La integración por división larga es una técnica de integración que se aplica a integrales de la forma $$\int \frac{p(x)}{q(x)} \; dx, $$ donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios y \(\deg(p(x))\geq\deg(q(x)).\) Se trata de expresar \(p(x)\) como \(p(x) = q(x)s(x) + r(x)\) para los polinomios \(s(x)\) y \(r(x)\) para simplificar la integral: $$int \frac{p(x)}{q(x)} \; dx = \int s(x) \; dx + \int \frac{r(x)}{q(x)} \; dx.$$
Para integrar una función por división larga, primero se divide el numerador entre el denominador, después se reescribe el cociente como un polinomio más una fracción propia y, por último, se integran las partes resultantes utilizando la técnica más adecuada.
Qué significa integrar mediante división larga
La división larga resulta bastante útil para evaluar integrales con cocientes de polinomios. La integración por divisiónlarga es una técnica de integración que se aplica a integrales de la forma $$\int \frac{p(x)}{q(x)} \; dx, $$ donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios y \(\deg(p(x))\geq\deg(q(x)).\)
El grado de un polinomio es su mayor potencia. Como ejemplos, \(\deg(x^2 + 3x - 2) = 2\) y \(\deg(x^7 + 3) = 7\).
La idea central consiste en escribir el numerador como el producto del denominador por un cociente, más un resto:
\[p(x) = q(x)s(x) + r(x).\]
Al dividir esta igualdad entre \(q(x)\), se obtiene:
\[\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{r(x)}{q(x)}.\]
Por tanto, la integral original se transforma en:
\[\int \frac{p(x)}{q(x)} dx=\int s(x)\,dx+\int\frac{r(x)}{q(x)}\,dx.\]
Cuándo se puede utilizar
En primer lugar, la integración por división larga sólo se aplica en los casos en que el integrando es un cociente de polinomios. No se puede utilizar en otros casos. En segundo lugar, sólo se integra mediante división larga cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, debes utilizar otra técnica, como la integración por fracciones parciales. En ocasiones, puede resultar más fácil factorizar \(p(x)\) y \(q(x)\) para buscar factores comunes antes de recurrir a la división larga.
| Técnica de integración | Cuándo utilizarla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Integración por división larga | La integral es de la forma \(\int \frac{p(x)}{q(x)} dx\), donde \(p(x),q(x)\) son ambos polinomios, \(\deg(p(x))\geq\deg(q(x))\), y no se aplica ninguna otra técnica. | \(\int \frac{x^3-2}{x-3} dx\) |
| Integración por fracciones parciales | La integral es de la forma \(\int \frac{p(x)}{q(x)} dx\), donde \(p(x),q(x)\) son polinomios, \(\deg(p(x))<\deg(q(x))\), y no se aplica ninguna otra técnica. | \(\int \frac{x}{(x-2)(x-3)^2} dx\) |
| Integración por sustitución | La integral es de la forma \(\int f'(x)(a_nf(x)^n+\cdots+a_0)dx\); utiliza la sustitución \(u=f(x)\). | \(\int e^{x}(e^{3x}+2)dx\) |
| Regla de potencia para la integración | El integrando es un polinomio simple. | \(\int 3x^{-3}+4x^{3/2}-3dx\) |
| Sustitución trigonométrica | El integrando contiene términos de la forma \(\sqrt{x^2+a^2}\), \(\sqrt{x^2-a^2}\), \(\sqrt{a^2-x^2}\), o a veces los mismos términos sin las raíces cuadradas. | \(\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx\) |
| Sustitución de Weierstrass | El integrando es una expresión racional de funciones trigonométricas y no se puede utilizar la sustitución en \(u\). | \(\int \frac{1}{\sin(x)}dx\) |
Estas directrices no son absolutas, pero son un buen punto de partida si no estás seguro de qué técnica de integración utilizar. Puede que necesites utilizar varias de estas técnicas para una misma integral.
En general, es una buena política evitar el uso de la sustitución trigonométrica, la integración por división larga y la integración por fracciones parciales a menos que sea absolutamente necesario, ya que estas técnicas son más complicadas que las demás y es más fácil cometer errores con ellas.
Fórmula general
La fórmula que se utiliza al integrar por división larga es $$\begin{align} \int \frac{p(x)}{q(x)} dx &= \int \frac{q(x)s(x) + r(x)}{q(x)} dx \int s(x) + \frac{r(x)}{q(x)} dx, \end{align}$$ donde \(p(x) = s(x)q(x) + r(x).\)
Halla \(s(x)\) y \(r(x)\) utilizando la división larga polinómica.
Para integrar \[\int \frac{p(x)}{q(x)} dx\] mediante división larga, utiliza el método siguiente.
- Determina cuáles son \(p(x)\) y \(q(x)\).
- Utilizando la división larga, divide \(p(x)\) entre \(q(x)\) para obtener \(p(x)=q(x)s(x)+r(x)\) y reescribe la integral.
- Integra.
- Si la integral es indefinida, no olvides sumar \(C\).
- Si la integral es definida, evalúa la antiderivada en los puntos extremos.
Para integrar la ecuación resultante, a menudo debes utilizar la integración por sustitución, la integración por fracciones parciales, o ambas.
División larga de polinomios
Para dividir un polinomio \(p(x)\) por un polinomio \(q(x)\), debes encontrar los polinomios \(s(x),r(x)\) que satisfagan la fórmula $$p(x)=q(x)s(x)+r(x).$$
Llamas \(r(x)\) al término resto. Este término resto es igual que los restos que aprendiste cuando estudiaste las fracciones por primera vez. Por ejemplo, el resto de \(\frac{10}{3}\) es \(1\), ya que $$10=3(3)+1.$$
Observa que el resto siempre es menor que el divisor; en este caso, \(1<3.\) Si \(p(x)\) es divisible por \(q(x)\), entonces \(r(x)=0.\)
La división larga polinómica es igual que la división larga entera, en la que tienes en cuenta el valor posicional.
Ejemplo de división de polinomios
Divide \(2x^2+7x+3\) entre \(x+5\).
En primer lugar, quieres deshacerte del término \(2x^2\). Olvidando por un momento todos los términos además del término \(2x^2\) en el dividendo y el término \(x\) en el divisor, podemos observar que \(x(2x)=2x^2\).
Así pues, multiplica \(x+5\) por \(2x\), coloca \(2x\) en el lugar \(x\) sobre la recta, y resta \((x+5)(2x)=2x^2+10x\) de \(2x^2+7x+3\).
Ahora que te has librado del término \(2x^2\), quieres librarte del término \(-3x\). Así que multiplica \(x+5\) por \(-3\), coloca \(-3\) en el lugar de las unidades sobre la recta y resta \((x+5)(-3)=-3x-15\) a \(-3x+3\).
Como \(18\) no tiene términos \(x\), \(x+5\) no puede dividir a 18, y ya has terminado. En este caso, \(s(x)=2x-3\) y tu término restante es \(r(x)=18\).
Puedes comprobar que $$2x^2+7x+3=(x+5)(2x-3)+18.$$
Procedimiento paso a paso
1. Identificar numerador y denominador
La integral debe expresarse como un cociente de polinomios:
\[\int\frac{p(x)}{q(x)}dx.\]
El numerador es \(p(x)\) y el denominador es \(q(x)\). Antes de comenzar, comprueba que ambos sean polinomios y compara sus grados.
2. Ordenar y completar términos ausentes
Conviene escribir los polinomios en orden decreciente de potencias. Si falta alguna potencia, se incorpora con coeficiente cero.
Para facilitar la división, escribe \(p(x)\) como \(p(x)=x^3+0x^2+0x-3.\) No olvides este paso; ¡es una fuente común de error!
3. Dividir el término principal
Divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado es el primer término del cociente.
4. Multiplicar y restar
Multiplica todo el divisor por el término obtenido y resta el producto del dividendo. Repite el procedimiento hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor.
5. Reescribir la fracción
Después de obtener el cociente \(s(x)\) y el resto \(r(x)\), utiliza:
\[\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{r(x)}{q(x)}.\]
6. Integrar cada término
La integral se separa en una parte polinómica y una fracción propia:
\[\int\frac{p(x)}{q(x)}dx=\int s(x)dx+\int\frac{r(x)}{q(x)}dx.\]
La primera parte suele resolverse con la regla de la potencia. La segunda puede requerir sustitución o fracciones parciales.
Ejemplo 1: denominador lineal
Vamos a evaluar \(\int \frac{x^3-3}{x-2}dx\) utilizando la división larga.
Identificación
El primer paso es escribir qué son \(p(x)\) y \(q(x)\). En este caso, \(p(x)=x^3-3\) y \(q(x)=x-2\).
División
Para facilitar la división, escribe \(p(x)\) como \(p(x)=x^3+0x^2+0x-3.\)
La división produce:
\[x^3-3=(x-2)(x^2+2x+4)+5.\]
Por tanto, \(s(x)=x^2+2x+4\) y \(r(x)=5.\)
Reescritura de la integral
\[\begin{align}\int \frac{x^3-3}{x-2}dx&=\int \frac{(x-2)(x^2+2x+4)+5}{x-2}dx\\&=\int\left(x^2+2x+4+\frac{5}{x-2}\right)dx.\end{align}\]
Integración
\[\begin{align}\int \frac{x^3-3}{x-2}dx&=\int(x^2+2x+4)dx+\int\frac{5}{x-2}dx\\&=\frac{1}{3}x^3+x^2+4x+5\ln|x-2|+C.\end{align}\]
Puedes comprobar, diferenciando o utilizando la integración por sustitución, que \[\int \frac{5}{x-2}dx=5\ln|x-2|.\]
Ejemplo 2: grados iguales
Evalúa \[\int \frac{4x^2+3x+2}{x^2+5x-3}dx.\]
Identificación
En este caso, \(p(x)=4x^2+3x+2\) y \(q(x)=x^2+5x-3\). Tanto \(p(x)\) como \(q(x)\) tienen grado 2, lo cual está completamente bien; aún puedes utilizar la división larga.
División
Al dividir, se obtiene \(s(x)=4\) y \(r(x)=-17x+14\).
Por tanto:
\[4x^2+3x+2=4(x^2+5x-3)+(-17x+14).\]
Separación de la integral
\[\int \frac{4x^2+3x+2}{x^2+5x-3}dx=\int\frac{4}{x^2+5x-3}dx+\int\frac{-17x+14}{x^2+5x-3}dx.\]
Para continuar, se puede expresar el numerador de la segunda fracción en función de la derivada del denominador:
\[-17x+14=-\frac{17}{2}(2x+5)+\frac{117}{2}.\]
Así, la integral queda:
\[\int \frac{4}{x^2+5x-3}dx-\frac{17}{2}\int\frac{2x+5}{x^2+5x-3}dx+\frac{117}{2}\int\frac{1}{x^2+5x-3}dx.\]
La segunda integral se relaciona directamente con el logaritmo del denominador, mientras que la primera y la tercera requieren continuar con la técnica apropiada para un trinomio cuadrático.
Qué hacer después de la división
La división larga no siempre termina la integral. Su función principal es convertir una fracción racional impropia en un polinomio más una fracción racional propia.
Después de la división, pueden aparecer distintas situaciones:
- Si el resto es cero, sólo queda integrar el polinomio.
- Si el denominador es lineal, suele aparecer un logaritmo natural.
- Si el numerador restante es proporcional a la derivada del denominador, se utiliza una sustitución.
- Si el denominador puede factorizarse, puede ser conveniente aplicar fracciones parciales.
- Si el denominador es un cuadrático irreducible, pueden aparecer logaritmos y funciones trigonométricas inversas.
Relación con otras reglas de integración
La integración se puede utilizar para encontrar áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas cosas útiles. ¡La primera regla es saber que las integrales y las derivadas son opuestas!
A veces podemos resolver una integral porque conocemos una derivada correspondiente.
Regla de la potencia
\[\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq-1.\]
Por ejemplo:
\[\int x^3dx=\frac{x^4}{4}+C.\]
La parte polinómica obtenida mediante división larga se integra término a término utilizando esta regla.
Multiplicación por una constante
\[\int cf(x)dx=c\int f(x)dx.\]
Por ejemplo:
\[\int 6x^2dx=6\int x^2dx=6\frac{x^3}{3}=2x^3+C.\]
Regla de la suma y de la resta
\[\int(f+g)dx=\int fdx+\int gdx.\]
\[\int(f-g)dx=\int fdx-\int gdx.\]
Por ejemplo:
\[\int(\cos x+x)dx=\int\cos xdx+\int xdx=\sin x+\frac{x^2}{2}+C.\]
Integral del recíproco
\[\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C.\]
Las barras verticales a ambos lados de \(x\) indican valor absoluto, porque no queremos dar valores negativos a la función logaritmo natural \(\ln\).
Cuándo no utilizar la división larga
No utilizarías la división larga para evaluar $$\int \frac{x^3-3x^2+2}{x^4-1}dx$$ ya que \(\deg(x^3-3x^2+2)=3\) y \(\deg(x^4-1)=4\).
En este caso, como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, intentar utilizar la división larga para obtener un polinomio \(s(x)\) no permite simplificar la fracción de la manera necesaria.
Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la fracción ya es propia y normalmente se estudia mediante fracciones parciales, factorización, sustitución u otra técnica.
Integración por sustitución después de dividir
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la composición de dos funciones.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable \(u\), de modo que se obtenga una integral más sencilla.
- Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos.
- Se despeja y sustituyendo en la integral \(u\) y \(du\).
- Si la integral resultante es más sencilla, integramos.
- Se vuelve a la variable inicial.
En una expresión como \(\int\frac{2x+5}{x^2+5x-3}dx\), se puede tomar \(u=x^2+5x-3\), porque \(du=(2x+5)dx\).
Integración por fracciones parciales después de dividir
Las integrales racionales tienen la forma en donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios. Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que el numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:
- Integrales racionales con raíces reales simples.
- Integrales racionales con raíces reales múltiples.
- Integrales racionales con raíces complejas simples.
Si el grado del numerador no es menor que el grado del denominador, primero debemos realizar la división para poder transformar esta fracción en la suma de un polinomio con otra fracción que sí tenga un denominador de grado mayor que el numerador.
La división larga y las fracciones parciales no son técnicas excluyentes: con frecuencia se utiliza primero la división larga y después se descompone la fracción propia resultante.
Errores frecuentes
- No comparar los grados del numerador y del denominador antes de elegir el método.
- Omitir los términos ausentes, como \(0x^2\) o \(0x\).
- Restar incorrectamente el producto del divisor por el término del cociente.
- Detener la división antes de que el grado del resto sea menor que el del divisor.
- Olvidar separar el cociente y el resto antes de integrar.
- Olvidar el valor absoluto en \(\ln|x-a|\) cuando corresponde.
- Olvidar sumar \(C\) en una integral indefinida.
- No comprobar el resultado mediante derivación.
Comprobación del resultado
Una antiderivada puede comprobarse derivando el resultado final. Si la derivada coincide con el integrando original, la integración es correcta.
En el primer ejemplo, el resultado fue:
\[\frac{1}{3}x^3+x^2+4x+5\ln|x-2|+C.\]
Al derivarlo se obtiene:
\[x^2+2x+4+\frac{5}{x-2}.\]
Como esta expresión es igual a \(\frac{x^3-3}{x-2}\), el resultado queda verificado.
Integrales definidas
Si la integral es definida, evalúa la antiderivada en los puntos extremos.
Después de dividir, se integra la función resultante y se aplica:
\[\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).\]
El método algebraico es el mismo que para una integral indefinida; la diferencia es que no se añade una constante \(C\) al resultado final de una integral definida.
Consejos para elegir el método
Si resolver integrales te resulta difícil, es posible decidir el método siguiendo algunos pasos.
- Ver si la integral es directa.
- Aplicar álgebra, si es posible.
- Aplicar lineabilidad de ser posible.
- A cada integral parcial volver a aplicar el primer paso.
- Si no es posible conseguir integrales más sencillas, aplicar un método de integración empezando por sustitución.
Usar criterios de álgebra permitirá dejar a la función en su mínima expresión. Para ello son útiles la factorización y los productos notables.
La lineabilidad es una propiedad de las integrales útil para expandir a integrales más sencillas de resolver.
Es importante analizar la función que tenemos, puesto que el objetivo de aplicar un método de integración es que sea más sencillo resolver el ejercicio.
Resumen operativo del método
Ante una integral racional, identifica el numerador y el denominador, compara sus grados y realiza la división larga cuando el grado del numerador sea mayor o igual que el del denominador.
Después, expresa el cociente como un polinomio más una fracción propia, integra el polinomio con la regla de la potencia y resuelve la fracción restante mediante sustitución, fracciones parciales u otra técnica adecuada.
No olvides el \(dx\), el valor absoluto en los logaritmos cuando corresponda y la constante \(C\) en las integrales indefinidas.
