Composición de funciones: ejercicios de selección múltiple resueltos

La composición de funciones es un concepto fundamental en el estudio de las matemáticas, especialmente en el cálculo y en el álgebra. Consiste en combinar dos funciones de manera que la salida de una funcione como entrada para la otra.

La idea fundamental que conviene recordar es que en la composición f ∘ g se aplica primero g y luego f. Para todo valor x en el que la composición está definida, se cumple:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Qué es una función compuesta

Normalmente, una función depende de una sola variable, como por ejemplo:

Una función compuesta es una función que en vez de depender de x, depende de otra función.

Si tenemos dos funciones f y g, se puede definir una nueva función, tal que la función g va a depender de la función f:

Esa nueva función será una función compuesta y se representa escribiendo un pequeño círculo entre las dos funciones de la siguiente manera:

Esta expresión se lee f compuesta con g. Hay que tener mucho cuidado porque se lee al revés de como están compuestas las funciones, ya que realmente la función g está compuesta por la función f.

La función que va detrás es la que está dentro de la otra función:

Por supuesto, la función compuesta entre f y g también puede formarse, de forma que sea f la que dependa de la función g. Se escribiría de la siguiente manera:

Se lee g compuesta con f y es equivalente a escribir que la función f depende de la función g:

Regla básica para componer funciones

Para calcular f ∘ g debemos aplicar primero g y luego f. Por definición:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

La función que aparece a la derecha, g, es la función interior. Por eso se sustituye la x de f por toda la expresión de g(x).

Para calcular g ∘ f, en cambio, se aplica primero f y luego g:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)).

El proceso es siempre el mismo. Debes estar muy atento a qué es lo que tienes que sustituir en cada caso y una vez obtengas la función compuesta, la dificultad pasa a simplificar la expresión.

Sólo debes tener cuidado en componer la función al revés, ya que la expresión se lee al contrario de como se forma.

Propiedades importantes de la composición

El orden de composición importa

Como has podido comprobar, la composición de funciones no tiene la propiedad conmutativa, ya que g compuesta con f no es igual a f compuesta con g:

Las dos composiciones no coinciden: esto muestra que, en general, el orden de la composición importa.

Función identidad

La función identidad sobre ℝ se define por:

id_ℝ(x) = x.

La función identidad es, por tanto, el elemento neutro respecto de la composición.

Asociatividad

La composición de funciones es asociativa. Esto significa que, cuando las composiciones están definidas:

(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Relación con la función inversa

Para verificar que g = f⁻¹, debemos comprobar ambas composiciones.

Una función g es la inversa de f cuando:

g ∘ f = id_ℝ y f ∘ g = id_ℝ.

Cómo determinar el dominio de una función compuesta

Determinar el dominio de una función compuesta no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de x para los cuales satisface las condiciones impuestas por el dominio de f.

Para determinar el dominio de una composición hay que comprobar simultáneamente que:

• La función interior esté definida.
• El resultado de la función interior pertenezca al dominio de la función exterior.
• Los denominadores sean distintos de cero.
• Los radicandos de las raíces cuadradas sean no negativos.

La simplificación algebraica no elimina la restricción sobre el dominio.

Ejercicios de selección múltiple sobre composición de funciones

Ejercicio 1 - nivel ★☆☆☆☆

Sean f(x) = 2x + 1 y g(x) = x² − 3. Calcular f ∘ g.

Opciones:

• A) 2x² − 3
• B) 2x² − 5
• C) x² − 5
• D) 2x − 5

Respuesta correcta: B) 2x² − 5.

Para calcular f compuesta con g debemos aplicar primero g y luego f. Por definición:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = x² − 3, debemos sustituir la variable en la expresión de f por x² − 3. Como f(x) = 2x + 1, obtenemos:

f(g(x)) = f(x² − 3) = 2(x² − 3) + 1.

Simplificando:

2(x² − 3) + 1 = 2x² − 6 + 1 = 2x² − 5.

Por tanto:

(f ∘ g)(x) = 2x² − 5.

Ejercicio 2 - nivel ★☆☆☆☆

Sean f(x) = x² y g(x) = x + 4. Calcular f ∘ g y g ∘ f.

Opciones:

• A) (x + 4)² y x² + 4
• B) x² + 4 y (x + 4)²
• C) x² + 8 y x² + 16
• D) (x² + 4)² y x + 4

Respuesta correcta: A) (x + 4)² y x² + 4.

Calculamos primero f compuesta con g. Por definición:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = x + 4, obtenemos:

f(g(x)) = f(x + 4).

Como f(x) = x², al sustituir x por x + 4 se tiene:

f(x + 4) = (x + 4)².

Así pues:

(f ∘ g)(x) = (x + 4)².

Calculamos ahora g compuesta con f. En este caso se aplica primero f y luego g:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Puesto que f(x) = x², obtenemos:

g(f(x)) = g(x²).

Como g(x) = x + 4, se tiene:

g(x²) = x² + 4.

Por consiguiente:

(g ∘ f)(x) = x² + 4.

Ejercicio 3 - nivel ★☆☆☆☆

Sean f(x) = 3x − 2 y g(x) = 5x + 1. Calcular f ∘ g y g ∘ f.

Opciones:

• A) 15x + 1 y 15x − 9
• B) 15x − 1 y 15x + 9
• C) 8x − 1 y 8x + 1
• D) 15x − 9 y 15x + 1

Respuesta correcta: A) 15x + 1 y 15x − 9.

Calculamos f compuesta con g:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = 5x + 1, obtenemos:

f(g(x)) = f(5x + 1).

Como f(x) = 3x − 2, al sustituir x por 5x + 1 se tiene:

f(5x + 1) = 3(5x + 1) − 2.

Por tanto:

(f ∘ g)(x) = 15x + 3 − 2 = 15x + 1.

Calculamos ahora g compuesta con f:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Puesto que f(x) = 3x − 2, obtenemos:

g(f(x)) = g(3x − 2).

Como g(x) = 5x + 1, se tiene:

g(3x − 2) = 5(3x − 2) + 1.

Simplificando:

5(3x − 2) + 1 = 15x − 10 + 1 = 15x − 9.

Así pues:

(g ∘ f)(x) = 15x − 9.

Ejercicio 4 - nivel ★★☆☆☆

Sean f(x) = x² + 1 y g(x) = 2x − 3. Calcular f ∘ g y g ∘ f.

Opciones:

• A) 4x² − 12x + 10 y 2x² − 1
• B) 4x² − 12x + 8 y 2x² + 1
• C) 2x² − 1 y 4x² − 12x + 10
• D) 4x² + 12x + 10 y 2x² + 1

Respuesta correcta: A) 4x² − 12x + 10 y 2x² − 1.

Calculamos primero f compuesta con g:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x − 3).

Puesto que f(x) = x² + 1, obtenemos:

f(2x − 3) = (2x − 3)² + 1.

Desarrollamos el cuadrado:

(2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 9 + 1 = 4x² − 12x + 10.

Así pues:

(f ∘ g)(x) = 4x² − 12x + 10.

Calculamos ahora g compuesta con f:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x² + 1).

Puesto que g(x) = 2x − 3, al sustituir x por x² + 1 se obtiene:

g(x² + 1) = 2(x² + 1) − 3.

Por tanto:

(g ∘ f)(x) = 2x² + 2 − 3 = 2x² − 1.

Ejercicio 5 - nivel ★★☆☆☆

Sean f(x) = √x y g(x) = x − 4. Determinar f ∘ g y su dominio real.

Opciones:

• A) √(x + 4), con dominio [−4, +∞)
• B) √(x − 4), con dominio [4, +∞)
• C) x − 4, con dominio ℝ
• D) √x − 4, con dominio [0, +∞)

Respuesta correcta: B) √(x − 4), con dominio [4, +∞).

Por definición:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = x − 4, obtenemos:

f(g(x)) = f(x − 4).

Como f(x) = √x, se tiene:

f(x − 4) = √(x − 4).

Por tanto:

(f ∘ g)(x) = √(x − 4).

Para determinar el dominio real debemos imponer que el radicando sea no negativo:

x − 4 ≥ 0.

Resolviendo:

x ≥ 4.

Así pues:

Dom(f ∘ g) = [4, +∞).

Ejercicio 6 - nivel ★★☆☆☆

Sean f(x) = 1/x y g(x) = x² − 9. Determinar f ∘ g y su dominio.

Opciones:

• A) 1/(x² − 9), con dominio ℝ
• B) 1/(x² − 9), con dominio ℝ \ {−3, 3}
• C) x² − 9, con dominio ℝ \ {−3, 3}
• D) 1/(x² + 9), con dominio ℝ

Respuesta correcta: B) 1/(x² − 9), con dominio ℝ \ {−3, 3}.

La función compuesta es:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = x² − 9, obtenemos:

f(g(x)) = f(x² − 9).

Como f(x) = 1/x, se tiene:

f(x² − 9) = 1/(x² − 9).

Así pues:

(f ∘ g)(x) = 1/(x² − 9).

Para determinar el dominio debemos imponer que el denominador sea distinto de cero:

x² − 9 ≠ 0.

Resolvemos:

x² − 9 = 0 ⇔ x² = 9.

Por tanto:

x = −3 o x = 3.

Estos dos valores deben excluirse del dominio.

Así pues:

Dom(f ∘ g) = ℝ \ {−3, 3}.

Ejercicio 7 - nivel ★★☆☆☆

Sean f(x) = √(x + 1) y g(x) = 1/x. Determinar f ∘ g y su dominio real.

Opciones:

• A) √(1/x + 1), con dominio (−∞, −1] ∪ (0, +∞)
• B) √(1/x − 1), con dominio (−∞, 0)
• C) 1/√(x + 1), con dominio [−1, +∞)
• D) √(x + 1), con dominio ℝ \ {0}

Respuesta correcta: A) √(1/x + 1), con dominio (−∞, −1] ∪ (0, +∞).

Calculamos la compuesta:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = 1/x, obtenemos:

f(g(x)) = f(1/x).

Como f(x) = √(x + 1), al sustituir x por 1/x se tiene:

(f ∘ g)(x) = √(1/x + 1).

Para el dominio debemos imponer dos condiciones. En primer lugar, la función interior g(x) = 1/x debe estar definida:

x ≠ 0.

Además, el argumento de la raíz cuadrada debe ser no negativo:

1/x + 1 ≥ 0.

Reducimos a común denominador:

(1 + x)/x ≥ 0.

Los puntos críticos son:

x = −1, x = 0.

Estudiando el signo de la fracción, obtenemos:

x ≤ −1 o x > 0.

El valor x = 0 queda excluido porque anula el denominador.

Así pues:

Dom(f ∘ g) = (−∞, −1] ∪ (0, +∞).

Ejercicio 8 - nivel ★★☆☆☆

Sean f(x) = 1/(x − 1) y g(x) = √x. Determinar f ∘ g y su dominio real.

Opciones:

• A) 1/(√x − 1), con dominio [0, +∞) \ {1}
• B) 1/(√x + 1), con dominio [0, +∞)
• C) √(x − 1), con dominio [1, +∞)
• D) 1/(x − 1), con dominio ℝ \ {1}

Respuesta correcta: A) 1/(√x − 1), con dominio [0, +∞) \ {1}.

Calculamos:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(√x).

Puesto que f(x) = 1/(x − 1), obtenemos:

(f ∘ g)(x) = 1/(√x − 1).

Para el dominio debemos imponer, en primer lugar, que la función interior g(x) = √x esté definida:

x ≥ 0.

Además, el denominador de la función compuesta debe ser distinto de cero:

√x − 1 ≠ 0.

Resolviendo:

√x ≠ 1.

Como √x = 1 si y solo si x = 1, debemos excluir x = 1.

Así pues:

Dom(f ∘ g) = [0, +∞) \ {1}.

Ejercicio 9 - nivel ★★★☆☆

Sean f(x) = √(2 − x) y g(x) = x². Determinar f ∘ g y su dominio real.

Opciones:

• A) √(2 + x²), con dominio ℝ
• B) √(2 − x²), con dominio [−√2, √2]
• C) 2 − x², con dominio [−√2, √2]
• D) √(x² − 2), con dominio [−√2, √2]

Respuesta correcta: B) √(2 − x²), con dominio [−√2, √2].

Por definición:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = x², obtenemos:

f(g(x)) = f(x²).

Como f(x) = √(2 − x), se tiene:

f(x²) = √(2 − x²).

Así pues:

(f ∘ g)(x) = √(2 − x²).

Para el dominio real imponemos que el radicando sea no negativo:

2 − x² ≥ 0.

Esta desigualdad equivale a:

x² ≤ 2.

Por tanto:

−√2 ≤ x ≤ √2.

Así pues:

Dom(f ∘ g) = [−√2, √2].

Ejercicio 10 - nivel ★★★☆☆

Sean f(x) = (x² − 1)/(x − 1) y g(x) = x + 2. Determinar f ∘ g y su dominio.

Opciones:

• A) x + 3, con dominio ℝ
• B) x + 3, con dominio ℝ \ {−1}
• C) x + 1, con dominio ℝ \ {1}
• D) (x + 3)/(x + 1), con dominio ℝ

Respuesta correcta: B) x + 3, con dominio ℝ \ {−1}.

Calculamos la función compuesta:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2).

Sustituimos x + 2 en la expresión de f:

f(x + 2) = ((x + 2)² − 1)/((x + 2) − 1).

Simplificamos numerador y denominador:

f(x + 2) = (x² + 4x + 4 − 1)/(x + 1) = (x² + 4x + 3)/(x + 1).

Factorizamos el numerador:

x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).

Entonces, para x ≠ −1:

((x + 1)(x + 3))/(x + 1) = x + 3.

Así pues, la expresión simplificada de la compuesta es:

(f ∘ g)(x) = x + 3 para x ≠ −1.

Sin embargo, el valor x = −1 debe excluirse, ya que en la expresión sin simplificar aparece el denominador x + 1.

De manera equivalente, la función f no está definida cuando su argumento vale 1. Como el argumento es x + 2, debemos imponer:

x + 2 ≠ 1.

Por tanto:

x ≠ −1.

Así pues:

Dom(f ∘ g) = ℝ \ {−1}.

Ejercicio 11 - nivel ★★☆☆☆

Sean f(x) = |x| y g(x) = x − 2. Calcular f ∘ g y g ∘ f.

Opciones:

• A) |x − 2| y |x| − 2
• B) |x| − 2 y |x − 2|
• C) |x + 2| y |x| + 2
• D) x − 2 y x − 2

Respuesta correcta: A) |x − 2| y |x| − 2.

Calculamos f compuesta con g:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 2).

Puesto que f(x) = |x|, al sustituir x por x − 2 obtenemos:

f(x − 2) = |x − 2|.

Por tanto:

(f ∘ g)(x) = |x − 2|.

Calculamos ahora g compuesta con f:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(|x|).

Puesto que g(x) = x − 2, obtenemos:

g(|x|) = |x| − 2.

Así pues:

(g ∘ f)(x) = |x| − 2.

Las dos funciones son distintas. Por ejemplo, para x = −1:

(f ∘ g)(−1) = |−1 − 2| = 3, mientras que:

(g ∘ f)(−1) = |−1| − 2 = 1 − 2 = −1.

Ejercicio 12 - nivel ★★★☆☆

Sean f(x) = √x y g(x) = x² − 1. Determinar f ∘ g, g ∘ f y sus respectivos dominios reales.

Opciones:

• A) √(x² − 1), con dominio ℝ; x − 1, con dominio ℝ
• B) √(x² − 1), con dominio (−∞, −1] ∪ [1, +∞); x − 1, con dominio [0, +∞)
• C) x² − 1, con dominio [0, +∞); √(x − 1), con dominio [1, +∞)
• D) √(x² + 1), con dominio ℝ; x + 1, con dominio [0, +∞)

Respuesta correcta: B).

Calculamos primero f compuesta con g:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x² − 1) = √(x² − 1).

Para el dominio real debemos imponer:

x² − 1 ≥ 0.

Puesto que:

x² − 1 = (x − 1)(x + 1),

la desigualdad se cumple para:

x ≤ −1 o x ≥ 1.

Por tanto:

Dom(f ∘ g) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞).

Calculamos ahora g compuesta con f:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(√x).

Como g(x) = x² − 1, obtenemos:

g(√x) = (√x)² − 1 = x − 1.

Sin embargo, el dominio no es todo ℝ, porque la función interior f(x) = √x solo está definida para:

x ≥ 0.

Así pues:

Dom(g ∘ f) = [0, +∞).

Este ejercicio muestra que f compuesta con g y g compuesta con f pueden tener expresiones distintas y dominios distintos.

Ejercicio 13 - nivel ★★★☆☆

Sea f: ℝ → ℝ, f(x) = x³ − 2x + 1. Calcular f ∘ id_ℝ y id_ℝ ∘ f.

Opciones:

• A) Ambas son f
• B) Ambas son id_ℝ
• C) f ∘ id_ℝ = x y id_ℝ ∘ f = f²
• D) Ambas son x³ − 2x

Respuesta correcta: A) Ambas son f.

La función identidad sobre ℝ se define por:

id_ℝ(x) = x.

Calculamos la primera composición:

(f ∘ id_ℝ)(x) = f(id_ℝ(x)).

Puesto que id_ℝ(x) = x, obtenemos:

f(id_ℝ(x)) = f(x).

Por tanto:

f ∘ id_ℝ = f.

Calculamos ahora la segunda composición:

(id_ℝ ∘ f)(x) = id_ℝ(f(x)).

La función identidad devuelve su propio argumento, de modo que:

id_ℝ(f(x)) = f(x).

Así pues:

id_ℝ ∘ f = f.

Ejercicio 14 - nivel ★★★☆☆

Sean f(x) = x², g(x) = x + 1 y h(x) = 2x. Verificar que:

(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h).

Opciones:

• A) Ambas composiciones son (2x + 1)²
• B) Ambas composiciones son 2x² + 1
• C) (f ∘ g) ∘ h = (x + 1)² y f ∘ (g ∘ h) = x² + 2
• D) Ambas composiciones son (x + 2)²

Respuesta correcta: A) Ambas composiciones son (2x + 1)².

Calculamos primero (f ∘ g) ∘ h. Determinamos f compuesta con g:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1).

Puesto que f(x) = x², obtenemos:

(f ∘ g)(x) = (x + 1)².

Ahora componemos con h:

((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ g)(h(x)).

Puesto que h(x) = 2x, se tiene:

(f ∘ g)(h(x)) = (f ∘ g)(2x) = (2x + 1)².

Por tanto:

((f ∘ g) ∘ h)(x) = (2x + 1)².

Calculamos ahora f ∘ (g ∘ h). Determinamos g compuesta con h:

(g ∘ h)(x) = g(h(x)) = g(2x) = 2x + 1.

Ahora componemos con f:

(f ∘ (g ∘ h))(x) = f((g ∘ h)(x)) = f(2x + 1).

Puesto que f(x) = x², obtenemos:

(f ∘ (g ∘ h))(x) = (2x + 1)².

Las dos funciones coinciden. Esto confirma, en este caso concreto, la asociatividad de la composición.

Ejercicio 15 - nivel ★★★☆☆

Sean f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 7, y g: ℝ → ℝ, g(x) = (x + 7)/4. Verificar mediante composición que g = f⁻¹.

Opciones:

• A) Solo g ∘ f = id_ℝ
• B) Solo f ∘ g = id_ℝ
• C) g ∘ f = id_ℝ y f ∘ g = id_ℝ
• D) g = f

Respuesta correcta: C).

Para verificar que g = f⁻¹, debemos comprobar ambas composiciones.

Calculamos primero g compuesta con f:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Puesto que f(x) = 4x − 7, obtenemos:

g(f(x)) = g(4x − 7).

Sustituyendo en la expresión de g:

g(4x − 7) = ((4x − 7) + 7)/4 = 4x/4 = x.

Por tanto:

(g ∘ f)(x) = x.

Calculamos ahora f compuesta con g:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = (x + 7)/4, obtenemos:

f(g(x)) = f((x + 7)/4).

Sustituyendo en la expresión de f:

f((x + 7)/4) = 4 · ((x + 7)/4) − 7 = x + 7 − 7 = x.

Por tanto:

(f ∘ g)(x) = x.

Hemos demostrado que:

g ∘ f = id_ℝ y f ∘ g = id_ℝ.

Así pues, g = f⁻¹.

Ejercicio 16 - nivel ★★★☆☆

Sean g(x) = x + 2 y f(x) = 3x. Calcular f ∘ g y determinar la inversa de la función compuesta.

Opciones:

• A) 3x + 6 y (x − 6)/3
• B) 3x + 2 y (x − 2)/3
• C) 3x − 6 y (x + 6)/3
• D) x + 6 y 3x − 6

Respuesta correcta: A) 3x + 6 y (x − 6)/3.

Calculamos la compuesta:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Puesto que g(x) = x + 2, obtenemos:

f(g(x)) = f(x + 2).

Como f(x) = 3x, se tiene:

f(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6.

Así pues:

(f ∘ g)(x) = 3x + 6.

Denotamos la función compuesta por:

h(x) = 3x + 6.

Para determinar la inversa, ponemos:

y = 3x + 6.

Despejamos x. Restando 6 en ambos miembros:

y − 6 = 3x.

Dividiendo entre 3:

x = (y − 6)/3.

Por tanto:

h⁻¹(y) = (y − 6)/3.

Renombrando la variable independiente:

h⁻¹(x) = (x − 6)/3.

Como h = f ∘ g, obtenemos:

(f ∘ g)⁻¹(x) = (x − 6)/3.

Ejercicio 17 - nivel ★★★★☆

Sea:

f(x) = x + 1 si x ≥ 0; f(x) = x² si x < 0,

y g(x) = x − 2. Determinar f ∘ g.

Opciones:

• A) (x − 2)² si x < 2; x − 1 si x ≥ 2
• B) x² si x < 0; x − 1 si x ≥ 0
• C) (x + 2)² si x < −2; x + 3 si x ≥ −2
• D) x − 1 para todo x

Respuesta correcta: A).

Debemos calcular:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 2).

La función f está definida a trozos. La rama que hay que usar depende del signo del argumento de f. En este caso el argumento no es x, sino x − 2.

Debemos, por tanto, distinguir dos casos.

Si:

x − 2 ≥ 0,

entonces:

x ≥ 2.

En este caso usamos la primera rama de f, es decir, f(t) = t + 1. Por tanto:

f(x − 2) = (x − 2) + 1 = x − 1.

Si, en cambio:

x − 2 < 0,

entonces:

x < 2.

En este caso usamos la segunda rama de f, es decir, f(t) = t². Por tanto:

f(x − 2) = (x − 2)².

Así pues:

(f ∘ g)(x) = (x − 2)² si x < 2; x − 1 si x ≥ 2.

Tabla rápida de respuestas

Errores frecuentes al resolver ejercicios

• Leer f ∘ g como si primero se aplicara f.
• Sustituir solo una parte de g(x) en lugar de sustituir toda la expresión.
• Confundir (f ∘ g)(x) con f(x) · g(x).
• Suponer que f ∘ g y g ∘ f siempre coinciden.
• Olvidar las restricciones de las raíces cuadradas.
• No excluir los valores que hacen cero un denominador.
• Eliminar una restricción del dominio después de simplificar una fracción.
• Usar la rama incorrecta de una función definida a trozos.

El procedimiento más seguro consiste en escribir siempre la definición, identificar la función interior, sustituir su expresión completa y revisar el dominio antes de elegir una respuesta.

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