraído dos veces, así que el número de veces que 54 «cabe» en 1458 hasta ahora es 20.
Continuando, 378 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 = 0.
Como 54 fue sustraído siete veces, el cociente aumenta en siete para un total de 27.
| Etapa | Operación | Cociente acumulado |
|---|---|---|
| Primera sustracción | 1458 - 540 | 10 |
| Segunda sustracción | 918 - 540 | 20 |
| Sustracciones restantes | 378 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 - 54 = 0 | 27 |
Debemos mencionar también que este método puede ser todavía más sofisticado si se usan múltiplos de potencias de diez.
Divisiones con resto
Los restos normalmente se dan fuera de contexto, incluyendo en las hojas de ejercicios que siguen.
Un resto es realmente el numerador de un cociente fraccionario.
Por ejemplo, 19 ÷ 3 es 6 con un resto de 1, o más precisamente 6 1/3.
Al usar cocientes fraccionarios, los estudiantes siempre serán capaces de encontrar la respuesta exacta a todas las preguntas de división larga, y en muchos casos la respuesta será incluso más precisa.
La representación del resto como fracción ayuda a comprender que la cantidad que sobra no desaparece: forma parte de la respuesta. En 19 ÷ 3, el 1 restante representa una tercera parte del divisor, por lo que el resultado puede expresarse como 6 1/3.
Progresión de ejercicios para el currículo
Primera etapa: relación entre multiplicación y división
- Repasar las tablas de multiplicar hasta 81.
- Practicar la multiplicación por 0 y por 10.
- Relacionar cada multiplicación con dos divisiones equivalentes.
- Resolver divisiones básicas expresadas como preguntas: «¿Cuántos 9 hay en 81?»
Segunda etapa: divisiones exactas
- Resolver divisiones cuyo cociente sea un número entero.
- Utilizar bloques base diez para formar grupos iguales.
- Comprobar los resultados mediante la multiplicación.
- Aplicar reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9.
Tercera etapa: divisiones con resto
- Identificar el cociente y el resto.
- Comprobar que el resto sea menor que el divisor.
- Expresar el resto en forma de fracción.
- Comparar una respuesta con resto y un cociente fraccionario.
Cuarta etapa: división larga por números de dos cifras
- Tomar las primeras cifras del dividendo según el número de cifras del divisor.
- Estimar la primera cifra del cociente.
- Multiplicar la cifra del cociente por el divisor.
- Restar el producto del dividendo parcial.
- Continuar el procedimiento hasta utilizar todas las cifras.
Quinta etapa: división de números grandes
- Multiplicar el divisor por potencias de diez.
- Sustraer múltiplos adecuados del dividendo.
- Registrar cuántas veces se ha sustraído cada múltiplo.
- Sumar las cantidades para obtener el cociente.
- Continuar hasta obtener cero o un resto.
Orientaciones para la práctica
Las hojas de ejercicios deben avanzar desde las divisiones básicas hacia problemas que exijan estimación, multiplicación, resta y comprobación.
La división larga es más difícil cuando los alumnos no dominan bien la multiplicación, así que primero asegúrese bien de que lo hagan.
El uso de preguntas como «¿Cuántos ____ hay en ____?» permite mantener el significado de la división incluso cuando aumentan las cifras del dividendo y del divisor.
Los ejercicios con reglas de divisibilidad pueden utilizarse como preparación para la división escrita, mientras que los bloques base diez pueden reservarse para reforzar la comprensión conceptual.
Cuando el alumnado domina el algoritmo, el método mediante potencias de diez ofrece una estrategia alternativa para dividir números grandes y analizar el cociente mediante sustracciones sucesivas.
Tipos de ejercicios recomendados
- Divisiones básicas relacionadas con tablas de multiplicar.
- Divisiones exactas entre números de una cifra.
- Divisiones entre números de dos cifras.
- Divisiones con resto.
- Conversión de restos en cocientes fraccionarios.
- Ejercicios de aplicación de reglas de divisibilidad.
- Divisiones largas con números enteros.
- Divisiones largas con decimales.
- Divisiones de números grandes mediante potencias de diez.
- Problemas que exijan interpretar cuántos grupos iguales pueden formarse.
Errores que conviene revisar
- Intentar dividir entre 0.
- Elegir una cifra del cociente cuyo producto por el divisor sea mayor que el dividendo parcial.
- Olvidar multiplicar la cifra del cociente por todo el divisor.
- Restar incorrectamente después de obtener el producto.
- Continuar con un resto igual o mayor que el divisor sin ajustar el cociente.
- Confundir el resto con el cociente.
- Presentar un resto sin interpretar su significado cuando se necesita una respuesta exacta.
DIVISION LARGA división de polinomios.
La práctica sistemática, la comprobación mediante la multiplicación y la representación concreta con materiales manipulables permiten consolidar el aprendizaje de las divisiones por números de dos cifras y preparar al alumnado para trabajar con números enteros, decimales y fracciones.