El estudio de los estados ligados en un pozo de potencial constituye uno de los problemas fundamentales de la mecánica cuántica. El pozo de potencial rectangular de profundidad finita resuelve un problema que teníamos en el estudio del pozo de potencial de profundidad infinita, que es esencialmente el de una partícula atrapada en una caja con paredes rígidas.
Si vamos a suponer el caso hipotético de una partícula en una caja con paredes impenetrables, ¿cómo entonces llegó a dar adentro de la caja la partícula si le es tan imposible entrar en la caja como salir de ella? El pozo de potencial rectangular de profundidad finita abre la posibilidad de que una partícula viajera libre que pase por dicho pozo de potencial pueda quedar atrapada.
Modelo del pozo rectangular finito
Sea un pozo de potencial de anchura 2a y de altura V0. Situamos el origen en el centro del pozo, tal como se muestra en la figura.
El caso de una partícula que pasa por la cercanía de un pozo de potencial rectangular es similar al de una partícula que pasa por una barrera de potencial rectangular de altura finita y de anchura finita, excepto que en este caso el potencial es -V0 en lugar de +V0.
Usaremos la misma colocación de las coordenadas que la que utilizamos en la resolución del problema anterior.
| Región | Intervalo espacial | Potencial |
|---|---|---|
| Región exterior izquierda | x < -a | 0 |
| Interior del pozo | |x| ≤ a | -V0 |
| Región exterior derecha | x > +a | 0 |
Es importante señalar que, aunque la energía E de la partícula es negativa, para un estado ligado, con la partícula atrapada dentro del pozo de potencial, dicha energía tiene que seguir siendo mayor que -V0.
Por tanto, los estados ligados se encuentran en el intervalo:
-V0 < E < 0.
Ahora bien, si E>0 entonces la partícula está sin límites. Así, cuando la partícula se encuentra con el pozo es reflejada o transmitida. Supongamos, sin embargo, que E<0. En este caso, la partícula está acotada, es decir, |ψ|2→0 cuando |x|→∞.
Soluciones en las regiones exteriores
Tenemos por último a la región número 3, en donde el potencial vuelve a ser igual a cero.
Para la región x<-a, el primer término se convierte en una exponencial decreciente, mientras que el segundo término explota exponencialmente al tomar la exponencial un signo positivo constante para cuando x tiende hacia un valor infinitamente negativo. El primer término es por lo tanto una solución físicamente admisible mientras que el segundo término no lo es ya que hace crecer a la función de onda ψ1(x) sin límite.
En la región situada a la izquierda del pozo, la solución que satisface la condición límite ψ→0 cuando x→-∞ es:
ψ(x)=A ekx,
donde:
k2 = 2m|E|/ℏ2.
Para la región x>+a, el primer término se convierte en una exponencial decreciente, mientras que el segundo término explota exponencialmente al tomar la exponencial un valor exponencialmente creciente para x→+∞. El primer término es por lo tanto una solución físicamente admisible mientras que el segundo término no lo es ya que hace crecer a la función de onda ψ3(x) sin límite.
Por simetría, la solución en la región situada a la derecha del pozo es:
ψ(x)=A e-kx.
La desaparición de las soluciones exponencialmente crecientes es una consecuencia de la condición de normalización de la función de onda. Una función que crece sin límite cuando |x| tiende a infinito no puede representar un estado ligado físicamente admisible.
Simetría de las funciones de onda
Ahora bien, se ve fácilmente que las soluciones independientes de la ecuación de Schrödinger en el potencial simétrico, es decir, V(-x)=V(x), deben ser totalmente simétricas, es decir, ψ(-x)=ψ(x), o totalmente antisimétricas, es decir, ψ(-x)=-ψ(x).
Las funciones de onda dibujadas en color rojo son simétricas.
Antisimétricas, si Ψ(x)=-Ψ(-x) o bien, A=-B.
Todas las funciones de onda impares tienen un nodo en el centro de simetría de las mismas, lo cual implica que para x=0 la función de onda ψ toma un valor igual a cero en dicho punto, mientras que para las funciones de onda pares ocurre lo contrario.
Las soluciones pares se obtienen usando la función coseno, esto es, haciendo C=0, mientras que las soluciones impares se obtienen usando la función seno, esto es, haciendo D=0, combinando esto con los resultados obtenidos para las otras dos regiones.
Solución dentro del pozo
La solución dentro del pozo, es decir, |x|≤a/2, que satisface la restricción de simetría ψ(-x)=ψ(x) es:
ψ(x)=B cos(qx),
donde:
q2 = 2m(V0+E)/ℏ2.
Aquí hemos asumido que E>-V0.
La solución interior presenta un comportamiento oscilatorio, mientras que las soluciones exteriores presentan un decaimiento exponencial. Esta combinación es precisamente la característica de un estado ligado en un pozo de profundidad finita.
La función de onda y su derivada primera son continuas en x=a.
La continuidad de la función de onda y de su derivada primera permite relacionar las amplitudes de las soluciones exteriores con la amplitud de la solución interior. Estas condiciones proporcionan las ecuaciones que determinan las energías permitidas.
Estados ligados pares
Busquemos, en primer lugar, una solución totalmente simétrica.
En la región a la izquierda del pozo, la solución de la ecuación de Schrödinger que satisface la condición límite ψ→0 cuando x→-∞ es:
ψ(x)=A ekx,
donde:
k2 = 2m|E|/ℏ2.
Por simetría, la solución en la región a la derecha del pozo es:
ψ(x)=A e-kx.
La solución dentro del pozo que satisface la restricción de simetría ψ(-x)=ψ(x) es:
ψ(x)=B cos(qx).
Vamos y=qa/2.
La aplicación de las condiciones de continuidad conduce a una ecuación trascendental para las energías de los estados pares. Esta es una ecuación trascendental que nos sirve para obtener las energías permisibles, en virtud de que tanto k1 como k2 son funciones de la energía E, la cual no tiene solución analítica exacta.
Podemos tratar de resolverla mediante métodos numéricos o métodos gráficos.
Para obtener los valores discretos de la energía, resulta conveniente simplificar esto un poco adoptando una notación más compacta.
Las soluciones a la ecuación correspondiente a los estados pares corresponden a la intersección de la curva √(λ-y2)/y con la curva tan y.
La figura muestra estas dos curvas trazadas para un valor particular de λ. En este caso, las curvas se cruzan dos veces, indicando la existencia de dos estados ligados totalmente simétricos en el pozo.
Entonces, trazando sobre una misma gráfica ambas funciones, los puntos en los cuales se crucen tales funciones corresponderán a las soluciones de valores propios que estamos buscando para la ecuación trascendental.
Específicamente, lo que queremos obtener de la gráfica son los valores de z en los cuales se “cruzan” las dos funciones f(z) y g(z).
En el caso mostrado hay tres de ellos. El más bajo ocurre un poco debajo de π/2. El que sigue ocurre entre π y 3π/2. Y el tercero ocurre entre 2π y 5π/2.
Como ya se dijo, esta gráfica es válida para las funciones de onda pares.
Estados ligados impares
Para el caso de un estado ligado totalmente antisimétrico, un análisis similar al anterior da:
-y/√(λ-y2)=tan y.
Las soluciones de esta ecuación corresponden a la intersección de la curva tan y con la curva -y/√(λ-y2).
La figura muestra estas dos curvas trazadas para el mismo valor de λ utilizado en la figura anterior. En este caso, las curvas se cruzan una vez, indicando la existencia de un único estado ligado totalmente antisimétrico en el pozo.
Es, nuevamente, evidente, a partir de la figura, que a medida que λ aumenta, es decir, a medida que el pozo se profundiza, hay cada vez más estados ligados.
Sin embargo, también es evidente que cuando λ se vuelve suficientemente pequeño, es decir, λ<(π/2)2, entonces no hay un estado ligado totalmente antisimétrico.
En otras palabras, un pozo de potencial muy superficial siempre posee un estado ligado totalmente simétrico, pero generalmente no posee un estado ligado totalmente antisimétrico.
En el límite λ≫1, es decir, el límite en el que el pozo se vuelve muy profundo, las soluciones de la ecuación para los estados impares tienden a las raíces de tan y=0.
En el límite λ≫1, es decir, el límite en el que el pozo se vuelve muy profundo, las soluciones de la ecuación para los estados pares tienden a las raíces de tan y=∞.
Cuantización de la energía
La ecuación trascendental puede tener no únicamente una sino dos o más soluciones, siendo dichas soluciones los valores propios que corresponden a los estados discretos de energía de una partícula atrapada dentro del pozo de potencial.
Como puede verse en la figura, para las condiciones especificadas hay seis estados propios posibles.
Obsérvese también un detalle muy curioso: a las funciones de onda pares les corresponden números cuánticos impares, n=1,3,5,..., mientras que a las funciones de onda impares de onda les corresponden números cuánticos pares, n=2,4,6,...
Al ir disminuyendo el valor de z0, con el punto z0 recorriéndose cada vez más y más hacia la izquierda en las figuras de arriba, habrá menos estados ligados, hasta que finalmente cuando z0 toma un valor inferior a π/2, con lo cual desaparece el estado impar más bajo, solo quedará un estado discreto disponible dentro del pozo de potencial.
La siguiente figura corresponde a la de un pozo de potencial rectangular que admite cuatro estados ligados.
| Tipo de estado | Propiedad de simetría | Comportamiento en x=0 |
|---|---|---|
| Estado par | ψ(-x)=ψ(x) | No presenta un nodo central |
| Estado impar | ψ(-x)=-ψ(x) | Presenta un nodo central |
Penetración de la función de onda
En la ilustración resalta el hecho notable de que una partícula atrapada dentro de un pozo de potencial rectangular de profundidad finita, por tratarse de una onda de materia, es capaz de “penetrar” en las paredes del pozo, algo que no podía hacer en el caso de un pozo de potencial rectangular con paredes infinitamente grandes.
Esto es algo que la mecánica clásica es ya incapaz de predecir, y se trata de un comportamiento puramente mecánico-cuántico.
En un pozo de profundidad finita, la función de onda no se anula exactamente en los límites del pozo. En las regiones exteriores disminuye exponencialmente, pero mantiene una amplitud distinta de cero a cierta distancia de las paredes.
Por otro lado, una partícula atrapada dentro de un pozo de potencial rectangular en cualquiera de los estados de energía admisibles dentro del pozo puede ser sacada del mismo suministrándole suficiente energía para que pueda subir por encima del nivel de energía potencial V(x)=0.
Interpretación dinámica y transmisión
El problema anterior tiene que ver con una situación en la que las partículas libres viajeras pueden venir desde la izquierda pasando por encima del pozo de potencial con una energía positiva E.
¿Caerá dentro del pozo y quedará atrapada dentro del mismo? ¿Pasará por el pozo sin cambio alguno?
A grosso modo, la interpretación de la gráfica obtenida es sencilla: en el momento en el que la energía E toma valores superiores a V0, hay una transmisión casi total de partículas que se aproxima al cien por ciento cuanto mayor sea la energía, pero para valores de la energía E inferiores a V0, la transmisión de partículas desciende abruptamente, lo cual es lógico ya que las partículas son atrapadas dentro del pozo.
De la fórmula obtenida para el coeficiente de transmisión T resulta evidente que cuando el término senoidal es exactamente igual a cero el pozo de potencial se vuelve invisible para el haz de partículas incidentes.
Las energías discretas En para las cuales hay una transmisión perfecta de partículas se pueden apreciar en la gráfica de arriba para T(E), son los puntos en los que la curva “toca” a la línea horizontal T=1.
Cada una de estas energías discretas corresponde a cierta longitud de onda para la onda de materia, lo cual significa que si la longitud de onda de De Broglie es la correcta, la transmisión de partículas se vuelve perfecta.
Esto en realidad no es más que una manifestación del fenómeno de resonancia.
Acoplamiento de magnetoexcitones en pozos cuánticos con modoselectromagnéticos de guías de onda.
No hay que olvidar que en los análisis sobre-simplificados de los fenómenos de transmisión y reflexión de partículas llevados a cabo hasta este punto se ha supuesto que la función de onda Ψ(x) representa un haz de partículas de la misma energía que avanzan sincronizadas en fase una junto a la otra.
En la práctica, no resulta nada fácil obtener un haz de partículas que tengan todas ellas la misma energía, y lo más usual en el mejor de los casos es tener un haz de partículas para el cual “la misma energía” E en realidad es tan sólo el máximo de la curva de distribución energética de partículas en donde podemos encontrar una mayor cantidad de partículas que tengan “más o menos” la misma energía, hablando en términos estadísticos.
Y de hecho, en base a esto, se vuelve necesario para poder obtener una mayor concordancia entre los resultados teóricos y los resultados experimentales caer en la cuenta de que un haz de partículas en realidad está compuesto por partículas separadas e individuales que deben ser consideradas cada una de ellas como un paquete de onda.
Resolución numérica
La ecuación de Schrödinger para el pozo rectangular finito no tiene, en general, una solución analítica sencilla para las energías permitidas.
La función raices calcula las raíces de las ecuaciones trascendentes empleando la función fzero de MATLAB.
Establecemos un sistema de unidades en el que ℏ=m=1.
Los puntos de intersección de las curvas proporcionan las raíces de las ecuaciones trascendentes. Cada raíz determina una energía propia y, por tanto, un estado ligado permitido.
La solución del conjunto de ecuaciones obtenidas no es asunto difícil, aunque es algo tedioso, requiriendo de cierta paciencia e ingenio.
Una forma de llevarlo a cabo consiste en usar dos de las ecuaciones obtenidas para eliminar C y D, y usar las otras dos ecuaciones para B y F.
Pozo de potencial semi-infinito
Otro ejemplo instructivo de análisis, el cual aunque también requiere de solución numérica o de solución gráfica al no tener solución exacta la ecuación de Schrödinger para las condiciones del mismo resulta un poco más sencillo de resolver que el caso del pozo de potencial rectangular, es el caso del pozo de potencial semi-infinito.
El pozo de potencial semi-infinito consiste de un pozo de potencial una de cuyas paredes es impenetrable, infinitamente alta, y otra de las cuales tiene una altura finita.
Puesto que la función de onda se desvanece por completo en la pared vertical izquierda al ser impenetrable, hay una ligera simplificación en los cálculos.
Quizá la forma más expedita de resolver la ecuación trascendental consiste en recurrir a soluciones gráficas, trazando en una misma gráfica las funciones tangente y la función cuadrática que nos permite determinar las energías propias en los puntos de cruce entre ambas gráficas.
Pozo de potencial doble
El caso contrario al caso de la doble barrera de potencial es el caso del pozo de potencial doble. Esencialmente, son dos pozos de potencial separados por una barrera de potencial intermedia.
Intuitivamente, podemos suponer que dentro de cada pozo de potencial rectangular se podrá admitir una cantidad finita de estados discretos de energía, con el estado de energía basal en cada pozo ocupando el nivel más bajo, cerca del fondo del pozo.
La cantidad de estados discretos de energía dependerá de la profundidad de los pozos, con un gran número de estados discretos cuanto mayor sea la profundidad del pozo.
Del mismo modo, intuitivamente, podemos suponer que en el caso en el cual la anchura de la barrera que separa ambos pozos tiende a cero hasta el punto de desvanecerse, o sea cuando b→0, se tendrá el equivalente de un solo pozo de potencial de anchura 2a.
Sin entrar a fondo en los detalles matemáticos que se nos revelan mediante la solución de la ecuación de Schrödinger, y tomando el caso en el cual la anchura de la barrera es igual a cero, se tiene un solo pozo de potencial rectangular.
Suponiendo que la profundidad de dicho pozo sea suficiente para admitir dos estados discretos, el estado basal, fundamental, E1 y el primer estado excitado E2, al estado basal le corresponderá una función de onda ψ1(x) que dentro del pozo debe ser el equivalente aproximado de una media longitud de onda, correspondiendo a una solución par de la ecuación de onda, sin un nodo en el punto intermedio central del pozo en donde la función de onda pudiera tomar el valor de cero.
Mientras que al primer estado excitado le corresponderá una función de onda ψ2(x) que dentro del pozo debe ser el equivalente aproximado de una longitud de onda completa, correspondiendo a una solución impar de la ecuación de onda, con un nodo en el punto intermedio central del pozo en donde la función de onda toma el valor de cero.
Puesto que el pozo de potencial de anchura 2a no tiene las paredes verticales infinitamente altas, “algo” de la función de onda ψ1(x) así como de la función de onda ψ2(x) deberá “escaparse” hacia los lados fuera del pozo.
Esto es lo que corresponde a una solución que en el exterior del pozo tiene un decaimiento exponencial mientras que en el interior del pozo tiene un comportamiento cosenoidal para ψ1(x) y senoidal para ψ2(x).
Supóngase que ahora se interpone una barrera de potencial de anchura muy pequeña en el centro del pozo de potencial, una barrera casi inexistente pudiendo tomarse como una línea vertical imaginaria.
El pozo de anchura 2a queda efectivamente subdividido en dos mitades iguales de anchura a cada una de ellas.
Cada mitad tendrá dos niveles energéticos E1 y E2 por encima del potencial V0, iguales en magnitud a los niveles energéticos del pozo de anchura 2a.
Para el caso en el cual la barrera de separación entre ambos pozos no es muy grande, ni siquiera grande, por ejemplo cuando b≈a, la solución general debe ser tal que al ir aproximando los dos pozos de potencial rectangulares se van “uniendo” las funciones de onda de cada estado fundamental propio de los pozos separados para formar la nueva función de onda que corresponde al estado fundamental del doble pozo con dos “jorobas”.
Esta es la solución par del doble pozo de potencial que corresponde a la función de onda ψ1 del doble pozo de potencial.
La solución impar del doble pozo de potencial es la que llamaremos ψ2.
De este modo, la solución para el estado fundamental del pozo de potencial doble es una función par, sin un nodo intermedio central, con decaimiento exponencial fuera de las paredes del pozo, senoidal dentro de cada pozo, y una función de tipo coseno hiperbólico dentro de la barrera intermedia para “conectar” ambos pozos.
El doble pozo de potencial puede ser considerado como un modelo muy primitivo unidimensional para el potencial experimentado por un electrón que es compartido por los dos átomos de una molécula diatómica, con cada uno de los dos pozos de potencial representando la fuerza atractiva de los núcleos atómicos sobre dicho electrón.
Si ambos núcleos están en libertad de moverse, se da por hecho que adoptarán una configuración que corresponderá a la configuración de la energía mínima, habido el hecho de que es una propiedad fundamental de la Naturaleza que todos los sistemas físicos tienden a acomodarse en la configuración de energía mínima.
